Appunti: Formulario sulle Equazioni Differenziali e sui problemi di Cauchy per l'esame di Analisi e per la prova di Matematica per la Maturità

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

. .

PARTE TEORICA: PARTE PRATICA:

Signicato: Lineari del primo ordine:

• •

Un'equazione dierenziale è un'equazione la cui "incognita" Sono equazioni in cui .

k = n = 1

da trovare è una funzione . Sono della forma 0

y(t) y (t) = a(t)y(t) + b(t)

La forma più generale per un'equazione dierenziale è: Indipendentemente da se sono omogenee o meno e dalla

natura dei coecienti, la soluzione è:

0 (k)

F (t, y(t), y (t), ..., y (t)) = 0

Oppure, in modo equivalente: Z

−A(t)

A(t) b(t)e

y(t) = e dt + c

0 (k)

F (y(t), y (t), ..., y (t)) = f (t) Z

dove con i simboli si intende l'ordine di derivazione con .

0 00 (k)

, , ..., A(t) = a(t)dt

della funzione .

y Se avessimo già la condizione la soluzione sarà:

y(t ) = y

0 0

Classicazione:

• Le equazioni dierenziali hanno metodi di risoluzione diver- t

Z

−A(t) A(t)

A(t)−A(t )

si in base alla loro classicazione. Ciò che si guarda per b(t)e dt

y(t) = y e + e

0

0 t

classicarle è: 0

ATTENZIONE: Anché la soluzione si possa risolvere in

1. L'ordine massimo di derivazione avvistato: se compare quel modo, la dierenziale deve essere rigorosamente scritta

equazione

no a si dirà che è un'equazione di ordine ;

(k)

y k nella forma . Portala in questa forma prima di

0

y = ay + b

2. Il grado massimo della funzione e delle sue derivate: se

y iniziare l'esercizio.

equazione di grado

compare no a si dirà che è un'equazione ;

n n

y 

3. La presenza o meno di una funzione , dipendente t

−e

a(t) =

f (t) 2 

0 0

equazione t t

solo da e non da : si dirà che è un'equazione omogenea ⇒

− ⇒ −e

Es. 3ty + 3te y 2 = 0 y = y + 2

t y 3t b(t) =

(se non c'è ) o non omogenea

omogenea. 

f (t) 3t

4. La natura dei coecienti delle varie :

0 (k)

y, y , ..., y Lineari del secondo ordine omogenee:

•

se i coecienti sono numeri, si dirà che è Sono equazioni in cui e .

equazione n = 1 k = 2

un'equazione a coecienti costanti

costanti; se sono funzio- Sono della forma con costan-

00 0

ay (t) + by (t) + cy(t) = 0 a, b, c

ni è a coecienti non costanti

costanti. ti.

Si risolvono considerando l'equazione dierenziale come un

polinomio .

00 2 2

−

Es. y 2y = 0 aλ + bλ + c

La forma della sarà data dal e dalle

2

equazione del ordine, di grado, a coe- &mi