Appunti: Formulario completo per l'esame di Analisi I e per la prova di Matematica per la Maturità

Calcolo degli integrali

Z Z1 f (x)|x| |fdx = ln dx = ln (x)|x f (x)Z ZApplicazione in analisi: 0x x f (x) f (x)e dx = e f (x)e dx = e• Per si intende la funzionef unzione primitiva Z ZZ 0− −sin xdx = cos x f (x) sin f (x)dx = cos f (x)F (x) = f (x)dx + cQuesto vuol dire che per una funzione esistono innite Z Zf 0cos xdx = sin x f (x) cos f (x)dx = sin f (x)funzioni , tutte diverse tra loro solo per la costante .F cSe dobbiamo trovare , dobbiamo svolgere l'integrale inde-F 0Z Z1 f (x)nito di (senza estremi di integrazione). dx = tan x dx = tan f (x)f 2 2cos x cos f (x)Se invece siamo interessati all'area sottesa dalla curva nel- 0Z Z1 1 f (x) 1l'intervallo , dobbiamo prima trovare e poi calcolare[a, b] F − −dx = dx =2 2tan x tan f (x)sin x sin f (x)bZl'integrale denito: −f (x)dx = F (b) F (a) 0Z Z1 (x)f√ dx = arcsin x dx = arcsin f (x)a p2 2− −1 x 1 f (x)ATTENZIONE: Il calcolo dell'integrale indenito (della 0Z Z1 f (x)primitiva)

richiede SEMPRE di aggiungere la costante c: ∫ f(x) dx = arctan x + c = arctan f(x) + c Applicazione in fisica: • In un certo senso, l'integrale è la "funzione inversa" della derivata: se so che una grandezza fisica è la derivata rispetto al tempo di X, posso trovarla facendo l'integrale. Un integrale immediato generalizzato si ottiene sostituendo X con t e f(x) con g(f(x)): ∫ f(x) dx = ∫ g(f(x)) f'(x) dx = g(f(x)) Per distinguere blocchi simili tra loro, devi individuare X e t: → − Y dt = ∫ dX = Y dt = ∫ dX = X = g(f(x)) Es. ∫ 4x dx = (x + 1) + c Es. ∫ f(x) dx = n f(x) + c ATTENZIONE: L'integrale definito è nell'intervallo [t0, t] dove t0 è l'istante iniziale e t è la variabile che mi genera la dipendenza di X dal tempo. ESEMPIO: Tracciare qualitativamente il grafico di f(x) partendo da t0.da è· f FtZ come tracciare il graco della derivata di (vedi foglio sullespazio = velocità integrata in Fs(t) = v(t)dt + s [t , t]0 0 Derivate, alla voce "DERIVABILITÀ").t 0 1. .METODI DI RISOLUZIONE: Integrali funzioni fratte:Integrazione per parti: va usata quando la funzione dava usata quando la funzione da è· integrare è scritta come prodotto di due funzioni di tipologie N (x)integrare è del tipo (con polinomi). Ilf (x) = N, Dcompletamente diverse (logaritmica trigonometrica, espo-· D(x)metodo dipende dal confronto tra i gradi di e .nenziale polinomio, ecc.). N D·Una delle due è facile da integrare ( ), l'altra è0 →g (x) g(x) Grado di < Grado di : ho 4 possibili sottocasi.invece più facile da derivare ( ).0 N DB→f (x) f (x) 1. Grado N=0, Grado D=1:Candidati per : xf (x) ln x, tan x, eCandidati per :0 x ng (x) sin x, cos x, e , x Z a a |bxdx = ln + c| + cd bx + cIndividua e usa lo schema: f(x) g(x) 2. Grado N=0, Grado D=2, con ∆ < 0: R D0 → g(x) g(x) ZOra hai tutte e 4 le funzioni: 2a 2bx + ca √ √dx = arctan + c mettile nella formula e calcola l'integrale. 2bx + cx + d -∆ -∆ 3. Grado N=1, Grado D=2, con ∆ < 0: Z D(esponenziale polinomio)x · Es. I = e xdx 0f(x) simile al caso N =0 caso 2.: grado f(x) z }| {z }| {Z Z Zax + k ax kd dx = dx + dxZdx→ 1x x x x 2 2 2bx + cx + d bx + cx + d bx + cx + d→ - · -I = xe 1 e dx = e (x 1) + c Rx x-→e e 4. Grado D>2, con ∆ < 0: Dci sono volte (quando compaiono funzioni ATTENZIONE: trigonometriche) in cui l'integrazione per parti va eseguita 2 (1) Scomponi in fattori di grado e di o -D(x) 1 (x a) volte e va fatta un' "equazione" per trovare l'integrale . grado con ; I o 22 (ax + bx + c) ∆ < 0 (2) Scrivi la

funzione come somma di frazioni semplici, Z (esponenziale trigonometrica) usando questa tabella;

