Statistica - Appunti

LE FREQUENZE SPECIFICHE

Frequenza specifica: la frequenza specifica di una classe è data dal rapporto tra le frequenze della

classe e l’ampiezza della classe.

Frequenza specifica:

La frequenza specifica è un rapporto di densità che indica la frequenza che spetta:

a) Ad una modalità della classe, nel caso di caratteri quantitativi discreti;

b) Ad un intervallo unitario della classe, nel caso di caratteri quantitativi continui.

Ricordo che:

- ampiezza di una classe di un carattere discreto = estremo superiore –estremo inferiore + 1;

- ampiezza di una classe di un carattere continuo = estremo superiore – estremo inferiore.

Considerazione:

la frequenza specifica misura l’addensamento delle frequenze ed è utile per valutare come varia

l’addensamento al variare delle classi. Per confrontare l’addensamento di due classi non è

possibile impiegare le frequenze assolute delle due classi poiché le stesse sono influenzate dalla

differente ampiezza delle classi. Le frequenze specifiche, invece, sono confrontabili perché sono

frequenze che fanno riferimento ad una modalità o ad un intervallo unitario.

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE DELLE DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA DI CARATTERI QUANTITAT.

Caratteri quantitativi discreti: DIAGRAMMA A BASTONCINI

La rappresentazione grafica delle frequenze assolute della distribuzione di frequenza:

si effettua con i diagramma a bastoncini che si ottengono tracciando, in corrispondenza della x

(ascissa) dei segmenti di lunghezza proporzionale alle frequenze assolute (N).

Il grafico delle frequenze relative si ottiene ponendo in ordinata (y) le frequenze relative .

La rappresentazione grafica delle frequenze cumulate (frequenze cumulare relative) si ottiene

riportando in ascissa i valori ed in corrispondenza di essi si tracciano ordinate con lunghezza

proporzionale alle frequenze cumulate.

Esempio: voti conseguiti da un gruppo di n=180 studenti ad un esame di statistica.

Voto Numero di studenti Frequenze Frequenze Frequenze

cumulate relative relative cumulate

18 11 11 0,061 0,061

19 10 21 0,055 0,117

20 15 36 0,083 0,200

21 20 56 0,111 0,311

22 30 86 0,167 0,478

23 25 111 0,139 0,617

24 20 131 0,111 0,728

25 15 146 0,083 0,811

26 12 158 0,067 0,878

27 9 167 0,050 0,928

28 6 173 0,033 0,961

29 3 176 0,017 0,978

30 4 180 0,022 1,000

Totale 180

Grafico delle frequenze assolute e delle frequenze relative della distribuzione

dei voti conseguiti ad un esame di statistica.

Grafico delle frequenze cumulate e delle frequenze cumulate relative della distribuzione

dei voti conseguiti ad un esame di statistica.

Nel caso in cui i dati sono raggruppati in classi la rappresentazione grafica delle frequenze assolute

avviene ponendo in corrispondenza di ciascuna modalità di una stessa classe delle ordinate con

lunghezza proporzionale alle frequenze specifiche.

Caratteri quantitativi continui: GRAFICO AREALE

La rappresentazione grafica di caratteri quantitativi continui viene fatta con grafici areali che si

effettuano rappresentando la frequenza di una classe con l’area di un rettangolo avente: per

base, l’ampiezza della classe e per altezza, la frequenza specifica. (vedi figura seguente)

Altezza

=

Frequenza specifica

In effetti si vuole che: frequenza assoluta = area rettangolo.

 .

Dal fatto che area rettangolo = base x altezza altezza=

Quindi: altezza =

Esempio: tempo di funzionamento in ore di 750 resistenze elettriche.

Tempo (ore) Frequenza Ampiezza (ore) Frequenza specifica

1 --| 5 145 4 36,25

5 --| 9 376 4 94,00

9 --| 13 131 4 32,75

13 --| 19 80 6 13,33

19 --| 25 12 6 2,00

25 --| 35 6 10 0,60

Totale 750

Rappresentazione grafica

LE MEDIE

Processo di sintesi di una distribuzione di frequenza .

Le frequenze relative, specifiche, cumulate e retrocumulate non possono considerarsi valori di

sintesi in quanto per una distribuzione di frequenza si hanno ancora tante frequenze relative

(specialmente cumulate e retrocumulate) quante sono le modalità.

Il più importante processo di sintesi di una distribuzione di frequenza si ha con il calcolo delle

medie.

Per media si intende una “modalità” che rappresenta le modalità di una distribuzione.

Le medie più impiegate sono:

a) la moda, che si può determinare per ogni tipo di carattere;

b) la mediana, che si può determinare per i caratteri qualitativi su scala ordinale;

c) la media aritmetica, che si può determinare solo per i caratteri quantitativi.

Con la media si ha la sostituzione di una distribuzione effettiva con una sola distribuzione in cui il

carattere assume una modalità (media).

MODA

Per moda di una distribuzione di frequenza si intende la modalità in corrispondenza della quale si

ha la frequenza relativa (o specifica, nel caso di classi) più elevata.

Moda per dati non raggruppati in classi

Esempio: iscritti alla graduatoria di ecocom secondo il tipo di maturità.

