Appunti lezioni di meccanica razionale

Name: Appunti lezioni di meccanica razionale
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Author: RiccardoBaltrocchi

Revisionato il 30/06/2026

di RiccardoBaltrocchi

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Vengono trattati i temi riguardanti:
Cinematica, cinematica del punto materiale, cinematica dei sistemi materiali liberi e vincolati; cenni di statica introduttivi alla dinamica; dinamica; cenni di meccanica relativa.
Richiami di calcolo vettoriale; cinematica del punto materiale; sistemi di punti materiali e vincoli; sistemi rigidi; cinematica del corpo rigido; tipologie di vincoli; forze e sistemi di forze; forze, lavoro e potenziale; principi della meccanica newtoniana; equazioni cardinali della dinamica; momenti d'inerzia ed ellissoide d'inerzia; teorema dell'energia cinetica e conservazione dell'energia meccanica; principio dei lavori virtuali."> Gli appunti sono stati utilizzati per la preparazione all'esame scritto e orale del corso di "Meccanica razionale" tenuto dal prof. Silvia Lorenzani al II anno di Ingegneria Edile e delle …

Esame Meccanica razionale

Facoltà Ingegneria civile ambientale e territoriale

Dal corso del Prof. Lorenzani Silvia

Università Politecnico di Milano

A.A. 2020-2021

49 pagine

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Estratto del documento

Meccanica razionale II

Richiami calcolo vettoriale

Spazio euclideo tridimensionale con coordinate cartesiane (x, y, z)

Operazioni

1. Prodotto scalare

Dati = U_xẑ₁ + U_yẑ₂ + U_zẑ₃, v = V_xẑ₁ + V_yẑ₂ + V_zẑ₃

u·v = U_xV_x + U_yV_y + U_zV_z - Definizione algebrica

|u| = √(U_x² + U_y² + U_z²)

u·v = |u||v| cosα - Definizione geometrica

[α = angolo tra due vettori]

Se ẑ_i ⊥ ẑ_j => ẑ·v̄ = 0

Proprietà:

Simmetrico (Ẑ·V̄ = V̄·Ẑ) o lineare [(λV + μV)·U = λ(V̄·U) + μ(Ū·V)]
Due vettori ortogonali, se il loro prodotto scalare è nullo
Considerando una Ẑ_i di m con il prodotto scalare

Ẑ₁·Ẑ₂ = Ẑ₁·Ẑ₃ = Ẑ₂·Ẑ₃ = 0

|Ẑ₁| = |Ẑ₂| = |Ẑ₃| = 1

Meccanica razionale

Richiami calcolo vettoriale

Spazio euclideo tridimensionale con quinta ovestiana (x, y, z)

Operazioni

1. Prodotto scalare

Dati
= _x̂ + _ŷ + _ẑ,
= _x̂ + _ŷ + _ẑ

⋅ = _x_x + _y_y + _z_z - Definizione algebrica

| | = √_x² + _y² + _z²

⋅ = |||| cosα - Definizione geometrica

[α = angolo tra due vettori]

Se ̃ ⊥ ̃ ⇒ ̃ ⋅ ̃ = 0

Proprietà:

Simmetrico (̃ ⋅ ̃ = ̃ ⋅ ̃)
Lineare ( + ) = () + ()
Due vettori ortogonali, se il loro prodotto scalare è nullo
Considerando una base di M con il prodotto scalare

̂₁ ⋅ ̂₂ = ̂₁ ⋅ ̂₃ = ̂₂ ⋅ ̂₃ = 0

|̂₁| = |̂₂| = |̂₃| = 1

2. Prodotto vettoriale

Dati
U = U₁i + U₂j + U₃k
V = V₁i + V₂j + V₃k

U ∧ V = det

i j k
U₁ U₂ U₃
V₁ V₂ V₃

(UyVz - UzVy)i + (UzVx - UxVz)j + (UxVy - UyVx)k

Regole di ciclicità delle coordinate: X → Y → Z → X

(U ∧ V)_x = UyVz - UzVy

(U ∧ V)_y = UzVx - UxVz

(U ∧ V)_z = UxVy - UyVx

Proprietà:

Prodotto vettoriale antisimmetrico U ∧ V = -V ∧ U
Vettore ortogonale generato da U ∧ V ↔ ortogonale a U e V
Prodotto vettoriale si annulla se uno dei due vettori è nullo o se i vettori sono paralleli

|U ∧ V| = |U||V|sinα

Se i//V ⇒ xU ∧ V = 0

ⁱ x ⁱ¹ - ² ³² ³ ¹^-1^-3 ^-2

3. Doppio prodotto vettoriale

Dati μ, ν, w
U ∧ (ν ∧ w) = (U·w)ν - (U·ν)w

4. Prodotto misto

Dati U, V, W
U ∧ V ∧ W = U · (V ∧ W)

Se cambia forma, cambia il segno → U·V∧W = -V·U∧W = W·V∧U

Proprietà ciclica → in rotazione → U ∧ V ∧ W = V ∧ W ∧ U

Se due vettori uguali → xU∧'W = x(W) x ² = 0

- Risoluzione dell'equazione lineare vettoriale: aΛv = b
v incognito vettore
1) a ≠ 0

Moltiplico vettorialmente (a ∧ b) per (Λ)(a ∧ v) ∧ a = b ∧ a
(a · a)v - (a · v)a = b ∧ a|a|² - (a·V)a + b∧a = V = a∧V + b∧a a(λa) + b∧aL'²a(λ ∈ ℝ)

2. Cinematica del punto materiale

Il moto di un punto materiale P in un intervallo di tempo [t₀, t₁].

Osservare del punto materiale P individuato del vettore rc(t) = (x, y)_C(t)

Velocità
v_p(t) = d_Pdt = ẋ(t)î + ẏ(t)ĵ + ż(t)k̂

Accelerazione
a_p(t) = ẍ(t)î + ÿ(t)ĵ + z̈(t)k̂

Spostamento infinitesimo o elementare d_P:
d_P = vdt = (ẋ(t)î + ẏ(t)ĵ + ż(t)k̂)dt

ds = |d_P| = |v(t)|dt = √ẋ² + ẏ² + ż² dt

s(c) = ∫_t₀^t |v(c)|dt = legge odarca

Essendo s univoca dell'arco d'a

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