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Qualora ci si presenti una successione di dati, ad esempio una successione di intensità, le

ritroveremo in sequenza, separate da virgola e con al pedice degli indici che ci indicano la loro

posizione nella serie (x ,x , …, x ).

1 2 k

La tabella statistica si può costruire quando si hanno molte intensità, in questo caso molte intensità.

SCHEMI DI TABELLE.

Schema di una tabella della distribuzione di frequenze di un carattere discontinuo o discreto.

X (generica intensità) N (generica frequenza)

i i

X N

1 1

X N

2 2

… …

X N

k k

TOT N (totale frequenze)

Schema di una tabella della distribuzione di frequenze di una mutabile statistica (carattere

qualitativo) Z (generica modalità) N (generica frequenza)

i i

A N

1

B N

2

C N

3

…. …

Z N

k

TOT TOT

Schema di una tabella di carattere quantitativo continuo.

X – X N

i i+1 i

X – X N

1 2 1

X – X N

3 4 2

… …

X – X N

k k+1 k

TOT N (totale)

N.B.:il carattere quantitativo continuo viene opportunamente organizzato in classi di intensità. 3

Esempio: reddito X – X N

i i+1 i

0 – 500 100

500 – 1000 120

1000 – 1500 140

… …

Nel raggruppare l’intensità in classi perdo delle informazioni, dunque mi è impossibile calcolare il

reddito medio senza sostituire alle classi di intensità il loro valore centrale, che corrisponde alla

media degli estremi della classe d’intensità. +

+ 1000 500

X X

= + Esempio:

i i 1

X i 2

2

Un’altra elaborazione possibile quando si hanno valori organizzati in classi è l’ampiezza della

classe di intensità che altro non è che la differenza degli estremi della classe.

α = − Esempio: 1000 – 50 = 500 Ampiezza della classe

X X

+1

i i

i

Un’ulteriore elaborazione è la densità di frequenza che è il rapporto fra la frequenza assoluta di

ciascuna classe e l’ampiezza di ciascuna classe d’intensità.

N N 120

= = =

i i

d d Esempio: d

α − −

i i 2

X X 1000 500

+1

i i i

ci serve quando vogliamo sapere la frazione dei casi presi in considerazione,

La frequenza relativa

che presentano una determinata intensità o modalità del carattere. In pratica si tratta del rapporto tra

frequenza assoluta e totale delle frequenze.

N N 100

= = =

i 1

F F

Esempio:

Ri R

1

N N 360

Le frequenze relative possono essere poi trasformate in frequenze relative percentuali

semplicemente moltiplicando il valore della frequenza relativa per cento; rappresenta dunque la

percentuale dei casi sul totale.

N

= ×

i

F 100

Ri N ≤ X

Le frequenze cumulate le si usa quando si vuole sapere il numero delle frequenze fino ad X ( ).

i i

In genere sono indicate con il simbolo C .

i

=

C N

1 1

= +

C N N

2 1 2 4

= + +

C N N N

3 1 2 3

………

= + + +

C N N ... N

k 1 2 k

L’ultima frequenza cumulata deve dunque corrispondere al totale delle frequenze assolute. C 3

rappresenta la frequenza fino ad X .

3

Anche le frequenze cumulate possono essere rese relative e percentuali.

C ): esprimono la frazione dei casi fino ad X

Frequenze cumulate relative ( iR i

N

= 1

C

1 N +

N N

= 1 2

C 2 N

…….. + + +

N N ... N

= =

1 2 k

C 1

k N

Frequenze cumulate relative percentuali( C % ): esprimono la percentuale dei casi fino ad X

iR i

N

= ×

1

C 100

1 N +

N N

= ×

1 2

C 100

2 N

………..

Esempio: ho un isolato di 33 famiglie classificate secondo il numero di componenti.

X N C C C %

F F %

i i i iR iR

R R

2 2

= =

0 . 06 0 . 06

1 2 2 6 6

33 33

7 9

= =

0 . 212 0 . 272

2 7 9 21.2 27.2

33 33

9 18

= =

0 . 272 0 . 545

3 9 18 27.2 54.5

33 33

9 27

= =

0 . 272 0 . 818

4 9 27 27.2 81.8

33 33

4 31

= =

0 . 121 0 . 939

5 4 31 12.1 93.9

33 33

2 33

= =

0 . 06 1

. 000

6 2 33 6% 100

33 33 5

Quando si procede ad un’indagine statistica si rilevano più caratteri simultaneamente, quindi ho

delle informazioni multiple ed è perciò impensabile costruire una tabella per ogni carattere.

