Campi Scalari e Vettoriali
x; e w ≤ R2
prodotto scalare
a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3
(ta) · b = t(a · b)
(a+b) · c = a · c + b · c
prodotto vetore
a x b =
| a1 a2 a3 |
| b1 b2 b3 |
| i j k |
permette scomporre in prodotto scalare e somma: (a x b) x c = (a · c)b - (b · c)a
Uniforme se non uniforme
Classificazione
Calcolo al vettorialedi un vettore A lungo una linea chiusa γ che ha come vettore tangente τ un verso prefissato:
linea su flusso nullo
concatenazione nulla
integrazione nulla
Circolazione
la circolazione è legata allo vortice del fluido
Flusso
di un vettore A attraverso la superficie A si introduce in un verso assegnato:
ΦA = ∫A A · nd A
captatura del vetore proiettato di n
[M3/S] Portata
X1; eW ⊆ R2
a1 b1 a1 b1
a2 b2 a2 b2
a3 b3 a3 b3
a(ã) = (xi) t
Uniforme se non unifome
prodotto vettore
a × b = -b × a
(ax) = xac
a, b, b, 0, a, c
prodotto monometrico
prodotte scintbratter prodotte con somma (b2 c)
a × (b + c) = a × b + a × c
Compo in deradio
Ci rcuitazione
di un vetere è lungo una lingua chiusa C
integrale = L = ∑C k ∫Ö a · c dl
linee di flusso padolle
vottice
la cirrutisone è latta allo virtusce del fluido
Circrutote con
Flusso
di un vetere a attraversa la superficie A si niducde in un vetere osservato
a in A
ΦA = ∫∫A as an dA
caderconda dell'étoreortiale da M
[M3S]PORTATA
flusso videttore à attraveso la superficie ℑA
Divergenza
sorgentepuntiforme volumeda piccolissimo da volume uniforme
fu del v
-divdiv
per un versore noncambia segno ≡ solo ombra
importa
sorgente dvo > v ex > 0
Quando div = 0 campo solenoidale
Le linee di flusso sono sempre chiuse
Rotore
limA->0A-1∫n^xÂdÂ=rotÂ
consideriamo le componenti perpendicolare ai Ai∫ni·τ1dα+limA->0∫Âin^xÂdÂ
lungo μ il rotore è massimo
Il rotore rappresenta l'intensità di vortice
se rotore obliqua camporotazionale
le linee
circolazione del lungo linea
Gradiente
∮A Φ n̂ dA = gradΦ
Teorema di Gauss
∫A a̅ n̂ dA = ∫WA div a̅ dV
Teorema di Stokes
∮A a̅ . τ̂ dℓ = ∫a̅ rotā n̂ dA
Note
(operatore di Hamilton)
rotā =
∇ × āgradΦ = ∇Φ
per un grad-f
div ( grad φ) = ∇ . ∇φ = ( ∇ . ∇ ) φ = ∇2 φ
In coordinate cartesiane ortogonali:
fincoiona integrale all’int
k Δx3 j Δx2 i Δx 1
( x3, y2, z3 )
lim Δvi →0 1/ Δx Δy Δz [ i Δ ( i ) Δ Δ ( i Δ( i )Δ Δ ]
lim Δvi →0 ( i Δ ) ( i Δ ) Δ
= ∂ ( Fi ) ∂x 1
= ∂ ) j ∂y k ∂z
divφ = ∇ . ∇2 = ∂x ∂y + ∂z = Σ 1 ∂αi . i - ∂αi.
a y1 - x2 x1 y2 (scrivi di sopra e sotto) = t
indice mutra
vi prega scrivere nella somma in un collegare e il primo marginto
roto: = ∇ x ∇ φ
= i ( ∂α / = j(∂x 2∂y 2) ∂x j(∂x 1) ∂z
gradφ = ∇ φ = ∂φ , ∂φ ∂φ , ∂φ .
= i ∂x + j∂y
div ( grad φ ) = ∂ 3 1 = Σ j
∂z - ∂z ∂x , α
→ ∂α i / ∂x
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