CARATTERE QUALITATIVO SU SCALA ORDINALE

Tipo di maturità Frequenza assoluta Frequenza relativa %

Liceo classico 95 5,14

Liceo scientifico 660 35,68

Liceo linguistico 58 3,13

Ragioneria 899 48,59 Frequenza più elevata = moda

Istituto tecnico industriale 71 3,84

Geometra 26 1,40

Altro 41 2,22

Totale 1850 100

Commento:

La moda è una media che riguarda le modalità. Per trovare la modalità a cui daremo il nome di moda bisogna guardare

l’insieme delle frequenze e vedere qual è la più elevata.

Calcolo poi la frequenza relativa: .

Calcolo successivamente la frequenza relativa percentuale: e deduco che su 100 studenti,

quasi il 50% (48,59%) hanno fatto ragioneria.

Nell’esempio, quindi, risulta che la moda è rappresentata dalla ragioneria.

Moda per dati raggruppati in classi

Se le modalità di un carattere sono suddivise in classi devo calcolare la frequenza specifica, per

ottenere la moda.

Esempio: voto X in trentesimi di 120 esami classificati.

X Frequenza assoluta Ampiezza della classe Frequenza specifica

(voto in trentesimi)

18 – 19 18 2 9

20 – 23 40 4 10

24 – 26 36 3 12 Frequenza più alta=

27 – 28 18 2 9 Classe modale

29 – 30 8 2 4 Commento:

Le classi hanno

Totale 120 diversa ampiezza

quindi non posso dire qual è la moda; allora si deve trovare la classe modale in corrispondenza della quale si ha la

frequenza specifica più elevata. La frequenza specifica si può confrontare.

MEDIANA

Mediana N dispari

Per mediana si intende il valore che occupa la posizione centrale.

Posizione centrale: .

Nel caso di N dispari la mediana è fornita da:

Esempio:

il peso in grammi di N=7 neonati ha assunto i seguenti valori:

Ordiniamo i 7 pesi in senso non decrescente: con indichiamo il peso più piccolo e con il peso più grande.

Otteniamo così i 7 pesi ordinati:

Posizione centrale valore che occupa la posizione centrale = mediana

  peso mediano

Osservazione: con N dispari un valore coincide con la mediana.

Mediana N pari

Per mediana si intende il valore intermedio tra le due posizioni centrali e .

Posizioni centrali: e

Nel caso di N pari la mediana è fornita da:

Esempio:

il peso in grammi di N=6 neonati ha assunto i seguenti valori:

Ordiniamo i 6 pesi in senso non decrescente: con indichiamo il peso più piccolo e con il peso più grande.

Otteniamo così i 6 pesi ordinati:

 

;

Valore intermedio tra e = 3,5 non è un numero ma un intorno  peso mediano

Osservazione: con N pari nessun valore coincide con la mediana.

La spezzata di graduazione

Utili servigi allo studio della mediana sono forniti dalla spezzata di graduazione.

Prima di introdurre la spezzata di graduazione è opportuno rivedere come si ricava l’equazione di

una retta che passa per due punti.

Equazione di una retta

e sono parametri della retta:

 = intercetta: è l’ordinata ( ) che si ha in corrispondenza di ;

 = coefficiente angolare: indica la variazione dell’ordinata che si ha in corrispondenza di

un incremento unitario di (ascissa).

Retta passante per due punti

Supponiamo di avere due punti: e . Per questi due punti passa la retta

i cui parametri e si ottengono imponendo alla retta di passare per e ,

ovvero scrivendo il seguente sistema lineare:

Risolvo il sistema rispetto a e che sono incognite:

sottraggo la prima equazione del sistema alla seconda e otteniamo:

 

Poniamo nella prima equazione il valore trovato al posto di ed otteniamo così:



In conclusione l’equazione della retta che passa per e è fornita da:



Passiamo ora alla spezzata di graduazione.

Si considerano N valori ordinati . Questi valori sono una funzione

empirica: .

Il grafico di questa funzione è dato dagli N punti di coordinate . Unendo i punti

successivi con segmenti di retta si ottiene la spezzata di graduazione che può intendersi come una

funzione continua per .  Ordinate in senso non decrescente (non possono

avere segmenti negativi)

 Abbiamo infiniti punti

 Segmenti non decrescenti

 Può succedere che ho 0 se ho 2 valori uguali

 Si chiama spezzata perché i segmenti successivi

sono spezzati però la funzione è continua

Ci proponiamo di valutare sapendo che .

Per fare questo bisogna trovare l’equazione della retta che passa per i punti:

e .

Il coefficiente angolare della retta che passa per e è dato da:

L’equazione della retta in questo caso diventa:

formula per trovare il valore di x per qualsiasi t

Formula unificata della mediana

Si mostrerà ora che la mediana può essere sempre fornita da:

sia per N pari, che per N dispari.

Nel caso di N dispari la formula coincide con quella data in precedenza.

Nel caso di N pari , dove è un numero intero.

Essendo compreso tra gli interi e si ha:

=

L’espressione coincide con la definizione della mediana nel caso di N pari.

Possiamo concludere tale paragrafo affermando che la mediana è il valore che occupa la posizione

.

Quartili, decili e centili

La mediana, essendo quel valore che occupa la posizione centrale , divide gli N valori

ordinati in due gruppi di eguale numerosità. Ciò significa che metà degli N valori sono inferiori o

uguali alla mediana e l’altra metà sono maggiori o uguali alla mediana.

 Quartili

Se si vogliono dividere gli N valori ordinati in 4 gruppi ciascuno di numerosità

approssimativamente pari a bisogna determinare tre quartili:

Il secondo quartile coincide con la mediana.

Il primo quartile divide la prima metà degli N valori ordinati in due parti.

Il terzo quartile d