Presupponiamo di avere una tabella di questo genere:

X Y Z

i i i

X Y Z

1 1 1

X Y Z

2 2 2

… … …

X Y Z

k k k

TOT TOT TOT

Esempio: SESSO ETÀ PESO REDDITO

M 50 75 1500

F 39 55 1200

M 35 72 1000

M 35 73 1000

… … … …

Procedendo in tal maniera avrei una tabella improponibile.

Per organizzare questi dati in maniera razionale e chiara ci si serve di una tabella multipla dalla

quale poi si può ricavare una tabella nella quale andiamo ad analizzare due o tre caratteri per volta,

la cosiddetta tabella a doppia entrata.

In una tabella multipla ci ritroviamo di fronte a dati statistici a frequenza unitaria, al contrario, nella

tabella a doppia entrata ritroveremo dati con frequenza non unitaria, potendo associare più caratteri

qualora ricorrano più volte. 6

Generico schema di una tabella a doppia entrata:

TESTATA

X

i X X … X … X

1 2 i R

Y

i

Y N N … N … N N

FIANCATA 1 1,1 2,1 i,1 R,1 .,1

Y N N … N … N N

2 1,2 2,2 i,2 R,2 .,2

… … … … … … … …

Y N N … N … N N

j 1,j 2,j i,j R,j .,j

… … … … … … … …

Y N N … N … N N

s 1,s 2,s i,s R,s .,s

N N … N … N N

1,. 2,. i,. R,. .,.

L’associazione dei due o tre caratteri non segue nessuno schema, dunque è possibile associare

caratteri quantitativi a caratteri qualitativi senza incontrare nessun ostacolo.

Le frequenze marginali di riga e di colonna stanno a rappresentare la somma delle frequenze

rappresentate in ogni colonna ed in ogni riga. La frequenza che cambia lungo la riga o la colonna,

viene sostituita da un punto (.), mentre quella che resta invariata viene indicata col suo indice.

sta a rappresentare la frequenza totale di quelle rappresentate nell’intera tabella.

La frequenza N

.,.

Esempio di una tabella a doppia entrata di 739 abitazioni distinte secondo il numero di stanze e il

numero dei componenti: NUMERO DI STANZE

X

i 1 2 3 4 e +

COMPONENTI Y

DI i

NUMERO 1 55 110 80 10 255

2 40 130 50 15 235

3 20 120 30 20 190

4 e + 9 8 20 22 59

124 368 180 67 739 7

SIMBOLO DI SOMMATORIA.

n

∑ a i

=

i 1

dove:

− a rappresenta l’indice di sommazione, ossia i valori interi consecutivi dal primo all’ultimo

i

valore della sommatoria;

− n rappresenta l’ultimo valore della sommatoria;

− i=1 rappresenta il primo valore della sommatoria.

Esempio:

4

∑ = + + +

a a a a a

i 1 2 3 4

=

i 1

In generale possiamo scrivere:

n

∑ = + + +

a a a a

...

i 1 2 n

=

i 1

Ecco alcuni esempi.

=

a i

Se , allora:

i

4 4

∑ ∑

= = + + + =

a i 1 2 3 4 10

i

= =

1 1

i i

= 2

Se , allora:

a i

i

4 4

∑ ∑

= = + + + =

2

a i 1 4 9 16 30

i

= =

i 1 i 1

1

=

Se allora:

a i i

4 4 1 1 1 1 25

∑ ∑

= = + + + =

a 1

i i 2 3 4 12

= =

i i

1 1

+

i 1

=

Se allora:

a i i + + + + +

       

4 4 i 1 1 1 2 1 3 1 4 1 3 4 5 73

∑ ∑

= = + + + = + + + =

       

a 2

i        

i 1 2 3 4 2 3 4 12

= =

i i

1 1 8

PROPRIETÀ DELL’INDICE DI SOMMATORIA.

