Appunti prima lezione Matematica finanziaria

Operazioni di capitalizzazione

All’epoca 0, due agenti economici convengono uno scambio di un importo C (capitale) all’epoca x contro un importo M (montante) all’epoca x+t.

• M = f(C,x,t)
• f legge di capitalizzazione
• f funzione montante

Forma funzionale di f

M = f(C,x,t)

Requisiti di validità economico-finanziaria

• f(C,x,t) funzione monotona crescente di t e C ∀
• f(C,x,0) = C (C,x)
• P1 Omogeneità di importo C
• P2 Scindibilità rispetto alla durata t
• P3 Uniformità rispetto all'inizio x

P1 Omogeneità di importo

∀α>0 f(αC,x,t)=αf(C,x,t)α

Oss: Moltiplicando il capitale per α, si moltiplica per α anche il montante

f(1, x , t ) = f(C , x , t ) = M f (C , x , t ) C f (1, x , t ) C u ( x , t )

• u(x,t) fattore di capitalizzazione, fattore moltiplicativo da applicare a C per ottenere M
• u(x,t) valore in x+t di un euro in x

Controesempio: f(2C,x,t) > 2 f(C,x,t)

Si effettuino le seguenti operazioni finanziarie:

• a) Due volte, mi faccio prestare C in x, impegnandomi a restituire f(C,x,t) in x+t (2 POSIZIONI CORTE)
• b) Una volta, presto 2 C, contro la restituzione di f(2C,x,t) in x+t (1 POSIZIONE LUNGA)

Opportunità di arbitraggio non rischioso

P2 Scindibilità

∀ u(x,t)=u(x,s)u(x+s,t-s) s ≤ t, x

Oss: u(0,t) funzione di capitalizzazione a pronti al variare di t. La scindibilità significa conoscere u(x,t), funzione di capitalizzazione a termine, al variare di x>0. Infatti, u ( 0, x t )=u ( x , t ) u ( 0, x )

Controesempio: u(x,t) > u(x,s)u(x+s,t-s)

• Si effettuino le seguenti operazioni finanziarie:
• a) UNA POSIZIONE LUNGA in operazioni di importo unitario con inizio in x e durata t
• b) UNA POSIZIONE CORTA in operazioni di importo unitario con inizio in x e durata s
• c) UNA POSIZIONE CORTA in operazioni di importo u(x,s) con inizio in x+s e durata t-s

Opportunità di arbitraggio

P3 Uniformità

∀ u(x,t)=u(t) x

• M=Cu(t)
• Il montante dipende solo dalla durata t e non dall’epoca x di inizio dell’operazione

M=f(C,x,t)

• P1 M=Cu(x,t) Indipendenza dall’importo
• P2 u(x,t)=u(x,s)u(x+s,t-s) Scindibilità
• P3 u(x,t)=u(t) Uniformità

P2 + P3 ⇒ u(t)=u(s)u(t-s) Legge Esponenziale

⇒ Legge esponenziale

• t = > u ( t ) u , u 1
• i) u(0)=1
• ii) u(t) funzione monotona crescente di t

⇒ u > 1 u = 1+i con i > 0 tasso annuo di interesse

−t s t s = u u u

• P2 t = M ( C , x , t ) Cu