Appunti Matematica attuariale, concetti base

MATEMATICA ATTUARIALE

Maschi

Femmine

gen. 20 anni censimento.

_lx funzione sopravvivenza LEAVING FUNCTION

• NUM. PERSONE A ETA` x <sup>0</sup>: 100.000 (codice delle Tavole)
• 1 → <sup>82.481</sup> dopo un anno questi sopravvivono
• 2 → <sup>76.231</sup> dopo due anni
• supponiamo in 2 anni: 76 mila.
• → ULTIMA ETA` esterna: dopo questa età tutti sono deceduti

_dx funzione decessi DEATH FUNCTION

NUM. PERSONE MORTE IN 1 ANNO A ETA` x

d_x = l_x − l_x+1

_px probab. di sopravvivenza di una testa dell’età x

TASSO ANNO DI SOPRAVVIVENZA per l’anno successivo.

• Casi favorevoli
• Casi possibili

P_x = ^l_x+1/_lx

PROB. che uno individuo sopravviva nel momento

P_x = ^l_x+m/_lx

1^qx = prob. di morire entro un anno.

TASSOANNUO DI"QUOZIENTEDIMORALITÀ"

qx = 1 - px

= 1 - _lx+1/^lx =

_dx/^lx

TASSOISTANTANEODIMORALITÀ

d^qx = _{lx - lx+dt}/^lx

prob. di morirein un infinitesimoistante t

lx - lx+dt

= decremento dopo un intervallo infinitesimo

dl f(x) = f'(x) dt

d(log f(x)) = _f'(x)/^f(x)

d^qx = -₁/^lx dt = d log lx

μx = -₁/^lx

d^qx = μx dt

prob. istantanea di morire in dt all'intervallo di tempo

essendo uno costante μx

noto μx, come trovare lx?

-∫₀^x _l't/^lt dt = -∫₀^x d log lt = [ log lt ]₀^x =

= log lx - log l₀ = log _lx/^l₀ ⇒ _lx/^l₀ = e^{-∫₀x e_χxdt}

CAP. DIFF. _{Legge de Moivre} demografico

¹/_Eχ

E = Fattore attuariale

E_x = Fattore attuariale di sconto

Fattore capital. demografico

finanziario teor. conto

→ effetto differimento

→ probabilità morte

E^m_E è scindibile

E = E + E

E^n_Eχ fattore attuariale

E^Z_χm = fattore finanziario

di montante

→ a parità di tasso:

Rimborso def. fin. Momento fin.

¹/_E > ¹/π^m = ¹/((1 + i)ⁿ)

E_χc=1

Rendite (o annualità) vitializie immediate

→ → CdX ruolo χ

VALORE ATTUALE

A_0χ E_χ+E₂X

CAD. DIFF.

AMMORT.

Dx

Rendita Posticipata Immediata Vitializa