Appunti lezioni chimica fisica

NUMERI COMPLESSI

Numero reale: si può rappresentare come un vettore su un asse (1 dimensione)

Numero complesso: si può rappresentare come un vettore su un piano (2 dimensioni), esso presenta una componente reale e una immaginaria: z = a + ib

Il modulo z di un numero complesso a+ib è la sua distanza dall'origine, quindi si può scrivere |z| = √(a^2 + b^2)

In forma trigonometrica, definendo l'angolo formato dal vettore con l'asse reale, si ha z = r(cosθ + i sinθ), con r che è la distanza dall'origine definita come √(a^2 + b^2) e θ che è l'angolo formato con l'asse reale detto argomento: θ = arctan(b/a)

Inoltre si ricava che: a = r cosθ e b = r sinθ. Inoltre, si ha che e^(iθ) = cosθ + i sinθ

Nella forma cartesiana, il numero complesso è definito da 2 vettori che giacciono sull'asse reale e asse immaginario, mentre nella forma trigonometrica o polare il numero complesso è

definito da una distanza dall'origine (che dà il modulo) e da un angolo (che dà la direzione). Per passare a tale forma:

SOMMA: z + z = x + x + i (y + y )_{1 2 1 2 1 2}

DIFFERENZA: z - z = x - x + i (y - y )_{1 2 1 2 1 2}

Parti reali si sommano o si sottraggono con parti reali mentre parti immaginarie si sommano o si sottraggono con parti immaginarie..

PRODOTTO

• Forma cartesiana: prodotto di due binomi quindi: z · z = x x - y y + i (x y + x y )_{1 2 1 2 1 2 1 1 2 2}
• Forma polare: si moltiplicano separatamente i moduli e i fattori esponenziali: i(θ +θ )z · z = r r e^{1 2}

QUOZIENTE

• Forma cartesiana: bisogna avere un numero reale al denominatore moltiplicando z​ 2z x x +y y +i (x y -x y ) per il suo complesso coniugato: =1 1 2 1 2 1 1 2 2z 2r2
• Forma polare: si svolge la divisione separatamente tra i moduli e i fattori iθz (r e ) r1 i(θ -θ ) esponenziali: = = · e^{1 1 1 1 2}z riθ(r e )22 22

ATOMO DI

energia ad uno stato a bassa energia avviene attraverso l'emissione di fotoni con energie specifiche. Questi fotoni possono essere analizzati tramite uno spettrometro per determinare la composizione e le proprietà dell'atomo di idrogeno. Il modello di Bohr ha contribuito notevolmente alla comprensione dell'atomo di idrogeno, ma è stato successivamente superato dal modello di Schrodinger, che utilizza l'equazione di Schrodinger per descrivere il comportamento degli elettroni in modo più accurato. Il modello di Schrodinger tiene conto del principio di indeterminazione di Heisenberg, che afferma che non è possibile conoscere simultaneamente la posizione e la velocità di una particella con precisione infinita. Pertanto, gli elettroni non sono confinati a orbite fisse, ma si trovano in regioni di spazio chiamate orbitali, in cui la probabilità di trovare l'elettrone è maggiore. In conclusione, il modello di Bohr è stato un importante passo avanti nella comprensione dell'atomo di idrogeno, ma è stato superato dal modello di Schrodinger, che tiene conto del principio di indeterminazione e descrive in modo più accurato il comportamento degli elettroni.

energia a uno stato a minore energia implica l'emissione di un fotone con energia ∆E = E​ - E​ = hν. Lo spettro dimostra che gli elettroni nell'atomo di​2 1idrogeno possono stare solo in stati di energia determinata infatti gli atomi di idrogeno prodotti dalla scarica elettrica emettono luce e le frequenze di tale luce mostrano che:

1. ci sono più serie di righe in diverse regioni dello spettro
2. ogni riga corrisponde alla transazione di un elettrone tra due stati di diversa energia

L'esperimento provoca il collasso della funzione d'onda in un unico stato ben definito e solo gli stati stazionari si possono osservare. Inoltre mostra che le energie dell'elettrone sono quantizzate e per trovarle bisogna risolvere l'equazione di Schrodinger per l'elettrone dell'atomo di idrogeno.

1. MOTO QUANTISTICO - PARTICELLA SU UNA SFERA

Possiamo immaginare la sfera come costituita da tanti anelli impacchettati lungo l'asse z. Ci sono 2 variabili,

φ e θ: quindi, anche l’hamiltoniano e la funzione d’onda devono dipendere da 2 variabili. Inoltre la funzione d’onda deve soddisfare condizioni cicliche al contorno simili a quelle già viste per la particella sull’anello. L’angolo φ può variare nell’intervallo 0 ≤ φ ≤ 2π e l’angolo θ può variare nell’intervallo 0 ≤ θ ≤ π.

