Appunti Lezione Matematica

INSIEMI

/

A

E' definiti

oggetti

di distinti

azione ben

una e

| definire

fanno

sinonimo di il

insieme concetto

sinonimi ti

non

i

→

7 " "

È PSEUDO DEFINIZIONE

una - descrivere

modi

3

esistono 1

X

ELEMENTO insieme

= { } { }

1- elencazione meta arancia 1911,12

per pera

, , ,

{ XEIN }

2 ! 10

× Exe

caratteristica

= per is

,

Tale che

3 diagrammi Eulero Venn

di

= - Afiqnirf

Il

* dell' lettera maiuscola

insieme è greca

nome una :

degli Lettera

elementi b

dell' minuscola

insieme a

↳ → c

a : , .

, . .

(

¢ A)

appartenenza A

10€ A

2 ad

→ 2 non

- appartiene

{

{ } }

* 12 ha

10,11 1910 11,12 non 10

senso ripetere

e il

, ,

↳ ← l' ordine

anche

Sono stesso

lo cambia

se

insieme →

# A

INSIEME elementi

di

vuoto insieme privo

= =

: { }

A

* da elemento

SINGO costituito Solo

insieme 1 a

letto -

= :

B

A-

- prendiamo a insiemi e ?

( )

BEA

A

B B

di

sottoinsieme

è anche

di

elemento

se è

ogni

A-

elemento di B XEA XEB

¥g A

× ← io il 12

B "

'

' 3

B

A is

coincidere A

può → ⇐

con B

A stesso c

- sottoinsieme A

è di

un (c)

prendere

- anche vuoto

posso sottoinsieme :

un

definizione

la lo CE ¢

non vieta

esortandomi

uninsiereecontoyenesemremealreesoo

* A

voglio

Se la

escludere µ

di

possibilità prendere e come

allora

sottoinsiemi di uguale

simbolo

tolgo il :

, (

Bc A -

sottoinsieme PROPRIO

(

A

B )

E IMPROPRIO

SOTTOINSIEME

-

A- BEA

B AEB

uguali

sono se

e e

Af formato A

da

PARTI

DELLE

INSIEME tutti sottoinsiemi

i di

insieme

= }

} flat

{ fa ftp./4ifsf.fh4ifn4ifzi3

}

A- 12,3 → •

{ (A) ' elementi

2 8

=

= }

fa } ( { }

B)

f(

B. {

b } 274

B 01 b elementi

= → a

= →

,

, , ,

"

fa Se

-8

2 ha elementi

GENERALE

IN insieme

- un m

= l'

allora delle parti

insieme

)

{ ( "

§

p elementi

elemento ha 2

1

= →

OPERAZIONI : AUB

B

A

( }

XIXEAÙTEB

AUB

* '

× ×

UNIONE × '

×

=

= { '

xlxeaixeb

}

* MB

A B

intersezione =

= !

Anb

"

{ B

}

* xlx

B- xeb

¢ A

A 1

DIFFERENZA =

= - B- A

a B

A B

È (A)

CB

Se A B

* B- B

A-

A in

COMPLEMENTARE di

→ a

=

⇐ ←

B-

a

Se B

A Falso

è

⇐ n on

, -7

(A)

CB

fare

posso {

A- 13% {

}

} }

AUB

• = 91,213,4

1,2 3,4

0 >

,

, , A Abele }

{ }

B-

A 3,4

= }

{

A- D= 0,1 " "

NO COMPLEMENTARE

OPERAZIONE di

{ }

} { ( }

A- Be

• AUB 1,213,4

1,2 3,4 =

, { }

Ana 0

{

A- }

B 112

= { }

B- A 3,4

=

(B)

la NO

=

* PRODOTTO B

A. insiemi

CARTESIANO 2

siano

nonvuotittxb

e

=

x=eaÈ -

= sono ordinate

coppie

A- Bxa

xD *

{ } {

A- }

B-

1,2 3,4

= , }

( ) ) )

)

( ( )

AXB (

( 2,4

1,3 2,3

1,4

= sono diversi

, ,

, }

{ )

) )

(

BX ) (

A (

( 4,1

3,1 4,2

3,2 e

= ,

,

, !

^ xanefxtx-la.az

È Ai }

IRXIR XAZXA )

= } .

. . .

. . .

