Appunti: Formulario sulle Equazioni Differenziali e sui problemi di Cauchy per l'esame di Analisi e per la prova di Matematica per la Maturità

PARTE TEORICA: PARTE PRATICA:

Significato: Lineari del primo ordine:

• Un'equazione differenziale è un'equazione la cui "incognita" da trovare è una funzione. Sono equazioni in cui k = n = 1.
• Sono della forma y(t) = a(t)y(t) + b(t)

La forma più generale per un'equazione differenziale è:

F(t, y(t), y'(t), ..., y^(k)(t)) = 0

Oppure, in modo equivalente:

Z - A(t)A(t) b(t)ey(t) = e dt + c0F(y(t), y'(t), ..., y^(k)(t)) = f(t) Z

dove con i simboli si intende l'ordine di derivazione della funzione y. Se avessimo già la condizione y(t0) = y0, la soluzione sarà:

y(t) = y0e^(A(t) - A(t0)) + Z e^(A(t) - A(t'))b(t')dt'

Classificazione:

• Le equazioni differenziali si classificano in base alla loro classificazione. Ciò che si guarda per classificarle è:
• Se sono omogenee o meno
• La natura dei coefficienti

è: 0ATTENZIONE: Anché la soluzione si possa risolvere in1. L'ordine massimo di derivazione avvistato: se compare quel modo, la dierenziale deve essere rigorosamente scrittaequazioneno a si dirà che è un'equazione di ordine ;(k)y k nella forma . Portala in questa forma prima di0y = ay + b2. Il grado massimo della funzione e delle sue derivate: sey iniziare l'esercizio.equazione di gradocompare no a si dirà che è un'equazione ;n ny 3. La presenza o meno di una funzione , dipendente t−ea(t) =f (t) 2 0 0equazione t tsolo da e non da : si dirà che è un'equazione omogenea ⇒− ⇒ −eEs. 3ty + 3te y 2 = 0 y = y + 2t y 3t b(t) =(se non c'è ) o non omogeneaomogenea. f (t) 3t4. La natura dei coecienti delle varie :0 (k)y, y , ..., y Lineari del secondo ordine omogenee:•se i coecienti sono numeri, si dirà che è Sono equazioni in cui e .equazione n = 1 k

È un'equazione a coefficienti costanti; se sono funzioni di t, sono della forma:

ay(t) + by(t) + cy(t) = 0

dove a, b, c sono coefficienti non costanti.

Si risolvono considerando l'equazione differenziale come un polinomio:

y'' + ay' + by = 0

La forma della soluzione sarà data dal tipo di equazione, di ordine e di grado, a coefficienti costanti e omogenea:

y(t) = c1e^(λ1t) + c2e^(λ2t)

Se Δ > 0, le soluzioni dell'equazione saranno:

y(t) = c1e^(λ1t) + c2e^(λ2t)

Se Δ = 0, le soluzioni dell'equazione saranno:

y(t) = (c1 + c2t)e^(λt)

Se Δ < 0, le soluzioni dell'equazione saranno:

y(t) = e^(αt)(c1cos(βt) + c2sin(βt))

Problema di Cauchy:

• Equazioni lineari del secondo ordine non omogenee a coefficienti non costanti.

omogenee: Spesso i calcoli per trovare y richiedono l'uso di integrali, e •y Sono della forma .00 0 quindi l'aggiunta del famoso : posso avere quindi innite ay(t) + by(t) + cy(t) = f(t)+c Si risolvono nel seguente modo: soluzioni per la stessa equazione dierenziale, tutte diverseytra loro per la presenza di una o più costanti.

1. Trovo la soluzione della omogenea associata: Se voglio determinare una sola, devo impostare delle y(t) Ocondizioni iniziali per identicarla. trovo la 00 0 ⇒ ay(t) + by(t) + cy = 0 y(t) O 0 (k) F(t, y(t), y'(t), ..., y(t)) = 0 integrale particolare
2. Trovo la soluzione detta ȳ(t). Per ȳ(t) y(t) = y farlo devo tenere conto del tipo di funzione che è e dei 0 0 f(t)0 0 parametri condivisi tra e le soluzioni dell'omogenea: y(t) = y f0 0. . . se Λt6 ⇒ λ = Λ ȳ(t) = P̄(t)e_1,2Se se In questo modo, dopo che ho trovato la, sostituisco con Λt

Λt⇒ ⇒f (t) = eP (t)λ = Λ ȳ(t) = tP̄ (t)ey(t) t 1,2, con ecc. e risolvo le equazioni per trovare le costanti. set y y  2 Λt⇒ P̄ (t)eλ = Λ ȳ(t) = t0 0 0
Es. Risolvere il seguente problema di Cauchy: Se B oppure BΛt Λtf (t) = eP (t) cos t f (t) = eP (t) sin t se o B B B(t Λty(t) = c e + c t 6 6α = Λ β = ȳ(t) = eP̄ (t) cos t + P̄ (t) sin t(1 2 1 20 · ⇒c e + c 0 = 2 c = 2 1 2 1 se e B B B Λty(0) = 2 α = Λ β = ȳ(t) = teP̄ (t) cos t + P̄ (t) sin t1 20 ⇒ −c −2c e + c = 0 c = =1 2 2 10 y (0) = 0 Dove per si intende un polinomio generico dello stessoP̄ (t)Risolvendo delle semplici equazioni in e ho trovato che grado di ( )c c 2P (t) A, At + B, At + Bt + C, ...1 2.t −y(t) = 2e2t 1