Appunti lezioni di meccanica razionale

Meccanica Razionale

• Richiami Calcolo Vettoriale

Spazio Euclideo tridimensionale con coordinate cartesiane (x, y, z).

_V = (x, y, z) = x _a1 + y _a2 + z _a3

1. Prodotto Scalare

• w = U1 _a1 + U2 _a2 + U3 _a3
• v = V1 _a1 + V2 _a2 + V3 _a3

w · v = UxVx + UyVy + UzVz

Definizione Algebrica

|v| = √(V1² + V2² + V3²)

w · v = |w| |v| cos(α)

Definizione Geometrica

[α = angolo tra due vettori]

Se _W v =⇒ _U · _V = 0

Proprietà:

1. Simmetrico (_U · _V = _V · _U) e Lineare
2. Due vettori ortogonali, se il loro prodotto scalare è nullo
3. Cambiando l'unità di misura con il prodotto scalare

|_a1| = |_a2| = |_a3| = 1

2. Prodotto Vettoriale

Dati

• V = V₁a₁ + V₂a₂ + V₃a₃
• U ∧ V = det

Regola di Ciclicità delle Coordinate:

(U ∧ V)_x = U_yV_z - U_zV_y

(U ∧ V)_y = U_zV_x - U_xV_z

(U ∧ V)_z = U_xV_y - U_yV_x

Proprietà:

1. Prodotto vettoriale antisimmetrico U∧V = -V∧U
2. Vettore ortogonale
3. Prodotto vettoriale |U∧V| = |U||V|sinα

Se α = 0 allora U∧V = 0

3. Doppio Prodotto Vettoriale

Dati u,v,w

u ∧ (v ∧ w) = (u∙w)v - (u∙v)w

4. Prodotto Misto

Dati u,v,w

u ∙ v ∧ w = v ∙ (u ∧ w)

Se sono formano la base

u ∧ v ∧ w = -v ∧ u ∧ w

Risolvendo dell'equazione lineare vettoriale a ∧ x = b

V = (a ∧ b)/|a|²a

Sistemi Rigidi:

Requisiti Fondamentali Olistici:

Se due punti qualsiasi del sistema sono congiunti tra loro tramite aste, il numero cui la distanza tra due punti qualsiasi del sistema rimane fissa, si dice che il sistema è rigido.

Quante coordinate abbiamo in un generico modo libero di muoversi nello spazio tridimensionale?

Se ci sono N punti, le relazioni che esprimono vincoli interni sono:

\( \frac{N \cdot (N-1)}{2} \)

se ogni giunto è un ostacolo tra le coppie di punti, il sistema è rigido.

Infatti se P1, P2, P3 sono rigidi, qualsiasi tra di loro, e Pk, Pl sono ogni due punti, ciascuno rimanente congiunto con P1, P2, P3, allora Pk, Pl assumono la posizione, congiunta tra loro, e la distanza Euclidea di un punto nello spazio è compatibile localmente osservazionalmente con la distanza di un terzo punto.

Se N > 3, e 8 punti non allineati:

• 2 + 3(N-3) = 3N - 6

Nello stesso, senza vincoli esterni:

\( v = 3N - r = 8 \cdot (3N - (3N-6)) = s \)

Che possono essere scelte le coordinate libere per un sistema rigido formato da punti non allineati?

Dare la relazione di un terzo sistema rigido rispetto ad un posto assegnato di riferimento \((\overrightarrow{r_1}, \overrightarrow{r_2})\) con origine fissa o, è equivalente a dare la relazione di un altro sistema di riferimento \((\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_3})\) quando viene fissato il vettore a quello dato.

Vettori \((\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_3})\) hanno seguenti:

\(\overrightarrow{e_1} = \alpha_{11}\cdot\overrightarrow{i} + \alpha_{12}\cdot\overrightarrow{j} + \alpha_{13}\cdot\overrightarrow{k} \quad \frac{\alpha_1\cdot\alpha_2\cdot\alpha_3}{|E|}\)

\(\overrightarrow{e_2} = \alpha_{21}\cdot\overrightarrow{i} + \alpha_{22}\cdot\overrightarrow{j} + \alpha_{23}\cdot\overrightarrow{k}\)

\(\overrightarrow{e_3} = \alpha_{31}\cdot\overrightarrow{i} + \alpha_{32}\cdot\overrightarrow{j} + \alpha_{33}\cdot\overrightarrow{k}\)

Relazioni:

\(|\overrightarrow{o}, \overrightarrow{o_e}, \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_3}, \overrightarrow{o_i}|\)

\(|\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_3}|\)

Sole tre componenti sono indipendenti!