)

2)

G. Has }

EA

lui di ,

. QZEAZ

Isis )

• caseari

> generi .

amean

§ }

IN INSIEME 2,3

NATURALI

DEI NUMERI 1

→

= , .

, .

, .

[

• Si Peano

definire di

tramite assiomi

gli

può

@ Si fala la

la moltiplicazione divisione

sottrazione

può somma non

ma e

e .

{ }

£ 7-1

i. 77

INSIEME

= DEI INTERI 1

NUMERI → 0

, ,

,

↳ Si dividere

sottrarre

possono ma non }

{

① / EZ

be b

DEI X

RAZIONALI

INSIEME -7 t

NUMERI

= 0,0

ex ,

] # o

con a

E

Xtb ×

• =

o .

= a

infinite cifre dopo virgola

la

periodico

NUMERO =

[ it numeri

1,4142

= razionali

non

e - sono

. .

. E

/ diversi

infiniti

perchè dopo tutti

la virgola numeri ma

ci sono

• II

Sono IRRAZIONALI

numeri = ✓ l

' e Lite

•

• =

IR = INSIEME Reali

DEI NUMERI

Th )

(

la ' ¢

④

dell' Q

appartiene la

: -2

soluzione non

equazione × a

T2 +2=2

IPOTESI di

la soluzione

è

=

Fa ¢

TESI =

DIMOSTRAZIONE contraddizione

assurdo

si la

procede si tesi

-7 arrivare

nega

: per per una

a

/ dell' ipotesi .

• )

§

TE (

le ④ semplificarti

b entrambi

€ api

70 interi

pari

ponendo numeri

→ per

- e

non

non

-

,

/ IN

b. E

a ,

A

È =2b

È

2 >

= PARI

qualsiasi

= è

2 sempre

×

numero

un

→

Quindi ④

a2 aha IN

KE

PARI

è è 2.

PARI qualunque

a

a

numero - →

a numero

un →

- -

2k

a = 2K2

al ? ( ) 741k¥52

→

zb 2k PARI

è

b

= o

-

Quindi VI

contro

pari

b

che è

entrambi tra

il

sia ciò che abbiamo assunto rapporto

:

sono 2

a ,

/

numeri PARI

entrambi

NON Tg

Perciò T2 lo pari

scrivere numeri

2

di entrambi

rapporto

posso come

non

AL A

Sia vuoto

insieme Non

un [ VE

b perciò

entrambi

scriverlo pari è

razionale non

un posso con a non

numero come ,

razionale

un numero

RELAZIONE ORDINE

D' :

relazione che

E A è

è minareti guata

su :

una -

Va

RIFLESSIVA elemento

EA stesso

→ ogni

ha

si s

casa e se

a

= ,

Va

ANTI A bea =D

SIMMETRICA allora

Eb

b E se a e

= a

,

, d'ordine

relazione

non è

↳ una

)

( 3€

elementi LE

invertire 3 →

NO

gli 2 falsa

non → perche

si '

possono e

• elementi UGUALI

scambiare

se questi

gli

si sono

possono :

TRANSITIVA Va be

CEA allora

b

b se c

as EC

e a

= , , FUNZIONI

A B vuoti

insiemi

2 NON

e

Una f

funzione ( )

A- B di

applicazione A

ad elemento

ogni

legge associa

è che

: una uno un

e

B

elemento di

solo f. A- B

• beffa

)

→

•

Esempio { }

Befa

}

A- b.

12,3 e

: ,

, ffz )

beffa

)

)

fls

f- a e =

>

A B

→

1- a

2 f

è di

a IMMAGINE 1 tramite

!

¥ f

è

1 di tramite

contro immagine a

C A B

B

A A

f

di

Dominio

= 1- a

\

B f 1 9

-

di

condominio

= / ab

2

b

2

Imlf (

) c)

- c

a.

