Appunti Geometria e Algebra lineare

GEOMETRIA

20/09/2017

GEOMETRIA: disciplina che classifica gli oggetti geometrici. Ciò richiede di definire la classe di studio e i criteri di classificazione, ovvero le trasformazioni che permettono di identificare oggetti equivalenti.

ALGEBRA: studia i campi dei numeri e gli anelli di polinomi.

INSIEME DEI NUMERI NATURALI

N = {0, 1, 2, 3, ...}

Nei numeri naturali è definita l'operazione di aggiunta "+" binaria e interna poiché parte da numeri naturali e restituisce un numero naturale.

ADDITION: ha le seguenti proprietà:

1. ∀o ∈ N ∀m ∈ N, m + o = m -> proprieta elemento
2. ∀m, ∀k ∈ N, (m + m) + k = m + (m + k) -> proprietà associativa
3. ∀m, ∀n ∈ N, m + m = m + m -> proprietà commutativa

NB: x + m = o ha soluzioni se solo se m = o nei numeri naturali poiché x = m o altro x + o = o, x ≥ o.

Nel caso in cui m ≠ o allora per risolvere x + m = o dobbiamo estendere N all'insieme dei numeri interi Z.

INSIEME DEI NUMERI INTERI

Z = {... -2, -1, 0, 1, 2 ...}

Anche nell'insieme Z è definita l'operazione di aggiunta come nell'insieme N. Essa goda delle tre proprietà di cui goitiva l'aggiunta in N, ma ci essa si aggiunge una 4º proprietà:

"+", Z x Z -> Z

1. stesse delle somma
2. m N
4. ∀m ∈ Z esiste un -m ∈ Z tale che m + (-m) = o -> proprietà elemento neutro

* si tolgono i problemi noci primi in N

GEOMETRIA

GEOMETRIA: disciplina che classifica gli oggetti geometrici. Ciò richiede di definire la classe di studio e i criteri di classificazione, ovvero le trasformazioni che permettono di identificare oggetti equivalenti.

ALGEBRA: studia i campi dei numeri e gli anelli dei polinomi.

INSIEME DEI NUMERI NATURALI

N={0, 1, 2, 3, ...}

Nei numeri naturali è definita l'operazione di addizione "+" binaria e interna poiché prende 2 numeri naturali e restituisce un numero naturale.

ADDIZIONE ha le seguenti proprietà:

• ∀ 0∈N  ∀ m∈N, m+0=m -> proprietà elemento neutro
• per ∀ m,n,k∈N, (m+n)+k =(m+k) -> proprietà associativa
• per ∀ m, n∈N m+n=n+m -> proprietà commutativa

N.B: x+m=0 ha soluzione se e solo se, m=0 nei numeri naturali poiché x≥m, allora x+0=0 -> x≥0.

Nel caso in cui m≠0 allora per risolvere x+m=0 dobbiamo estendere N all’insieme dei numeri interi Z.

INSIEME DEI NUMERI INTERI

Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ....

Anche nell’insieme Z è definita l’operazione di addizione come nell’insieme N. Essa gode delle tre proprietà di cui godeva l’addizione in N, ma ad esse si aggiunge una 4° proprietà:

• ∀ m∈Z esiste un -m∈Z tale che m+(-m)=0 -> proprietà elemento inverso

* Come possiamo dire che G è un gruppo?

Se verifichiamo le seguenti proprietà:

• ∃ e ∈ G: ∀ g ∈ G, g ∙ e = e ∙ g
• ∀ g ∈ G, ∃ g' ∈ G: g ∙ g' = e
• ∀ g,h,k ∈ G (g ∙ h) ∙ k = g(h ∙ k)
• ∀ g,h ∈ G g ∙ h = h ∙ g

• ⇒ proprietà elemento neutro
• ⇒ proprietà elemento inverso
• ⇒ proprietà associativa
• ⇒ proprietà commutativa

In Z oltre all'addizione abbiamo un'altra operazione binaria e interna, il prodotto

· : Z × Z → Z

Si possono le seguenti proprietà:

1. 1 ∙ l ∈ Z ∀ z ∈ Z → z ∙ 1 = 1 ∙ z = z
2. ∀z, u ∈ Z → (z ∙ u) ∙ (s = z ∙ (u ∙ s)
3. ∀z, u ∈ Z z ∙ (z ∙ (u ∙ u) = z ∙ z ∙ u ∙ u)

N.B: Come per in N m + x = 0 non sempre ha soluzioni; la stessa cosa accade in Z

per x x = -1 m Z ha soluzioni solo se z = 1

Bisogna così estendere Z all'insieme dei numeri razionali

Q = {..... p/q .....}

• con p ∈ Z e q ∈ Z\{0}

p/q è identificato a p'/q' quando pq' = q' p'

In Q abbiamo due fondamentali equazioni che sono addizione e prodotto

"+". Q × Q → Q

"·": Q × Q → Q

Le proprietà di somma e prodotto in N e Z vengono estese a Q

1. 0 + x = x per x ∈ Q
2. ∀ x, y, z ∈ Q x(y + z) = (x ∙ y) + (x ∙ z)
3. - 1 + x = 0
4. x + (-x) = 0 per x ∈ Q
5. 1 ∙ x = x per x ∈ Q
6. ∀ x ∈ Q 1/x esiste e x ∙ (1/x) = 1 per x ≠ 0
7. x ∙ y = z ∙ u x ∙ z = y ∙ (z ∙ (y ∙ u)) ∀ x, y, z ∈ Q

CONCETTO DI CARDINALITA'

* Due insiemi A e B si dicono equipotenti se fra loro si può stabilire una corrispondenza biunivoca, ossia a ogni se si può associare a x ∈ A uno e uno solo elemento di B e viceversa.

ESEMPIO

N = {0; 1; 2; 3; a; s; ... }

Z = {...; -a; -3; -2; -1; 0; 1, 2, 3, C1, ... }