1. la sommatoria applicata alla somma algebrica di due o più termini si scinde nelle

sommatorie dei singoli termini.

n n n

∑ ∑ ∑

+ = +

a b a b

i i i i

= = =

i i i

1 1 1

n ( ) ( ) ( )

∑ + → + + + + + +

a b a b a b ... a b

i i 1 1 2 2 n n

=

i 1

( ) ( )

+ + + + + + +

a a a b b b

... ...

1 2 n 1 2 n

n

n ∑

∑ + b

a i

i =

= i 1

i 1

2. la sommatoria di una costante (K), che non dipende quindi dall’indice di sommazione (i),

viene addizionata n volte nello sviluppo della sommatoria.

n

∑ =

K nK

=1

i n

∑ = + + + =

K K K K nK

...

=

i 1

Esempio:

3

∑ = + + =

K K K K K

3

=

1

i 3. la sommatoria applicata alla somma algebrica di una lettera che dipende dall’indice di

sommazione (i) e di una costante, che dunque non dipende da (i), darà come risultato la

sommatoria della lettera che dipende da (i) più n volte la costante.

n n

( )

∑ ∑

+ = +

a K a nK

i i

= =

i 1 i 1

( ) ( ) ( )

+ + + + + +

a K a K a K

...

1 2 n

( ) ( )

+ + + + + + +

a a a K K K

... ...

1 2 n

n n

∑ ∑ =

+

a K nK

i

= =1

i 1 i 9

4. la sommatoria applicata al prodotto di una lettera che dipende dall’indice di sommazione (i)

e di una costante, da come risultato che la costante si pone davanti all’indice di sommatoria,

ossia si mette in evidenza.

n n

∑ ∑

× =

a K K a

i i

= =

i 1 i 1

+ + +

a K a K ... a K

1 2 n

( )

+ + +

K a a ... a

1 2 n

n

K a i

=

i 1

Alcuni esempi.

6

− = + + + + +

x x x x x x x

i 1 2 3 4 5 6

=

i 1

n

− = ×

a n a

=1

i 3 3 3

( ) ( )

∑ ∑ ∑

− − = − = + + −

x a x a x x x a

3

i i 1 2 3

= = =

i 1 i 1 i 1

n

− × = + + +

x y x y x y x y

...

i i 1 1 2 2 n n

=

i 1

n

− × = + + +

a x ax ax ax

...

i 1 2 n

=

i 1

( )

+ + +

a x x x

...

1 2 n

n

a x i

=

i 1

Presumiamo di aver rilevato le temperature nelle città di Milano e Torino per cinque giorni, allora

avremo: + −

2 2 x = Temperature Milano

y x y x y x y

x x y x y i

i i i i i i i

i i i i

1 y = Temperature Torino

-3 2 -6 18 -12 -1 -5 i

2 -5 -10 -20 50 -3 7

5 -1 -5 -25 5 4 6

-1 3 -3 3 -9 2 -4

6 1 6 36 6 7 5 10

5

∑ = − + + − + =

x 3 2 5 1 6 9

i

=

1

i 5

∑ = − − + + =

2 5 1 3 1 0

y i

=

i 1

5

∑ = + + + + =

2 9 4 25 1 36 75

x i

=

i 1

5

∑ = − − − − + = −

x y 6 10 5 3 6 18

i i

=

i 1

5

∑ = − − + + =

2

x y 18 20 25 3 36 12

i i

=

i 1

5 ( )( )

∑ + − = − + − + =

x y x y 6 21 24 8 35 36

i i i i

=

i 1

5

∑ = − + + − + =

2

x y 12 50 5 9 6 40

i i

=

1

i n n n n

( )

∑ ∑ ∑ ∑

+ + = + −

ax by cz ax by cz

i i i i i i

= = = =

i 1 i 1 i 1 i 1

n n n

∑ ∑ ∑

+ −

a x b y c z

i i i

= = =

i i i

1 1 1

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE.

Le rappresentazioni grafiche sono l’ultima parte dell’indagine statistica, la quale riguarda la

raccolta, l’elaborazione e la rappresentazione dei dati statistici in tabelle e grafici.

Il problema sostanziale sta nel decidere che tipo di grafico utilizzare, infatti dal punto di vista

statistico è consigliabile scegliere il tipo di grafico in base ai caratteri studiati, perché ogni carattere

ha il suo corrispondente tipo di grafico.

Ci sono caratteri di tipo qualitativo e di tipo quantitativo e ci saranno dunque dei grafici specifici

per questi due tipi di carattere.