- 3

e

3- funzione

NON

si è una

# f

INSIEME DELLE DI :

IMMAGINI }

:{

(f) )

beblfa.CA beffa

In cui

per

& FUNZIONE IDENTITÀ

ida A A

-

: (a)

f-

1-

a a -

-

(a)

ida -

= Tipi di funzione

* FUNZIONE INIEITIVA

f A B

B al

ha

di

elemento

dice contro

: ogni 1 imnragine

si

→ INIEITNA se massimo

Definizione f f- f

D=

B (

A

funzioni iniettivo

è

insiemi

utile se

tra numerici ×

: →

:

per )

)

flx fly

#

X # EA

yea

y × y

x. ,

µ

IN 1

1

IN

f IN

Esempio →

:

: 4

2

ffn)

n'

mm = 9

3 16

!

f- ? :

iniettivo

è " ,

Verifichiamo ttn metti :

se ,

)

fln )

flm

si ha nam

= ( (

)

m' )

m' ma

ma eo

m Mtm

o n

= = -

_

( M

m non

0

- = DA

) → ESCLUDERE

M

=

an , m

= -

f

QUINDI è INIEITIVA

f IN IN

ESEMPIO 2 →

: : n' fin )

me a-

V-n.me/Nfln/=flm)=rn=m msn.im/=o

n'

m' )

n' (

m' (

m'

= - n m +

= -

L' che

è

possibilità

unica man

>

m

n =

-

# FUNZIONI SU RIEITNE

f- A B ogni elemento almeno

del

dice contro

suriettiva immagine

cooiosninio

si ammette

: se una

→ } }

:{ {

A B. b

ESEMPIO 1-

3,4

1,2 a.

: e a

,

, , 2- b

Imlf ) 3-

B

-

- c

a-

f

Esempio IN IN ?

èsurietiva

2 o no

: →

: 2

Non

M • Intese

IN IN

o

1 1

2 4

9

3 16

4 :

:

* FUNZIONI BIGEITIVE :

funzioni che

iniettivo

sia suriettive f

f Z

Z è SURIEITWA

ESEMPIO '

perche

-

: : - Z

Z

)

flm

monte È

n ,

=

f- ) ) Imlf

-7hm

fln ) Z

è perchè

inattiva =

-11 with

m =

m m

=

* FUNZIONI COMPOSTE :

f. A :B

B ac

g

→ -

,

A B c

f g

→ →

X-aflxt-goz.gl/=glflxi)a )

f) (

×

le IR

IR

µ

f://2-s.IR

ESEMPIO g://2-a.IR

: £ 9 papa

xti

×

'

xrioxts-f.li) )

glx

- X

x =

'

)

( glflxltgfxti (

D=

( )

) ¥7

gof xti

-

-

f A D

:(

B gof

costruire

g vogliamo

: → →

, D

C

B g

A f 33 →

→ due

× , 112

IR e

R-ahg.IR IR

f. →

ESEMPIO g-

' →

: t

× ↳ X

Xti

Ì

× ↳

× xts

→ -0

→ gof gld NE

meno

Risi }

R R

f :B • g : -

G)

f

• xt-z.ie

=3

x » X I

-

)

(f)

gof Domfg

In • NO

e

se (g)

Fog (f)

setm Dom si

a.

E

↳ #

fogjlxl-ffgcxf.tl# =

=3 .

✓ 3

- per

÷ Dataf sefg

A :B

B ra t

-

: c

- .

, .

ftp.y

× -

←

?

Ig gof ida fogeidb

e

-

.

f

allora INVERTIBILE

dice

si

A B

f

'

f- Bg " A

-7

g →

= X →

ay.fi

, y %)

f faida

gof ' "

• = ,

ftp.

fogif i

f-

•

←

già ←

f

Dire fè

che f

che INVERTIBILE

dire

BIGEITNA è

vuoi

f :B B

- ) '

FG ofè

x2 e ?

?

invertibile

× - bigattiera

> ↳ no iniettivo

è duratura

perchè e

non

IRI R

f

renderla -

iniettivo

per : : xa 7

-

× '

a matrone suziettivan

Per R IRI

f

renderla -

società :

: +2

-

× a.

f- Put

È t è BIGEITNA *

: → invertibile

è

_ Tx

f-

x2 G)

- '

× - × - =

R

Sottoinsiemi di Pi

1 i

① ③

INTERVALLI

[ ]

• 1,5 a intervallo

- chiuso }

{

↳ forma fa

XEIR

DI

[ Ed

a. e

= ×

Lo gli

anche

prendo estremi

( 5)

• →

I aperto

intervallo

- , ↳ { }

la

fa b)

forma XEIR xcb

<

: =

,

[ 5) destra

• I chiuso sinistra

intervallo aperto

- a

→ a

e

, {

↳ }

XEIRI

[ b) aexcb

=

a.

