Appunti Geometria e Algebra lineare

GEOMETRIA

^20/09/2017

GEOMETRIA: disciplina che classifica gli oggetti geometrici. Ciò richiede di definire la classe di studio e i criteri di classificazione, ovvero le trasformazioni che permettono di identificare oggetti equivalenti.

ALGEBRA: studia e compie dei numeri e gli anelli di polinomi.

INSIEME DEI NUMERI NATURALI

N = {0, 1, 2, 3, ...}

Nei numeri naturali è definita l'operazione di ADDIZIONE " + ", binaria e interna poiché parte da un numero naturale e restituisce un numero naturale.

Addizione ha le seguenti proprietà:

1. ∃ 0 ∈ N ∀ m ∈ N, m + 0 = m -> proprietà elemento neutro
2. Per ∀ m, n, k ∈ N, (m + n) + k = m + (n + k) -> proprietà associativa
3. Per ∀ m, n ∈ N, m + n = n + m -> proprietà commutativa

N.B: x + m = 0 ha soluzione se e solo se m = 0 nei numeri naturali poiché se m ≠ 0 allora x + 0 ≥ 0, x ≥ 0.

Nel caso in cui m ≠ 0 allora per risolvere x + m = 0 dobbiamo estendere N all'insieme dei numeri interi Z.

INSIEME DEI NUMERI INTERI

Z = {... -2, -1, 0, 1, 2 ....}

Anche nell'insieme Z è definita l'operazione di addizione come nell'insieme N. Essa gode delle tre proprietà di cui godeva l'addizione in N, ma ad esse si aggiunge una 4ª proprietà:

1. "+" , Z x Z → Z
2. -1 →
3. -2 → stessa della somma m N
4. -3 →
5. 4 - ∀ m ∈ Z esiste un -m ∈ Z tale che m + (-m) = 0 -> proprietà elemento inverso

* Come possiamo dire che G è un gruppo ? Se valgono le seguenti proprietà:

• ∃ e ∈ G : ∀g ∈ G . g • e = g = e • g => proprietà elemento neutro
• ∀g ∈ G, ∃g'∈ G. g • g' = e => proprietà elemento inverso
• ∀g, h, k ∈ G. (g • h)k) = g • (h • k) => proprietà associativa
• ∀g, h ∈ G. g • h = h • g => proprietà commutativa

In ℤ oltre all'addizione abbiamo un'altra operazione binaria e interna, il prodotto

• ℤ x ℤ -> ℤ

Si raccolgono le seguenti proprietà:

1. 1 · z ∈ ℤ , ∀ z ∈ ℤ . 0 · z = 0 . 1 · z = z
2. (u · v)z = u(vz) . z ∈ (u v) = (z u) v . z ∈ ℤ
3. u, v, z ∈ ℤ => (u + v) z = u · z + v · z

N.B: Come però in ℕ m + x = 0 non sempre ho soluzioni; lo stesso accade in ℤ

per ℤ x = 1 .. m ℤ ho soluzioni solo se z = 1

Bisogno così estendere ℤ all'insieme dei numeri razionali ℚ

• ^{INSIEME DEI NUMERI}
• _RAZIONALI

Q = { ..... p/q ..... compra p ∈ ℤ e q ∈ ℤ \ {0} }

^p/_q è identificato a p'/q' quando pq' = q p'

In ℚ dobbiamo due fondamentali operazioni che sono addizione e prodotto.

• "+": Q x Q -> Q
• ".": Q x Q -> Q

Le proprietà di somma e prodotto in ℕ e ℤ vengono estese a ℚ

1. 0 + x = x pon X ∈ ℚ
2. x + (-x) = 0 (Ax ∈ ℚ) = da ciò x + (-x) -> 0
3. x + (y + z) = (x + y) + z , pon ∀ x,y, z ∈ ℚ
4. x + y = y + x pon ∀ x,y ∈ ℚ
5. x . 1 = x
6. x ^-1 tale che x . x^-1 = x^-1 . x = 1
7. (x . y) . z = (x . y) z , x,y, z ∈ ℚ

27/09/2019

Detto che in C sono verificate la somma e il prodotto, ciò permette di identificare C come campo.

Vediamo adesso come costruire l'inverso di z rispetto alla moltiplicazione in C.

Prendiamo z ≠ 0, costruiamo ż tale che zż = 1.

z = a + ib

ż = c + id

Ac + i(ad + bc) + ibd = 0 oppure a² + b² ≠ 0

Ac - bd = 1

ad + bc = 0

Supponiamo d = -b/c (bc + ad)

z = ż

^{a - ib}/_{a² + b²}

Rappresentazione cartesiana

Vogliamo adesso interpretare z = a + ib ∈ C come un punto di coordinate cartesiane (a; b) ∈ R².

a = x (reali) b = y (immaginari)

Piano di Gauss

z = a + ib

w = c + id

{(z1 + w1) = (a + c, b + d)}

STRUTTURA VETTORIALE ED EUCLIDEA DI R³

Assegnare un piano tridimensionale significa avere tre assi ortogonali a due a due che si uniscono in un punto che è l'origine.

