Appunti Istituzioni di metodi matematici

Metodi matematici - Lezione 02 marzo

Condizioni di Cauchy-Riemann

| 2x μ = 2y v | 2y μ =-2x v → Condizioni di Cauchy-Riemann per la coppia di variabili di (μ,v). (CCR)

Cauchy e gli integrali unidimensionali

∫₀^a dx ∫₀^b dy f(x,y) = ∫₀^b dy ∫₀^a dx f(x,y) → Eulero (1769)

Cauchy ipotizza: siano u(x) e v(x) soddisfino le CCR, e sia f(x) = 2x μ = 2y v

Sfruttando la regola di Eulero:

∫₀¹ [v(x,b) - v(x,0)] dx = ∫₀^b [μ(a,y) - μ(0,y)] dy ①

Ma f(x) = 2y μ = -2x v (anche)

→ ∫₁² [μ(x,b) - μ(x,0)] dx = -∫₀^b [v(a,y) - v(0,y)] dy ②

Definisce la variabile complessa: z = x + iy.

Definisce la funzione complessa: F(z) = u(x,y) + iv(x,y).

Esegue una combinazione lineare tra ① e ②:

② + i ①: ∫₀^a [F(x+ib) - F(x)] dx = ∫₀^b [F(a+iy) - F(iy)] idy

Metodi matematici - Lezione 02 marzo (continua)

Condizioni di Cauchy-Riemann (continuazione)

| {2x μ = ∂_y ν | {2y μ = -∂_x ν} → Condizioni di Cauchy-Riemann per la coppia di variabili di (u,v). (CCR)

Cauchy e gli integrali unidimensionali (continuazione)

∫₀^b dx ∫₀^a dy f(x,y) = ∫₀^a dy ∫₀^b dx f(x,y) → Eulero (1769)

Cauchy ipotizza: siano u(x^-) e v(x^-) soddisfino le CCR, e sia f(x^-) = 2x μ = ∂_y ν

Sfruttando la regola di Eulero:

∫₀^a [v(x,b) - v(x,0)] dx = ∫₀^b [μ(a,y) - μ(0,y)] dy (1)

Ma f(x^-) = ∂_y μ = -∂_x ν (anche)

→ ∫₀^a [μ(x,b) - μ(x,0)] dx = -∫₀^b [v(a,y) - v(0,y)] dy (2)

Definisce la variabile complessa: z = x + iy.

Definisce la funzione complessa: F(z) = μ(x,y) + i ν(x,y).

Esegue una combinazione lineare tra (1) e (2):

(2) + i (1): ∫₀^a [F(x+ib) - F(x)] dx = ∫₀^b [F(a+iy) - F(iy)] idy

∮₀^b F(iη)dη + ∫₀^a F(x+i b)dx = ∫₀^a F(x)dx + ∫₀^b F(a+i y)dy

Quindi:

∫_II F(z)dz = ∫_I F(z)dz ⇒ ∮_quadrato F(z)dz = 0 lo estendo a una qualsiasi curva chiusa ℓ

⇒ ∮_ℓ F(z)dz = 0

Ipotezziamo che all'interno del quadrato ci sia un punto z_o in cui vi è una patologia ⇒ allora il discorso precedente non vale.

⇒ Cauchy cerca di quantificare il difetto.

⇒ ∮_ℓ F(z)dz = Δ ≡ RESIDUO

Funzioni complesse

^ℝ₂ e ^ℂ sono identificati tramite la biezione: ℂ ↔ ^ℝ₂

z = x + iy ↔ _{x,y}

Dato che si tratta di un omeomorfismo: viene preservata la norma:

|z| = ||_x|| = √_{x² + y²} devono avere la stessa topologia

Def: La base di intorni di z = 0  (dell'origine) è:

I_ε = {z ∈ ℂ | |z| < ε} = {_x ∈ ^ℝ₂ ||_x|| < ε}

Proprietà dei numeri complessi

1. z = x - iy
2. |z|² = x² + y² = z • z
3. |z + w| ≤ |z| + |w|    (disuguaglianza di Schwarz)
4. |z - w| ≥ ||z| - |w||
5. z = e^iσ   (decomposizione polare) con
   • r = |z| ≥ 0
   • 0 ≤ θ < 2π,  θ ∈ [0, 2π)
   • oppure -π ≤ θ < π

Inoltre   σ = argomento di z.

Funzioni complesse di variabile complessa

Def: Sono mappe f: D → 𝔼, in cui D è un sottinsieme. z → f(z)

Inoltre ∃ la sua controparte reale:

f(z) = u(𝔼) + i v(𝔼) in cui u,v &in; ℝ e u(x) = u(x,y) e v(𝔼) ≡ v(x,y).

Quindi: { f: D → 𝔼 ↔ { f: ℝ² → ℝ²; in cui f:^x ↦ f^x = (u(x), v(x)) = {(𝔼)

Esempi

1. f(z) = ⋅ x = Re z ←↔ { u(x,y) = x, v(x,y) = 0   ∨   u(x,y) = 0   ∨   v(x,y) = x
2. f(z) = 𝔼² ←↔ { u = x² + y², v = 0
3. f(z) = z^mn z^-n, se m > n ←↔ { u = (x², y²)
4. f(z) = z² - (x + iy)² = x² - y² + 2ixy ←↔