Appunti matematica con elementi di statistica, file 1

1) CONCENTRAZIONI

• Soluzione: è un sistema omogeneo prodotto dallo scioglimento di una sostanza (Ss) o gl (soluto) in un opportuno liquido (solvente)
• Concentrazione: il rapporto tra la quantità di soluto e la quantità totale di soluzione (Alle stesse unità di misura)

C = QNT. SOLUTO QNT. SOLUZIONE - numero puro senza unità di misura ed in questo caso è sempre compreso tra 0 e 1

• Può anche essere espressa in g/l o g/mol/l
• Per livelli molto bassi di conc. è usato il ppm

Spesso il risultato è stato espresso in forma % ↴

%C = QNT. SOLUTO 100 = X% QNT. SOLUZIONE

ESERCIZI

1. Aggiungendo 50 g di soluto a una soluzione al 5% si ottiene una soluzione finale al 6%. Calcolare il peso iniziale della soluzione

Ci = 5% Cf = 6% ⇒ ⁵/₁₀₀ = ⁵/_x+50 ⇒ ⁶/₁₀₀ = ⁵/_x+50 ⇒ 6 = 5 ⇒ ⁶/₁₀₀*x + 3 = ⁵/₁₀₀*x + 50 ⇒ ⁶/₁₀₀*x - ⁵/₁₀₀*x = 47 -

⁷/₁₀₀ = 400 g

2) Aggiungendo 100_g di solvente a una soluzione al 5% si ottiene una soluzione al 4%. Calcolare il peso iniziale della soluzione

Soluzione

_Ci = 5%

_Cf = 4%

⁵/₁₀₀ = ^x/_x+100 => ⁴/₁₀₀ = ⁵/_x+100 => ⁴/₁₀₀(x+100) = ⁵/₁₀₀

=>⁴/₁₀₀ × ₄ | ⁵/₁₀₀ => ^x/₁₀₀ = ⁴ => x = 400_g

3) Avendo 10 _kg di una soluzione al 30%, quanto solvente si deve aggiungere per ottenere una nuova soluzione al 20%?

³⁰/₁₀₀ = 10 = 3_kg di soluto => ²⁰/₁₀₀ = ³/_10+x => ²⁰/_(10+x) = 3

=> 2 + 0.2x = 3 -> 0.2x = 1 -> x = 1/0.2 = 5_kg

● Avendo 20 _kg di una soluzione al 10%, quanto soluto si deve aggiungere per ottenere una nuova soluzione al 20%?

¹⁰/₁₀₀ = 20 = 2 _kg di soluto => ²⁰/₁₀₀ = ^2+x/_20+x

=> ⁴/₂₀/¹⁰⁰ = ^2+x/_20+x => 0.8x = 0.8 = 12.5_kg

• EQUAZIONI DI 1^o GRADO

ax + b = 0   a, b ∈ ℝ   x INCOGNITA

Se a ≠ 0   x = SOLUZ. UNICA

x = -b/a   ⟹ ⟨x = -b/a   ⟩ ⟹ x = -b/a

• EQUAZIONI DI 2^o GRADO

ax² + bx + c = 0   a, b, c ∈ ℝ   a ≠ 0

• 1) Δ < 0   NON HA SOLUZIONE IN ℝ
• 2) Δ = 0   HA UNICA SOLUZIONE IN ℝ   (x = -b/2a)
• 3) Δ > 0   HA 2 SOLUZIONI IN ℝ   (x_1,2 = (-b ± √Δ)/2a)

Δ = b² - 4ac

REGOLE:

A, B ∈ ℝ

(A + B)² = A² + 2AB + B²

(A + B)(A - B) = A² - B²

2=1 b=0 c=2

x=2

• Il coefficiente angolare
• Se b≠0 l'equazione della retta può essere riscritta risolvendo rispetto a y:

y=mx+q dove m=-_a/_b e q=-_c/_b

• Il numero m si chiama coefficiente angolare e rappresenta la pendenza della retta, ossia quanto è inclinata.
• Il numero q si chiama intercetta e rappresenta l'ordinata del punto d'intersezione con l'asse y.

m>1

0 ℝPerché usando -1 al denominatore verrebbe 1/0 = impossibile

• Campo di Esistenza
• Il campo di esistenza di una funzione f è il dominio più grande su cui la funzione f ha significato.

Esempi:

1. f(x) = 9 + (2x),   g(x) = √x
   • f: ℝ -> ℝ
   • g: [0; +∞) -> ℝ
2. g(x) = √x - 2 + √x
   • x - 2 ≥ 0,   x ≥ 2
   • x > 0,   x ≤ 0
   • x ∈ ℝ,   f.c. sia allo stesso tempo x ≥ 2 ∧ x ≤ 0
3. f(x) = √x - 2 + √5 - x
   • x ≥ 0,   x > 2
   • 5 ≥ x,   x ≤ 5
   • f: [2,5] -> ℝ

Funzione Composta

Date due funzioni f: A→B e g: B→C si può definire

Funzione Composta (g∘f): A→C (g∘f)(x)=g(f(x))

È molto importante che la prima funzione abbia la sua immagine nel dominio dell'altra.

Esempio

f(x) = √x; g(x) = x^2 - 4 ⇒ (f∘g)(x) = f(g(x)) = f(x^2-4) = √(x^2-4)

f: [0, +∞) → [0, +∞); g: R → R

(f∘g)(x): x^2 ≥ 4

[2, +∞) ∪ [-2, +∞) x ≥ ±2

(g∘f)= [0, +∞) → R

Criterio di Invertibilità

Le funzioni strettamente monotone (sia crescente/decrescente) sono invertibili.

Il criterio d'invertibilità dice che

se f è strettamente monotona e suriettiva, allora f è invertibile.

f crescente ⇔ f^-1 crescente

f decrescente ⇔ f^-1 decrescente