Modello: una particella che si muove su una superficie equipotenziale, cioè che il potenziale V è costante sulla superficie e si può assumere V=0 nel trattare il moto, quindi l’equazione di Schrodinger:

Conviene passare alle coordinate sferiche che ci permettono di fissare r, quindi costante. Si trova quindi un hamiltoniano che dipende da due gradi di libertà, ovvero i due angoli φ e θ che si indicano come: H(φ, θ). Deve soddisfare due condizioni al contorno cicliche: la funzione d’onda deve ripetersi uguale a sé

dopo un giro completo attorno all'equatore ma anche dopo un giro completo attorno ai poli. Quindi servono due numeri quantici per definire il momento angolare. Tali condizioni devono essere contemporaneamente soddisfatte, quindi i due numeri sono in relazione fra loro: el = 0, 1, 2... m = - l , 0, + l ²2ħ Funzione d'onda: dipende dalle due variabili φ e θ → H (φ, θ) = - · [V (φ, θ)]²2mr² è il momento di inerzia, con r è una costante uguale al raggio della sfera. 2mr L'equazione di Schrodinger diventa: . Le funzioni che H (φ, θ) ψ(φ, θ) = E ψ(φ, θ) ψ(φ, θ) soddisfano questa equazione sono onde stazionarie sulla superficie della sfera e si chiamano armoniche sferiche (dipendono da due numeri quantici m , l) quindi l'equazione: H (φ, θ) ψ (φ, θ) = E ψ (φ, θ) lm l lm Queste funzioni sono immaginatecome onde stazionarie su una superficie sferica e sono usati in molti modi diversi come per descrivere la parte angolare delle funzioni d'onda di un atomo idrogenoide. Le armoniche funzioni sono il prodotto di due funzioni, una che dipende da φ e una che dipende da θ. Il numero di nodi aumenta al crescere di l, tanto più grande è il momento angolare tanto maggiore è l'energia cinetica. E = l(l+1)ħ sono gli autovalori dell'energia dipendono solo dal numero quantico l, per ogni valore di l si hanno 2l+1 funzioni degeneri, non c'è energia di punto zero. L^2 = l(l+1)ħ^2 è il modulo quadrato del momento angolare L, m è il numero quantico magnetico cioè la proiezione del momento angolare lungo un asse specifico (asse z) e indica in quante orientazioni spaziali si può trovare il momento angolare orbitale L = mħZl. Nella particella sulla sfera, l'energia, il modulo quadrato del momento angolare ela sua direzione nello spazio.z, ma non lungo gli assi x e y che rimangono totalmente indefinite. In generale, per un dato valore di ℓ, ci sono 2ℓ+1 autovalori degeneri di L. Il momento angolare giace sul cono e il suo modulo è definito, ma le sue componenti lungo gli assi x e y rimangono indefinite, rispettando il principio di indeterminazione generalizzato.

l'asse z e non lungo gli assi x e y che rimangono totalmente indefinite (principio di indeterminazione ħ√6 generalizzato). L = MOMENTO ANGOLARE e PRINCIPIO INDETERMINAZIONEMQ: se due operatori non commutano c'è indeterminazione sulle grandezze fisiche e non si possono misurare contemporaneamente, definito come principio di indeterminazione generalizzato. Si può dimostrare che L, L, L non commutano tra loro quindi sono Z, X, Y soggette a relazione di indeterminazione (come posizione e momento lineare).

PARTICELLA ANELLO vs PARTICELLA SFERA- Hanno simmetria centrale, quindi il moto avviene attorno a un centro fisso- L'energia e il momento angolare si conservano e sono quantizzatiMoto sull'anelloEquazione Schroedinger indipendente dal tempo: H ψ = E ψParticella che giace nel piano xy con r costante:2L^2 PT = HZ^2m^2I^2ħ^2 d → H = - ∇^2/2m - V(r) H ψ(φ) = E ψ(φ) L

ψ(φ) = 2lEψ(φ)∇ Z2I 22l dψ1 im φψ (φ) = · e l√ 2π 2​I due operatori commutano: è autofunzione di H e L​ , quindi stessa autofunzioneψ (φ) Z​ 2m ħma diversi autovalori: l'energia quantizzata pari a e il momento angolareE = l2I2 22quantizzato pari a conL = m ħ m = 0, ± 1, &