Appunti lezione Analisi matematica I

VI

f(xif(xd

bi )

(

**

&

· 3

xex

yo

N

⑧

flxol

7

Siccome :

fi(xo) ! (xo)

f

0 0

= ,

f' f)(x)

(xx) fx0) 0 6

0 +

= =

=

=

+ .

Critico) Xotdauf

(PUNTO

D è

: punto tritico per

- S (f

f'(xol derivali xo

è in

o

se =

SQ FERMAT f

: la relativo

max/min

: el pto

Xo

=1 f

critico

Xo per

in

derivabile

f

/ critico

detto punto

Non è che un

relativo

di

Sia max/min .

x 3

f(x)

CES ! =

f'(d 3x2(x =

= 0

=

I 0

FLEsso in

ne'mox

e'

o

me non

relatho

ne min

2 f,

e relativo

Se

: max/min

di

vo per

derivabile

e

f

fara in Xo

non per

& " flo)

f(x) (x) minimo 0

na o

=

in :

= dideriabilito

e

o pto

non

no un

FERMAT

f applica

si

per .

non

.

-

Big Se I no punto estremo

di in y e

relativo

un

è do

f crescente

che

detto una

sia

PAI non dall'altro

decrescente

parte e Tu

· monotonie

di

pto senza

minimo

ad e asx

+ relativi

può

&4 f max/min

: avere senza

aboluti

max/minimi

avere

20 -

f(x) sim(x)

: = -

↑

Mm

funzioni)

(allo

Applicazione studio di

: relativi/assautidi

statega per trovare Max (Min

Questi

-IR

f (ab) tra

da

sono cercare

una :

: . (f 0)

fo

② f

Pri critici e devivalier

di in =

xo e

derivalità

② di

Pri aif.

non (se

③ chiso)

Estremi dell'intervallo

Is relativi di

max/min

: trovare

① x2

f(x) 2x

+

= IR

dawf = m

IR

e derivabile

f su 1)

f((x) 2(x

Calcolo +

2x 2

= + = fl(xo)

critico

Deduco pto )

Xo o

=

( =

-1

( Xo

) =

=

& mim/max

f fata

el

la allora per

-1

in Xo = .

⑬ (10

dauf 10)

x

f(x)2 2x

+ = ,

~ Weienstrat

[-10 10) ) 7 maxy

f continua =

su . f

min

Sappiamo estremi anduti

che

quindi De

da

sono tra

cercare

f'(xo)

① f()

1 1

) Xo

<

0 :

=

= = =

- -

102

③ f(-0 20

= -

102

f(10) 20

+

=

120 --- f(-1) 1 è Minimo

·

. = -

-----80 il

perché è

i più bano

memero

tra tronati

is

⑨

-10 10

⑧ fli01 120 e massimo

o = pri

e'

perché il alto

② di

Trovare max/min anduti

(x xm(

3)

f(x) 2]

5

+

= - -

- ,

Si strategia

stena

la .

Uso 5 maxf

fe(((- 5 2]) mumt

=

-

, ,

tra

Tali da

valori arcare

sono

① critici

pt di

② der

pti mon

③ dominio

estremi del + ((-5 33)

-2)14-

f-(

Osserviamo che ,

ef e derivabile in -3

non Xo =

terche'

Mi

· &

-

1 3

3) 3)

(x 3 +

x

+ -

lui - -

-

= 3t

X3 - 3

X + oli

=

O (3)

31

(x

lui + x -

-

[ 3-

X + - 3

X

+

e 21 3)

- - a =

:

② PT crenci 3

f(x) ?

0

= X03-3

0 se

(

f((x0) sgn(xo 1

3)

+ =

-

= -

2xx0

-

critici

Xo)

Tutti sono

-3

punti

i

vole

e (x0 3

f(x0) 31 xo

+

= =

-

② 1

f(-3) ( 3

-3)

3)

di 3

PT Der

Non + =

= -

-

③ ( -5)

3)

(

f(-5) 5 7

2 5

+ =

= +

=

- -

2)

f( 3

=

- 7

maxf

~ = 3

f

min =

7 calcolo

di

Teoremi

4 differenziale

. Rou)

(di

Thum :

- C'(ca b)

/n

(0

Sia 33

(a

fe ,

,

f(a) f(b)

Supponiamo =

Fce(a f(()

Allora 0

b) =

:

, .

b])

Dim (29

Poiché · Weierstran

f-( cigaran-

: , ,

- Imoxf

tisce mint

che ,

Ca (ab]

b]

,

Denotiamo rispettivamente

exm

Hy

due per f

de

Menti min

max e f(xm)

f(um) f(x)

Quindi =

: (91b]

#x + ()

.

possibilità

to Abbiamo 2 :

1) estremi

Sia punti

un

che sono

um

dell'intervallo D'altra parte

.

f(a) f(b)

= Fxf[a b]

(1)

Quindi che

dice :

mu ,

f(a) f(x)(f(b) f(a)

f(b) = =

= b]

f(a) (a

f(x) (x

f(x) +

=> = = ,

f costante

ovvero .

: Ab f'(

Quindi :

c =0

=

2) e

Almeno tra sem un

uno e

(9 .

b)

.

in

contenuto Fermat

terr e' punto

un

=> :

critico . ~

#

tangente

.. retta la

I retta

una =

tangente di f

grafico

al

c)

in stena

la

cor luta

della

pendenta

cangringe f(a) f(5)

he e

2 - Il coeff Anfatre

.

della der

RENA

Teur Lagrange

(di f(61)

(a f(a)) (b

: , ,

- S

.

fe(o((e b])nC'(Cab1)

Sia , f

b)

Fce(a f'()

Allora =

:

, Role]

(Se f(a) f(b) 0 :

=

=

#im la

Considero funzione

! : -

Ef(x

h(x) (f(a)

f(x) +

= -