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Metodi Matematici

Lezione 02 Marzo

Nota: _x = _yy = -_x → Condizioni di Cauchy-Riemann per la coppia di variabili di (u, v).

Cauchy e gli integrali unidimensionali

∫_a^b d_x ∫_c^d d_y f(x,y) = ∫_c^d d_y ∫_a^b d_x f(x,y) → Eulero (1769)

Cauchy ipotizza: siano u(x) e v(x) soddisfino le CCR, e siaf(x) = 2_x = _y

Sfruttando la regola di Eulero:∫₀^b [v(x,b) - v(x,0)] d_x = ∫₀^b [u(a,y) - u(0,y)] d_y ①Ma f(x) = _y, _x = -2_v (anche)⇒ ∫₀^l [u₁(x,b) - u(x,0)] d_x = - ∫₀^l [v(a,y) - v(0,y)] d_y ②

Definisce la variabile complessa: z = x + iy.Definisce la funzione complessa: F(z) = u(x,y) + iv(x,y).

Esegue una combi lineare tra ① e ②:① + i ①: ∫_a^b [F(x+ib) - F(x)] d_x = ∫_b^l [F(a+iy) - F(iy)] d_y

=> ∫_b^a F[iy]dy + ∫₀^a F(x+iy)dx = ∫₀^a Fxdx + ∫₀^b F(a+iy)dy

Quindi

=> ∫ F(z)dz = 0

ipotizziamo che all'interno del quadrato ci sia un punto z₀ in cui vi è una patologia => allora il discorso precedente non vale.

=> Cauchy cerca di quantificare il difetto.

=> ∫ F(z)dz = Δ ≡ RESIDUO

Commenti:

• Se f è olomorfa in z₀ è anche continua in z₀, ovvero u(x, y) e v(x, y): ℝ² → ℝ sono continue in x̄ = (x, y)

Def: f si dice olomorfa in D se è olomorfa ∀z ∈ D.

2^o Esempi:

1. f(z) = zⁿ con f(z) ∈ D = ℂ, essa è olomorfa in ℂ infatti

f^'(z) = n z^n-1

2. f(z) = z|z̄|

f^'(z) = lim_{h → 0} [f(z + h) - f(z)] / h = lim_{h → 0} [z + z̄(

h/z̄) + |h|²]

Quindi f(z) = z|z̄| non è olomorfa.

3. f(z) = zⁿ ̄^m

f(z + h) - f(z) = (z^h + nhz^n-1)(z̄^m + mħ̄^m-1) + O(|h|²) - zⁿ̄^m

= hhz^n-1 ̄^m + mħ̄^m-1 + o(|h|)

Quindi zⁿ ̄^m non è olomorfa, lo è solamente se m = 0.

4. Anche f(z) = z + ̄ non è olomorfa.

Def (differenziabilità): Un campo vettoriale (in dim=2) f̄(x̄) = (u(x̄), v(x̄)) si dice differenziabile in x̄ se ∃ una matrice A (2 × 2) t.c. f̄(x̄ + h) - f̄(x̄) - Ah̄ = o(|h̄|)

Lezione 9 Marzo

Def (funzioni antiolomorfe): f: D → ϕ t.c. esiste il limitelim_h→0 (f(z+h) - f(z))/h - β ≡ ^∂f/_∂z̅

N.B. Se f è olomorfa, allora ̅ è antiolomorfa.

Trasformazioni conformi

Def: Una mappa f: μ(→) ℝ² → ℝ² si dice conforme se preserva tutti gli angoli.

Teorema: Ogni funzione olomorfa f=u+iv è una mappa conforme.Dim: V ≡ a+ib = |V| e^iθ

. Angolo tra due numeri complessi:V₁ = |V₁| e^iθ₁, V₂ = |V₂| e^iθ₂

Considero una curva in ϕ: z(s) = x(s) + iy(s)e considero la tangente: V = dz/ds

Esempi:

1. Calcolare ∮_Γ z dz

   Γ_α: z(s) = sn, 0 ≤ s ≤ 1

   ∬ ₀^α z dz = ∬ ₀¹ sη d(n s) = ∬ ₀¹ s ds = n² / 2

   Γ_β:

   z₁(s) = αs, 0 ≤ ≤ 1

   z₂(s) = α + iβ(s - 1), 1 ≤ s ≤ 2

   ∫ _Γβ f dz = ∫ ₀¹ αs d(αs) + ∫ ₁² (α + iβ(s-1)) d(ips) = n² / 2

2. Calcolare I₁ = ∮ z dz e I₂ = ∮ z̅ dz in cui Γ = z(t) = Re^iθ

   Calcolo: dz = d(Re^iθ) - R i e^iθ dθ

   ⇒ I₁ = ∬ Re i R e^iθ dθ = i R ² ∫ ₀^2π e^iθ dθ = 0

   I₂ = ∬ Re -ie Ri e^eθ dθ = i R ² ∫ ₀^2π dθ = 2 π i R ² ≠ 0

Teorema della curva di Jordan: Sia Γ ⊆ una curva chiusa, allora:

• Γ ⊂ S ∪ E
• S aperto semplicemente connesso limitato (interno)
• E aperto connesso illimitato (esterno)
• ∂E = Γ = ∂S

= ∮_γ f(w) dw = ∮_C_R f(w) dw in cui w(t) = a + Re^it

= ∫₀^2π (Re^it)ⁿ kie^-it dt = {0, se n ≠ -1; 2πi, se n = -1}

→ Formula ricorrente: ∮_γ dw/(w - a) = 2πi se γ circonda a

→ Domanda: Posso portare un limite sotto il segno di integrale?

Ovvero lim_n→+∞ ∫_a→a0 f_n(x)¹ d^x = ∫_a→a0 lim_n→+∞ f_n(x)¹ dx

→ Def: L^p è fff : IR → ϕ t.c. ∫|f|^pdx < ∞ per 1 ≤ p < ∞

→ Lemma della convergenza dominata: Sia f_n(x) ∈ L²(IR⁰) t.c.:

• a) lim_n→+∞ f_n(x) = f(x) quasi ovunque;
• b) Ǝ g ∈ L¹ f_n(x) ≤ g(x) quasi ovunque.

Allora lim_n→∞ ∫ f_nd^x = ∫ lim_n→∞ f_n(x)d^x

NB: L^p ≠ fff : IR → ϕ t.c. ∫|f|^p dx < ∞?

→ Formula di Cauchy: Sia f : D → ϕ e olomorfa in D e sia

f ∈ C chiusa e contrattile in D, con ϴ a D. (⇒ S C D).

Allora f(z) = 1/(2πi) ∮_gamma f(w) dw/(w-z) per z ∈ S.

NB: Se f ∉ S, allora f(w) è olomorfa (w-z)

⇒ ∮_gamma f(w)/(w-s) dw = 0 per il th di Cauchy

non esiste nessun massimo relativo di |f| in D, altrimenti si avrebbe un intorno circolare di raggio R centrato in z₀ in |f(z₁)| ≤ |f(z₀)| per |z - z₀| < R.

Quindi z₀ sarebbe un max assoluto aperto, D in D. Corollario: Sia f olomorfa in D, continua in D non costante. Allora |f(z)| assume il suo massimo assoluto nel bordo di D, ovvero z ∈ ∂D, e |f(z)| < M (in cui M è il max assoluto) ∀ z ∈ D.

Dim

Si parte dal teorema del massimo modulo locale che dice: Sia f olomorfa per |z - z₀| < R, allora se |f(z₁)| ≤ |f(z₀)| per |z - z₀| < R => f è costante. Dimostriamo prima tale teorema. Consideriamo z < R e per il th della media f(z₀) = ¹/_2π ∫₀^2π f(z₀ + re^iθ) dθ. Adesso cerchiamo di maggiorarlo:

|f(z₀)| ≤ ¹/_2π ∫₀^2π |f(z₀ + re^iθ)|dθ

≤ |f(z₀)|

=> ¹/_2π ∫₀^2π f(z₀ + re^iθ)dθ = |f(z₀)|

Quindi ∫₀^2π [|f(z₀)| - |f(z₀ + re^iθ)|]dθ = 0 => |f(z₀ + re^iθ)| = |f(z₀)|

⇒ { 7 t.c. |z - z₀| < R

=> |f(z₁)| = |f(z₀)| ∀ |z - z₀| < R