Per quanto riguarda i caratteri qualitativi si illustrano i grafici più usati:

1. diagramma a rettangoli distanziati;

2. diagramma a settori circolari;

3. diagramma a figure. 11

DIAGRAMMA A SETTORI CIRCOLARI.

Il diagramma circolare è, in pratica, un cerchio che deve essere suddiviso in parti proporzionali alle

frequenze del fenomeno considerato. Si va dunque a dividere il cerchio in settori circolari che hanno

l’angolo al centro proporzionale alle frequenze del fenomeno che si va a considerare.

Esempio: popolazione italiana (52 mln 688) divisa secondo le principali ripartizioni territoriali.

Italia Settentrionale: 20003

Italia Centrale: 13600

Italia Insulare: 6291

Italia Meridionale: 12794

Totale: 52688

Nota: la popolazione è espressa in migliaia.

Per calcolare l’angolo al centro proporzionale alle frequenze, considerando che la somma della

N i

popolazione è 52688, non si fa altro che moltiplicare l’angolo giro, pari a 360°, per il rapporto N

(Frequenza relativa) e si otterranno i settori circolari corrispondenti alle suddivisioni territoriali

espresse in gradi. 20003

° ⋅ = °

Italia Settentrionale: 360 136

52688

13600

° ⋅ = °

Italia Centrale: 360 92

52688

6291

° ⋅ = °

Italia Insulare: 360 42

52688

12794

° ⋅ = °

Italia Meridionale: 360 87

52688 Popolazione italiana

italia insul, 6291 italia sett

italia cent,

13600 italia cent

italia merid, 12794 italia insul

italia sett, italia merid

20003 12

DIAGRAMMA A RETTANGOLI DISTANZIATI. x

È un grafico molto semplice che fa riferimento agli assi cartesiani. Sull’asse delle si pongono dei

rettangoli distanziati che hanno basi uguali e altezze uguali o proporzionali alle frequenze delle

modalità che andiamo a considerare.

Presupponiamo di avere questa tabella a doppia entrata di due caratteri di tipo qualitativo:

OPERAI OCCUPATI NELL’INDUSTRIA

MECCANICA ELETTRICA CHIMICA

OPERAI 10 10 18 38

SPECIALIZZATI

QUALIFICA OPERAI 20 15 8 43

QUALIFICATI

MANOVALI 30 15 4 49

60 40 30 130

Proseguiamo dunque alla rappresentazione grafica mediante il diagramma a rettangoli distanziati,

secondo l’occupazione nelle varie industrie.

70

60

50 30

40 manovali

15 qualificati

30 4 specializzati

8

20 20 15

10 18

10 10

0 meccanica elettrica chimica 13

DIAGRAMMA A FIGURE.

È un diagramma in cui si usano figure che ricordano il fenomeno che andiamo a considerare.

Presupponiamo di avere un piccolo comune di montagna diviso in due quartieri

QUARTIERI N° ABITAZIONI

A 48

B 153

201

Dovendo rappresentare questo fenomeno con una figura che mi fa ricordare le abitazioni, sceglierò

come simbolo una casa che deve però rispecchiare questo fenomeno. Assunto che le abitazioni del

quartiere B sono circa il triplo di quelle presenti nel quartiere

quarti ere A dovrò proporzionarle.

A B

Diverso è il caso dei caratteri di tipo quantitativo, distinguendo i caratteri quantitativi discontinui o

discreti dai caratteri quantitativi continui. In genere quando il carattere è di tipo continuo, siccome

s

le intensità differiscono per quantità infinitesime, si usa dividere le intensità in classi di valori.

Se il carattere è quantitativo discreto o discontinuo la rappresentazione migliore è il DIAGRAMMA

A SEGMENTI.

Il Diagramma

gramma a Segmenti si basa su riferimento cartesiano e si innalza, in corrispondenza dei valori

x

delle , un segmento, cioè un’ordinata, che abbia altezza uguale o proporzionale alle frequenze

delle varie intensità che si vanno a considerare. 14

Presumiamo di avere una serie storica in cui si valuta la popolazione di un comune che va dal 1950

al 1955. ANNI POPOLAZIONE

1950 1652

1951 1696

1952 1748

1953 1807

1954 1820

1955 1833

POPOLAZIONE

1860

1840

1820

1800

1780

1760

1740

1720

1700

1680

1660

1640

1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956

I Segmenti possono essere uniti da una linea, o meglio una curva, per evidenziare meglio

l’andamento del fenomeno. Qui si può dire che la crescita della popolazione è di tipo lineare.