Proposizione

La velocita' angolare di un sistema di punti materiali in moto rigido piano è

perpendicolare al piano direttore, ed ha come generatrice il verso:

normale al piano, la direzione uscente dall'estremità a marcia del senso.

Se l'angolo di rotazione Ѵ' l'angolo che in rotazione "controrarum amentes quae cherum" si muove a P l'uniforme minima

Avremo:

w = + ^dѴ/_dt

Altrimenti:

w = - ^dѴ/_dt

Asse di istantanea rotazione per un moto non rotano

(C-Q) = w λ V(Q) / |w|² + λ w

L'asse di istantanea rotazione è formata da punti a velocità nulla solo se: I = 0

Per questo motivo, l'asse di istantanea rotazione per l'uso di moto rotano, nel caso I ≠ 0, viene chiamato asse di moto (o asse del nodi)

Teorema:

Nel caso in cui I ≠ 0, i punti della retta hanno velocità pari a we di modulo minimo,

Dimostrazione:

Sia C il generico punto dell’asse di moto descritto da un vettore angolare w

V(CQ) = V(Q) + w λ wA(C-Q)/|w|²

= V(Q) + wA [wA V(Q)]/|w|²

= V(Q) + [V(Q)·

I = [V(CQ)·w]

= Iw/|w|²

2^a Parte:

Sia C punto dell’asse di moto, ovvero un generico punto P V(CC) - wA (P - C)/|w|

Similar modo

Sistema ideale: un solo vincolo senza attrito di rotolamento

La velocità di due punti a contatto deve essere nulla se non c'è forze di attrito

In tal caso f=n(senza attrito benzeno) e non vi è deformazione di contatto

La reazione vincolare è completamente indeterminata a priori Se si considera un moto piano, il vincolo di rotolamento senza slittamento comporta di mumes di 2 GDL

Considero un disco che già siliasce su una guida omalfotto fissa appoggio le legge fond della cinemefica : V_G = V_A + ω ∧ (C_n - A₃)

A₁ = C_n V_H = 0 Il disco si muove lungo x X [romanos cavoro] = [ω_c ∧ C_n - A₃]

Coordinata libera: X del pansegrato del disco

Legame cinemefico Per ending i gdl bono mens bello nelluna tada 15 coord

Vincolo olonomo: "Se le reazioni che lo tarduolo ipsum movolosi in una fiona completo suo coodo nonicoisse per osgiorse il sistema"

Vincolo anolonomo: non ridumo il numero dei gdl, ma lummituo solo la moltivusi un sistema di motive e si giuga ancora vincoli di pura posmosta"

Lavoro lungo un cammino finito

Lavoro generato una forza in un intervallo temporale finito [t₁, t₂].

Se il lavoro complessivo non è un differenziale esatto, si annulla, cioè l'integrazione lungo la curva chiusa beneficia della sua non chiusura o chiusura, il lavoro generato in un intervallo temporale finito.

Forze dipendenti da posizione, velocità e tempo

Dimostriamo che, nel caso di una forza generata F(p,v,t), per calcolare il lavoro generato in un intervallo di tempo finito, dobbiamo dare anche la variazione del moto: p = p(t).

dL = F(p,v,t) · dp

= F(p(t), p(t), t) · dp(t)_dt

= F(t) · dt

[v(t) = F · p] = potenza

———- integral entrambi i membri ———-

L = ∫_t1^t₂ p(t) dt

Se a proprieta' di estremi A := p(t₁) ≡ B ≡ p(t₂) cambia il moto,

allora cambia la potenza e, di conseguenza, il lavoro sarà in generale diverso.

Osserviamo che, per un cammino chiuso, il lavoro non è nullo.