5)

( →

• 1 intervallo chiuso

sx DX

e

aperto a

, a {

↳ }

( x.ci/acxEb

b) =

a.

Tt tutti intervalli limitati

Sono

• INTERVALLI ILLIMITATI :

( }

{ ERI

]

• 7 illimitato

intervallo chiusa

= sx Dx

sa e

a

+ + a

a

ao

- ,

fa fxeilxca

}

a)

• =

, a) (

fa ) }

• XEIR

e- x>

+ a

, {

)

fa }

ERI

• ×

ta a

=

,

INTORNO R

di xo :

E intervallo

qualunque

è contenente

aperto Xo

un fi 5) di

=3 intorno

Xo 3

a ' un

es e

,

.

Se dell' l'

intorno

il

è CIRCOLARE

detto

centro intorno è

× , ,

Funzioni elementari

Definizione funzione

grafico di

di :

f. AEIR IR

→ Mf ( ( ) -4124 }

) )

flx

y

x. , >

=

PIANO CARTESIANO : da

(

IR DI

xD ( } Ye

yen

xena ORDINATE

x.

= ,

! ↳ prodotto cartesiano

commutativa

e-

n P

2. 1° quadrante

quadrante y +

_

,

fx (

) )

i

ty tx # y

, ,

900

P ( I

) di

coordinate

× y = punto

un i b

, X Ascisse

X =

40

3. quadrante

quadrante

( ( )

) y

tx

x y -

- ,

, a

p

•

Y .

•

)

Q(

P( ) 9,3

3,3 • ordinata

stessa

POT 70

Xq Xp

' positiva

sempre

- 7

→ ×

Stessa la

hanno ascissa

stessa

cosa se

POT Yq 30

= yp -

SEGMENTI OBLIQUI : , ) )

( ) (

a D=

• Yp

y F-

a

xp xq yp

{ ya

a. ,

,

:/ Ha (

) )

PT a

t.tt #

> xp Ya yp

-

-

-

-

- _

-

- - 1 ?

| - }

( )

PQÌ fyq

)

pt ' QHZ Xq Xp

t yp

| =

, - -

da

× teorema PITAGORA

di -

? '

( )

(

Pa ) yp

= xp + yq

xq -

-

Distanza tra due punti

PUNTO MEDIO . . da

y

(

P )

Yp

Xp , M

) P

QE ( ¥

Hq Yp N

, yp ;

- - -

- -

a I l l

l ' l

' l l

| 1 3

i

×

È " Xp ×

Xn Xq

Mitra '

a -

-

=

= 2

2

[ )

XP

a -

M yp

= ,

2

YA a

Yq - - .

- -

- - | PDTM a

/ pt TI

=P Ha

µ I

ym -

- q

-

-

- ×a2 =

/ ×9÷

I

4 p xqtx

× + ×

= =

Yp ,

Tt te

no -

- -

- a

→ -

/ 2

/ 2

I

1 m.fm

I I .

I

I I

y µ a. "à*

Yq

X

XM Xq

Xp Xp Ya

- #

Ym ,

> → yp =

a- =

2 -

2

- \

i T

) )

POT

F- '

( )

( (

)

( Xa

A- Xp Ya

= yp

yp -1

xa.iq -

xp -

, )

II

"

¥

( "

a- ,

REITA PIANO CARTESIANO

NEL : Xtbytceo

te : • EQ IMPLICITA REITA

DELLA

a .

µ (

§ ) b

Yp

Xp nulli

contemporaneamente

a non

e

, la funzione è invertibile

univoca e esplicita

ea

Ricavo .

IX §

by

la '

by REITA

y Ax C

a della

=

= -

-

- -

Ricavo Lay f-

la by

se

× ax +

> e =

= a -

- -

-

×

§

IX f- §

Ye D= snxtq me e q

con - =

- - -

,

coeff angolare la

m indica

si alla

varia rispetto

= y

come ×

. all'

ordinata origine

q = a

y so

nn Yq Yp

DI - R

m = = e

DX

M o +

= yp

g.

}

0

ma Trovare pe

l' Q

della retta passante per

ca . .

)

y a (

a

p (

F- ) ①

Yp Ya

xp xq

= ,

• . ,

1° caso = { O

m =

> ER

D=

× q q

,

* a

→

P

•

M

°

2 caso = R

ke

K

Y → ×

tq =

mix

= ,

. Q :

yn &