Appunti prima lezione Matematica finanziaria

Operazioni di capitalizzazione

All’epoca 0, due agenti economici convengono uno scambio di un importo C (capitale)

all’epoca x contro un importo M (montante) all’epoca x+t

• M=f(C,x,t)

f • f legge di capitalizzazione

• f funzione montante

C M • x epoca di inizio

dell’operazione

0 x x+t • x+t epoca di fine

dell’operazione

• t durata dell’operazione

• I=M-C interesse

• x=0 operazione a pronti

• x>0 operazione a termine

Forma funzionale di f

M=f(C,x,t)

REQUISITI DI VALIDITA’ ECONOMICO - FINANZIARIA

⇒

≥ ≥

M C I 0

• f(C,x,t) funzione monotona crescente di t e C

∀

• f(C,x,0) = C (C,x)

• P1 Omogeneita’ di importo C

• P2 Scindibilità rispetto alla durata t

• P3 Uniformità rispetto all’inizio x

P1 Omogeneità di importo

∀α>0

f(αC,x,t)=αf(C,x,t)

α α

Oss Moltiplicando il capitale per si moltiplica per anche il montante

1

1

α ⇒ ⇒

=

= f (

1

, x , t ) f (

C , x , t )

C

C = = =

M f (

C , x , t ) Cf (

1

, x , t ) Cu ( x , t )

• u(x,t) fattore di capitalizzazione , fattore moltiplicativo da applicare a

C per ottenere M

• u(x,t) valore in x+t di un euro in x

Controesempio

f(2C,x,t)>2 f(C,x,t)

Si effettuino le seguenti operazioni finanziarie

a) due volte, mi faccio prestare C in x, impegandomi a restituire f(C,x,t) in x+t

(2 POSIZIONI CORTE)

b) una volta, presto 2 C, contro la restituzione di f(2C,x,t) in x+t

(1 POSIZIONE LUNGA)

⇒ OPPORTUNITA’ DI ARBITRAGGIO NON RISCHIOSO

SALDO GLOBALE NETTO

x x+t

2C - 2 f(C,x,t)

a f(2C,x,t)

- 2C

b 0 f(2C,x,t)-2f(C,x,t)>0

P2 Scindibilità

∀ ∀

u(x,t)=u(x,s)u(x+s,t-s) s≤ t, x

Oss u(0,t) funzione di capitalizzazione a pronti al variare

di t. La scindibilità significa conoscere u(x,t), funzione di

capitalizzazione a termine, al variare di x>0. Infatti

+

u ( 0

, x t )

=

u ( x , t ) u ( 0

, x )

u(x,s) u(x,t)

u(x,s)u(x+s,t-s)=

1

0 x x+t

x+s

Controesempio

u(x,t)>u(x,s)u(x+s,t-s)

• Si effettuino le seguenti operazioni finanziarie

-a) UNA POSIZIONE LUNGA in operazioni di importo unitario con inizio in x e durata t

-b) UNA POSIZIONE CORTA in operazioni di importo unitario con inizio in x e durata s

-c) UNA POSIZIONE CORTA in operazioni di importo u(x,s) con inizio in x+s e durata t-s

⇒ OPPORTUNITA’ DI ARBITRAGGIO

SALDO GLOBALE NETTO

x x+s x+t

-1 - u(x,t)

a) +1 -u(x,s) -

b) -u(x,s)u(x+s,t-s)

- +u(x,s)

c) u(x,t)-u(x,s)u(x+s,t-s)>0

0

0 P3 Uniformità

∀

u(x,t)=u(t) x

• M=Cu(t)

• Il montante dipende solo dalla durata t e non dall’epoca x

di inizio dell’operazione

M=f(C,x,t)

• P1 M=Cu(x,t) Indipendenza dall’importo

• P2 u(x,t)=u(x,s)u(x+s,t-s) Scindibilità

• P3 u(x,t)=u(t) Uniformità

P2 + P3 ⇒ u(t)=u(s)u(t-s)

Legge Esponenziale

⇒

Legge esponenziale

t

= >

u ( t ) u , u 1

• i) u(0)=1

• ii) u(t) funzione monotona crescente di t

⇒

• u>1 u=1+i con i>0 tasso annuo di interesse

−

t s t s

=

u u u

• P2 t

=

M ( C , x , t ) Cu

⇒