Una rappresentazione grafica molto usata per i caratteri quantitativi continui è l’ISTOGRAMMA o

DIAGRAMMA A RETTANGOLI CONTIGUI.

È un diagramma che fa sempre riferimento agli assi cartesiani, sui quali vengono posti dei rettangoli

contigui che hanno basi uguali all’ampiezza della classe.

Per l’altezza del rettangolo ci sono due casi:

1. nel caso in cui le ampiezze delle classi sono tutte uguali, l’altezza sarà uguale alla frequenza

assoluta della classe;

2. se le classi sono di diversa ampiezza, l’altezza sarà data dalla densità di frequenza di

ciascuna classe. 15

ESEMPIO.

46 famiglie classificate secondo il reddito annuale percepito da ciascuna di esse.

REDDITO AMPIEZZA

N° FAMIGLIE DENSITÀ

α

x x N d

+ i i

i i 1 i

2 – 4 8 2 4

4 – 6 10 2 5

6 – 10 12 4 3

10 – 14 10 4 2,5

14 – 20 6 6 1

46

Si usano le densità di frequenza e non le frequenze assolute per l’altezza dei rettangoli, per

eliminare l’influenza perturbatrice della diversa ampiezza della classe. Se usassimo le frequenze

assolute verrebbe una rappresentazione grafica distorta che non rappresenterebbe effettivamente

l’andamento del fenomeno. Ciò perché la somma delle aree dei singoli rettangoli deve dare la

frequenza assoluta totale. 16

LE MEDIE.

La media è un parametro, ossia un unico valore, che si usa quando si vuol rappresentare una

distribuzione con un unico valore. Dunque è un parametro di sintesi, in quanto sintetizza la

distribuzione e può essere utilizzato sia per caratteri qualitativi che per caratteri quantitativi.

Capita, però, che le distribuzioni risentano di valori estremi. Su 70 persone, tra cui 65 guadagnano

1200, 1400, 1500 ecc, e 5 persone che guadagnano 10 mln di euro, la media verrebbe un valore

altissimo che non rispecchierebbe il reddito medio della maggior parte delle persone. Per cui non

sono opportune da usare le medie di calcolo che risentono dei valori estremi, ma solo le medie di

posizione, altrimenti dette lasche.

Le medie di posizione sono quelle che si ottengono considerando soltanto alcuni valori della

distribuzione.

LA MODA.

La moda è una media di posizione che non risente dei valori estremi, in quanto rappresenta

l’intensità che ha la maggior frequenza nella distribuzione.

Definizione: −

data una variabile statistica, la moda è quel valore interno all’intervallo x x tale che la sua

+

i i 1

frequenza risponda alla seguente disuguaglianza: N N +

i i 1

N N −

i i 1

Quindi la moda è l’intensità o la modalità che ha la frequenza maggiore rispetto alla precedente e

alla successiva. GIUDIZI FREQUENZE

x N

i

i

Insufficiente 2

Sufficiente 3

Buono 2

Ottimo 1

8

Il giudizio modale è “Sufficiente” in quanto ha la frequenza maggiore della precedente e della

successiva. 17

In questo caso siamo di fronte ad una distribuzione bimodale in quanto

x N

i

i abbiamo due valori a rappresentare la moda della distribuzione. L’intensità

1 2 “3” e l’intensità “6”, le quali presentano, appunto, frequenze assolute

2 3 maggiori delle precedenti e delle successive.

3 7

4 6

5 5

6 9

7 5

8 4

Se ci si ritrova a lavorare su un carattere quantitativo continuo, quindi organizzato in classi di

intensità, ci si presentano due casi per calcolare il valore modale:

1. se le classi sono di diversa ampiezza, la moda sarà contenuta nella classe che ha densità di

frequenza maggiore della precedente e della successiva;

2. se le classi sono di uguale ampiezza, la moda sarà interna alla classe che ha frequenza

assoluta maggiore della precedente e della successiva.

