Appunti Ingegneria Sismica pI

DINAMICA dei SISTEMI ad 1 GRADO di LIBERTÀ

Le misure delle ACCELERAZIONI, della VELOCITÀ e degli SPOSTAMENTI del TERRENO rappresentano un problema base per un Ingegnere Sismico.

In genere sono effettuate solo operando un’inversione accelerometrica e poi modellando quel particolare edificio in esame a cui appartengono gli accelerometri COMPUTATIONAL.

Gli accelerometri hanno un nome: OSCILLATORE LINEARE SEMPLICE.

È un qualunque SISTEMA ELASTICO la cui configurazione è forzata UNIVOCAMENTE da un solo parametro.

L’equilibrio, quindi, è addomato tutto da forze di interazione, non ho capacità di equilibrio rigido.

Le capacità di resistenza è tutta addomata nella RELA.

Quando le forze in un punto della sua [-] una FORZA di RICHIAMO ELASTICA pari a:

f = -kx

L’EQUAZIONE d’equilibrio dinamico del sistema è:

f = m × a

Il Principio della Dinamica

Sistema lineare

Sistema meccanicamente isolato

(Nessuna perdita di energia)

Nel nostro caso possiamo scrivere:

KX = M × x = 0

→ mx + kx = 0 →

diciamo "dividendo per m" →

x + x = 0 →

Definendo il parametro

ω₀ = sqrt(k/m) si ottiene

x + ω²₀ x = 0

Si ottiene un'Equazione Differenziale Lineare Omogenea a Coefficienti Costanti

lo stesso!x= A₂^⋅e^λt

quindi deriviando n'-ottengo:

x = λA₂^⋅e^λt

           x  = λ² A₂ e^λt=0

|λ²+ω²|=0→

=> λ² = - ω²

λ= ± iω

le soluzioni sono complx. coniugate:

Le soluzione dovrà quindi ecom due exponentii (espo):

• x(t)= A_ne^iωt+ A/sup>2</sup>e^-iωt

Ripercorrendo

gli SVILLUPI di Eulero

• e^iωt = cos ωt + i senωt
• e^-iωt = cos ωt - i senωt

sostituendo nelle espresione di x(t) si ottiene

X(t) = A_n cos ωt+ i A_n sen ωt + A₂ cos ωt=

  − A₂ sincωt

In un problema finite ci può le soluzione lascou non poiai monopaviamo che non fa i config mosi poiapuree two IC!

Le solutilita diventa

• X(t) = B₁ sin ωt + B₂ cos ωt

dove B₁= (A₁ - A₂) PARTE IMMAGINARIA

B₂= A₁ + A₂ PARTE REALE

Si vole che c'è una funzione che vario cos il nome faseaano le caratenan che non as funicia traducctionie IC! quindi poa lesso scritto, corso

|X(f)= X₀ sen (ωt+ Φ)| FUNCIANE ARMONICAΦ= angio a phase

X₀ e Φ sono le due variali n _ interferano in questa _ seranteini in formato eulero saranno determinati con strumenti analitici.

Esempio 2

Consideriamo un’asta mensolata che sollecitata con una forza concentrata in mezzeria.

x = (F L₂)(L₁³)/3EJ = F L³/48EJ

Poleiciamo come nell'esempio precedente:

F = ^48EJ/_L³ · x   ω_n = √^48EJ/_mL³

T_n = 2π √^mL3/_48EJ

• OSCILLATORE SMORZATO

E costituito dall'omopolopio di una massa di una molla elastica di uno smorzatore che rappresentato fa nel circuito termina e del sistemi strutturali così:

• la forza
• la capacita di estrare energia durante ciclo

Lo smorzatore è rappresentato come un resure con un fluito apirenale (dcícula).

Ad un aumento della velocita crarico normane fornice va per analisi approssimato.

Per cui m cir

√(1-v²/c²) sin (ωt + ψ)

= √(1-v²/c²) ωt + ψ + v

√(1-v²/c²) cos (1-v)_t) = v

Ricordando che T_o= 2π

periodo oscillatore stirato

periodo √(1-v²/c²) = T_o/√(1-v²/c²)

periodo dell'oscillatore

storp.ato

polole ^ = sinperiodo

|------------| sempre

El builo più gawdo

oriano piu pendioso

1-v²/c² > 1

se lo STORABENTO MALIERA el oscillatore:

• v>1, T_oo=∞ mudo genieario pririo delio computato

• v>0 => T_oo<1/4 si conferma che é mudo i, coeludico

se lo RELAZIONE MILENA è Finno does. de lo PUBICAZIONE Curitante NUMERISE uMperis

ωη<ωη

• Oscillatoré SPIRILUIC SOSSETTO AD UNA FORZA PERIODICA

• di TIPO ARCONICO che ima FORO detto che misuria el Coelmilotaio

le quepusiü raspopianire che osto una e api del mudo

El F(t)= F_oroi (u*÷)

F(t) = Foroi cos(ut)

sin cosego

ω₁ < ω₁

pinuitanta nuo Figio dell'istimilla

s proceder saprimo chi ..... f=.......

OSCILLATORE SMORZATO SOGGETTO AD UNA FORZA PERIODICA

Procediamo in modo analogo ai casi precedenti dal II^o principio fondamentale della dinamica F=ma

→ -kx - Sx + F₀cosωt = mx →

→ x + S/m x + k/m x = F₀cosωt

ricordando le notazioni a₀ = √^k/_m

x + 2υa₀x + a₀²x = F₀cosωt

E.D. del 2^o ordine NON OMOgenea

La soluzione dell’OMOGENEA associata è

χ₀(t) = B e^-δυa₀tcos(ω₁√1-υ²t + ϕ)

Q₀ è il caso con υ₀ un paio nullo, costituita dai nodi U e sempre υ = 0,05 in modulo

L’integrale particolare sarà

χ_p(t) = A cos(ωt - ψ)

la cosa unica decampita A e ψ

Per determinare A risolvo

χ_p(t) = ωA cos(ωt - ψ)?

partiteando cos il giorno diffentezale

valore di χ_p’, x_p

-ω²A cos(ωt-ψ) + 2υa₀ωA cos(ωt-ψ) + a₀²A cos(ωt-ψ) = F/m cosωt

divido tutto per ω₁² =>

-ω²/ω₁² A cos(ωt - ψ) + 2υa₀ω / ω₁² A cos(ωt - ψ)

+ a₀²/ω₁² A cos(ωt - ψ) =

F/m cosωt

• OUCVA

Le curve con le più ampie velocità degli eiettori... in 2^a metà diverse curve (itinanto con il pompino portato verso sinistra).

f = 0 | f = 1 smusso

Ciò avviene perché la frequenza per eccitare nello stesso istante l'oscillatore, deve avere la stessa pulsazione detta dagli oscillatori.

La curva limite di questo insieme : la cui unificazione uf = fu la quale curve si ottengono.

f = U = 1

(pulsazione spostata)

• Questi sistemi NON sono conservativi in cui presentano degli scambiamenti di tipo energetico

Consideriamo uno spostamento aumento non formato in questo verra calcolata la primo il-smist di carica dalla polarizzazione de basso riportata al ciclo alcune quattro volte.

| mx + Sx + kx = 0 |

principio di equilibrio della sonda sono fatte le modificazioni in precedenza ma ora ricominciando e questi il cammino dobbiamo qui giudico

Per fare un bilancio energetico data considerare sia rivolto la da cambio takamprop=amorto per l'aumento io potenzialmente derivativa nhà

dx = dx/dt = ẋ dt

(l può x quale continuamente nel tempo aumentale fluendo sarac paraboliche periodproo)