Viene poi ciò che è un punto non solo dotato di 2 coordinate, ma di tre coordinate x, y, z:

P(x₀; y₀; z₀)

Oltre a questa definizione, a ogni punto corrisponde ogni punto dello spazio tridimensionale

• assegnato da un modulo, direzione e verso assegnati

In maniera analoga a quanto già fatto in R², possiamo definire 2 operazioni in R³:

• Somma: (x₀; y₀; z₀) + (x₁; y₁; z₁) = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂)
• Moltiplicazione per uno scalare:
• d·(x; y; z) = (λx; λy; λz)
• Se λ = 0 allora λ≠È è VETTORE NULLO

• N.B.: Somma di 2 vettori equivale all'equazione della diagonale del parallelogramma dei 2 vettori e di R³.
• Il prodotto λ·v è sempre un vettore che si ottiene dilatando il vettore di partenza.

• RETTI E PIANI

Nello spazio R³ posso individuare una retta mediante un punto P₀ e un vettore v, occorre si può ottenere una retta passante per P₀ e parallela a FIº

• P₀ è individuato grazie ad un vettore r_P0
• v permette di creare una direzione
• retta passante per P₀ // v

TUTTI I PUNTI SI OTTENGONO MEDIANTE LA SOMMA OP₀ OT o OP con OP.

ORIENTAMENTO SPAZIO

* Scegliere un orientamento del piano vuol dire scegliere chi è la faccia di sopra e qual è quella di sotto

{u} base

{v} base

Equiverse => se hanno le stesse direzioni

{u} base

{v} base

Controverse => se hanno verso opposto

Regola mano destra

Avvolgimento Antiorario

Avvolgimento Orario

PRODOTTO VETTORIALE

Dati 2 vettori v₁=(x₁, y₁, z₁) e w₂=(x₂, y₂, z₂) possiamo definire una operazione, il prodotto vettoriale.

• v₁ ∧ w₂ = (x₁, y₁, z₁) ∧ (x₂, y₂, z₂) = (y₁z₂ - y₂z₁) i - (x₁z₂ + z₁x₂) j + (x₁y₂ - x₂y₁) k

Proprietà

• v ∧ w = 0 se e solo se ∃ λ ∈ ℝ t.c. v = λ * w ovvero se w e v sono //.

Dimostrazione

• v ∧ w = 0 => y₁z₂ - y₂z₁ = 0
• -x₁z₂ + x₂z₁ = 0
• x₁y₂ - x₂y₁ = 0
• quindi se λ = y₁/y₂ z₂/z₁ x₂/x₁
• y₁/y₂ = z₂/z₁ = x₂/x₁

ESERCIZIO 2

r(x) = x² - 2x + 1 - combinazione lineare di u₁, u₂

     = u₂ - u₂ - 2(x - 1) · x² - 2x - 1 + 2

ESERCIZIO 3

W = P₄ (x) ⊆ P₄ [ x ]

P(x₀) = 0 = P'(x₀) > 0

* Un polinomio si annulla se e quando la sua componente A₀ è 0

P(x) = Q₀ + A₁x + A₂x² + A₃x³ + A₄x⁴

P'(x) = A₁ + 2Q₂x + 3Q₃x² + 4Q₄x³

= V : V [ A₁x² + A₂x³ + A₃ x⁴ / Q₂ : Q₃ ; A_i ∈ R ]

B^w [ x² , x ³, x⁴ ]

MATRICI

Sono tabelle di dati organizzati in maniera ordinata su m righe e n colonne.

• Se fissano 2 interi m, n positivi
• Uno MATRICE A COEFFICIENTI REALI m is n è una tabella m x n numeri reali esposti ordinatamente su m righe e n colonne

< Aⁿ = < a₁₁ a₁₂ a₁₃> > < a₂₁ a₂₂ a₂₃>

con  : n righe colonne    numeri     numero riga         numeri colonna    a_m,n

ESEMPIO

 a e 6 o numeri reali     egli possono disperused se maten a 3 x 2 o 2 x 3

3 x 2         a     3 x 2        a

1    3            1  3     

2    3 6           1  2   

2    3   

Matrice 3 x 2  =    3 righe 2 colonne

*  per matrice massimo elemento ü di una matrice M deve mettersi e am_in, deve metrica le righe e a_mⁿ le colonne.

       = così si mollica la riga