REDDITO N d

i i

x x +

i i 1

2 – 4 8 4

4 – 6 10 5

6 – 10 12 3

10 – 14 10 2,5

14 – 20 6 1

46

In questo caso la moda è un valore interno alla classe 4 – 6, che prende il nome di classe modale,

perché presenta una densità di frequenza maggiore della precedente e della successiva. 18

LA MEDIANA o VALORE MEDIANO o SECONDO QUARTILE.

Definizione: ordinando le intensità in senso crescente, la mediana è l’intensità che bipartisce la

distribuzione.

Se le intensità sono dispari si ha una sola mediana a bipartire la distribuzione, mentre invece se le

intensità sono pari se ne hanno due. Quindi abbiamo due casi per determinare il posto della

mediana: + 1

N

=

1. Se N è dispari il posto della mediana sarà dato da: ;

P 2

N N

= = +

2. Se N è pari i posti delle mediane saranno dati da: e .

P P 1

1 2

2 2

ESEMPIO 1:

ho nove intensità: 2, 5, -1, 9, 6, 11, 4, -3, 1

Ordino le intensità in ordine crescente: -3, -1, 1, 2, 4, 5, 6, 9, 11

+ +

N 1 9 1

= = =

⇒ , quindi la mediana è

Il posto del valore che bipartisce la distribuzione è: P P 5

2 2

rappresentata dall’intensità “4”.

La moda invece è 0, quindi siamo di fronte ad una distribuzione zero modale, in quanto è a

frequenza unitaria.

ESEMPIO 2:

ho dieci intensità già ordinate in senso crescente: -3, -1, 1, 2, 4, 5, 6, 9, 11, 13

10 10

= = = + =

I posti delle mediane mi sono dati da: e

P 5 P 1 6

1 2

2 2

Quindi ho la mediana rappresentata dai valori “4” e “5”. Vado a calcolare la media tra i due valori:

+

4 5 = e questa, per convenzione, rappresenta la mediana della successione di intensità.

4

,

5

2

I QUARTILI.

Presupponiamo di avere una distribuzione rappresentata da una linea retta:

3 4

1 Q M

2 e

4 2 Q

0 Q 1 3

4 19

I quartili sono tre: 1 4

1. Primo quartile, il quale, partendo da zero, lascia alla sua sinistra dei casi;

2 4

2. La mediana o secondo quartile, partendo da zero, lascia alla sua sinistra dei casi;

3 4

3. Il terzo quartile, partendo da zero, lascia alla sua sinistra i dei casi.

Data una distribuzione ordinata in senso crescente: -3 -1 1 2 4 5 6 9 11.

Si calcola il posto del primo quartile mediante l’equazione: , dove N sta ad indicare il

1

P 9 2,25 3.

Q1 4

numero dei casi della distribuzione; in tal caso Non esistendo il posto 2,25 per

convenzione si arrotonda al posto successivo. Di conseguenza il primo quartile risulta essere

1).

l’intensità 1 (

Per ottenere il posto del terzo quartile utilizzerò l’equazione ; nel nostro esempio

9 6,75 7. 6).

Per cui il terzo quartile risulta essere l’intensità 6 (

Nel caso in cui la distribuzione di frequenze si dispari ma non sia unitaria:

COMPONENTI

FAMIGLIE

1 7 7

2 10 17

3 9 26

4 6 32

5 3 35

35

Vogliamo determinare il primo, il secondo e il terzo quartile. 18,

Il posto della mediana o secondo quartile lo otteniamo in maniera seguente:

in quanto le famiglie, quindi le frequenze, sono di numero dispari.

Per individuare l’intensità che occupa il diciottesimo posto ricorro all’utilizzo delle frequenze

cumulate, altrimenti incorrerei in un percorso lungo, facinoroso e non sempre possibile.

Ad esempio, volendo utilizzare un metodo bizzarro, potrei rappresentare la distribuzione nel

seguente modo:

11111112222222222333333333444444555

In tal modo, contando i posti, arrivo alla conclusione che la mediana è rappresentata dal valore “3”,

che è la prima delle 9 frequenze di detta intensità. Non sempre questo metodo è però utilizzabile, in

quanto si può avere una distribuzione molto più corposa. 20


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DETTAGLI
Esame: Statistica
Corso di laurea: Corso di laurea in scienze politiche e relazioni internazionali (POMEZIA, ROMA)
SSD:
A.A.: 2010-2011

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher AngeloNELLAnebbia di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Statistica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Bartoli Velia.

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