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MATEMATICA ATTUARIALE

STATISTICA ITALIANA

Maschi | Femmina

ogni 10 anni: censimento.

lx Funz. sopravvivenza LEAVING FUNCTION

  • eta/x: 0 → 100000 (codice della Tavola) | età alpha
  • 1 → 82481 dopo un anno questi sopravvivono
  • 2 → 76231 dopo due anni... sopravvivono i 2 anni: 76 mila.
  • ω età estrema tempo passato età: tutti sono deceduti

dx Funzione decessi DEATH FUNCTION

  • num. persone morte → numero di morti nell'anno.
  • dx = lx - lx+1

Px Probab. di sopravvivenza di una testa dell'età x (persona) TASSO ANNO di sopravvivenza l'opportuno l'anno successivo.

P = casi favorevoli / casi possibili

Px = lx+1 / lx

Prob. che uno dello scrivano nel momento

mPx = lx+m / lx

MATEMATICA ATTUARIALE

Statistica Italiana

Maschi

Femmine

ogni 20 anni censimento.

lx funzione sopravvivenza

Leaving Function

  • 0 → 100.000 (codice della Tavola) & età x
  • 1 → 82.481 dopo un anno molti sopravviveranno
  • 2 → 76.231 dopo due anni. sopravvivono i 2 anni: 76 mila.

omega ↓ età estrema dopo questa età tutti sono deceduti

dx funzione decessi

Death Function

numero di decessi

numero di morti nell'anno.

Px probab. di sopravvivenza di una testa

Tasso annuo di sopravvivenza

casi favorevoli

casi possibili

µx = prob. di morire entro un anno.

TASSOANNUO DI (QUOZIENTE DI)MORTALITÀ

qx = probab. di morte entro un anno d’età x o al massimo di anno x÷ xo per sviluppi nell’antico

= lx - lx+1 lx =

qx = TASSOISTANTANEODIMORTALITÀ

= - dx

lim qx = lx - lx+dt∆t ➔

prob. di morire in un intervallissimo istante t

lx - lx+dt

= osservazioni dopo un intervallo infinitesimo= l’dt

d[ f(x) = [((x)] dtd(log [ f(x)] = [‘(x)’ ‘((x)

dt qx = -lx’ / lx’ dt = d log lx

µx = - l’x lx

dt qx = µx dt

prob. ISTANTANEA di morire è q[ dell’intervallo di tempoessendo uno costante µx

noto µx , come trovare lx ?

- ∫0x l’’t l’t dt = - ∫0 d log lu t = [ log lu t ]0x ]

= log lx – log lo = log lx= lo = eo

lx = l0 e-∫xw μsc dt

Expectation of Life = Vita Media

ex = età "media" competa

quanti anni restano di vivere "x" in medio a uno itsa di età x?

ω->∞

Probab:

Valor Medio

lx = dx/lx + 2 dx+1/lx + 3 dx+2/lx +...+ (ω-x)dωx/lx

dlx+1 = lx - lx+1

x = 1/lx + lx+1 + lx+2 +...+lx+ω

età media incompleta

età media completa

Media arithmetica del numero di anni di vita che restano da vivere.

Tasso annuo di mortalità

xc

mxc = decessi

num medio viventi nell'anno

lx - lx+1

mxc = dxc/(lx + lx+1)/2

→ media aritmetica

Vita probabile

b(x) indicatore

Indica il numero di anni di vita che restano da vivere alla testa x con probabilità = 50%.

x=40

π40=33,85

La probab. per un 40.enne di essere in vita tra 33,85 anni è 50%.

Probab. morte differita

→ la morte accade in un periodo di tempo che non inizia subito ma è differito.

pm/9xc

m < sub>9 < sub>xc

q25|940 = q2540

ADC di un 40.enne di morire passati 25 anni ed entro l'anno successivo, fasci tra 65 e 66

p/m9xc

→ poi avviene la morte.

CAPITALE DIFFERITO

ASSICURAZ. CASO VITA

ASSICURAZ. CASO MORTE

ASSICURAZ. MISTE

USO CAPITALE DIFFERITO SOLO REGIME CAPITALIZ. COMPOSITO

Ex MATEM. ATTUARIALE

Lire un testo su sarò in moto verso popoli il capitale C = 1

PRINC. EURICE del calcolo delle prob.

PREMIO

DUE che vogliono x essere dono m onnie

VALOR MEDIO = possibile valore x pesche dei valore

lx+m Lc vm = lx+m v2x+mlx

passato Dx = lx vx

PREMIO UNICO PURO 1 €

SEMBOLO DI COMMUTAZIONE

Grazie con i numeri di commutazione si chiamano

"TAVOLE DEMOGRAFICO-FINANZIARIE"

Spreito unico tra 20 tenba riscossione de fatto el bremio esce verso ti uno una boa do terno osresso valeur in viro.

U = x+Ex 1,0/m

COMPOSTO

CAP. DIFF.

Legge dei grandi numeri

  • demografico
  • politiche di decespugliamento
  1. 1/E
  • FATTORE CAPITALE
  • demografico
  • finanziario
    • Effetto spostamento
    • probabilità morte

m Ex è scindibile

Em+m' / x = Em / x + Em' / x+m

A parità di tasso:

  • NOMANDE DEF. FIN.
  • NOMANDE FIN.

1 / 1/&Ex > Πm = 1 / 1/(1+t)m

RENDITE (o ANNUALITÀ) VITALIZIE IMMEDIATE

Valore Attuale Dx

⊂Ex + E / 2x… + ωE =

Capitol. DIFF.

Scomposizione per un anno Valore attuale 1ª rata

© [tutti i diritti riservati]

Dxc + Dxc+1 … + Dxc+ω-x / D

Nxc = Dxc + Dxc+1 … + Dω

RATA DI 1 CT IMPORTO COSTANTE CHE Xc È IN VITA.

[PENSIONE]

Xc = Nc+1 / Dx

RENDITA POSTICIPATA IMMEDIATA VITALIZIA

ĭx = 1 + Nx+1/Dx = Dx + Nx+1/Dx = Nx/Dx

RENDITA ANTICIPATA IMMEDIATA VITALIZIA

Nx/Dx

SIMBOLI DI COMMUTAZIONE

-3 caso VITA

-3 caso MORTE

rendite vitalizie differite

R approccio

x

K imp.

E k

=

DEtk

=

= DEtk/Dx => Nx+k+1/Dx+k = Nx+k+1/Dx

E periodic.

NEx+k/ax+k

esempio:

rendione divota R = 20’000 € , x = 40 , a20/40 = 20’000

Klĭx = Nx+k/Dx

=

= 439’750,41/44’342,50 = 225’404,7

RENDITA VIT. TEMPORANEA

Viene pagato rendito immediato ma al max e potlo che lo testo se in vito.

x ax: = ax:m - 1Ex:m = Nx/Dx - Dx+m/Dx = Nx+m/Dx+m = Nx - Nx+m/Dx

max = Nx+1/Dx - Nx+m+1/Dx

REND. VIT. TEMP. DIFF. di k

k/max = Nx+k+1 - Nx+k+m+1/Dx

RENDITA VIT. FRAZIONATA m

max = ax + m-1/2M

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Scienze economiche e statistiche SECS-S/06 Metodi matematici dell'economia e delle scienze attuariali e finanziarie
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Miss.Silvia di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica attuariale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università Cattolica del "Sacro Cuore" o del prof Scienze economiche Prof.
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