x ·Es. I = e sin xdx A B1 = + + ...d − − − −xx Zdx (x a)(x b)... (x a) (x b)−−→ ee x x⇒ −I = cos xe + cos xe dxR−−→ −sin x cos x 1 A A A1 2 n| {z } = + + ... +Ilo chiamo − − − −n 2 n2 (x a) (x a) (x a) (x a)ddxx x Z 1 A x + B A x + B−−→e e 1 1 n nx x⇒ −I = sin xe sin xe dx = + ... +2R 2 n 2 2 n(ax + bx + c) ax + bx + c (ax + bx + c)−−→cos x sin x | {z } (3) Trova i parametri in modo tale che, sommando leI A , Bn nMettendo insieme i pezzi otteniamo: frazioni semplici ed eseguendo l'm.c.m., si riottenga il nume-ratore di partenza ;N (x)1 xx x (4) Integra le funzioni fratte semplici.− − ⇒ −I = cos xe + sin xe I + c I = (sin x cos x)e + c2ATTENZIONE: ci sono volte in cui identicare il prodotto ∆=−3<0Z x +3tra

due funzioni non è banale: z }| {3 2 2Es. dx D(x) = x + x + x = x (x + x + 1)3 2x + x + xZ Z Z Z2· ·Es. ln xdx = 1 ln xdx cos xdx = cos x cos xdx 2 2 Z ZA Bx + C Ax + Ax + A + Bx + Cx+ dx = dx2 3 2x x + x +1 x + x + xSostituzione: va usata quando la funzione da integrare è• Ora che ho eettuato l'm.c.m. devono essere tali dascritta come una combinazione di funzioni della stessa tipo- A, B, Cridarmi il numeratore di partenza, ovvero :logia. In pratica è il metodo che si usa per identicare gli x + 3integrali immediati generalizzati. coeciente di 2A + B = 0 x coeciente dif (x) = t ⇒ −3, −2A = 3, B = C =A + C = 1 xIndividua e e usa lo schema −10 x = f (t)f (x) f (x) termine notoA =30−1 dx = f (t) dtIn questo modo ottengo: −3x −2Z 3⇒II = + + dx =2 2x x + x +1 x + x +1Z Z0g(f (x))f (x)dx = g(t)dt = G(t) + c = G(f (x)) + c 13 2x + 12 √ √|x| − |x −= 3 ln ln + x +

1| arctan + c Per funzioni trigonometriche, usa le relazioni: ³/₃Grado di > Grado di : Eettuo la divisione ,NN DBn+1n+1Z Zcos x sin x Dottenendo il quoziente + il resto .nn −cos x sin xdx =sin x cos xdx = Q(x) R(x)n +1 n +1 N Dcaso <polinomio z }| {2 22 2 2 }| {z− − −cos x = 1 sin x cos 2x = cos x sin x = 2 cos x 1 Z Z ZN (x) R(x)dx = Q(x)dx + dxD(x) D(x)2 2−sin x = 1 cos x sin 2x = 2 sin x cos x 2. .UTILIZZO DEGLI INTEGRALI DEFINITI: Integrali impropri:Teorema del valor intermedio: •• f (x)Data una funzione[a, b]continua in un intervallo , si ha che esiste esiste sempre ∞ tZZdi prima specie:c f (x)dxf (x)dx = limun punto tale che: t→∞ aabZ1 f (x)dxf (c) = −b a t Za lim f (x)dxb Zviene chimata . di seconda specie: −t→bf (c) af (x)dx =media integrale della funzione bZa  f (x)dxlimArea racchiusa tra 2 graci: Se sono interessato all'area •  +t→a tracchiusa tra 2 funzioni eIn un intervallo, devo solo integrare g(x) da a a b. Nel caso uno degli estremi di integrazione è ∞, fare la differenza tra i 2 integrali: ∫[a,b] [f(x) g(x)]dx - ∫[a,∞] [f(x) g(x)]dx. Nel caso è un punto in cui la funzione non è continua: - Se è l'estremo iniziale, uso l'intorno destro. - Se è l'estremo finale, uso l'intorno sinistro. Se il risultato del limite è infinito, si dice che l'integrale diverge. Se invece viene un numero finito, si dice che l'integrale converge. È necessario avere un'idea della forma delle funzioni, così da capire quale delle 2 è più grande e se l'integrale converge a un numero finito. Se ad esempio, prima di un punto ho che f(x) > g(x), devo fare: ∫[a,b] [f(x) g(x)]dx = ∫[a,b] [f(x) - g(x)]dx + ∫[a,b] g(x)dx. TRUCCHI/CONSIGLI: 1. Ricorda che le funzioni fratte sono funzioni con esponente negativo e le funzioni radicali hanno esponente frazionario. 2. Fai prima in modo che l'integrale sia chiaro e poi risolvi.

l'integrale del tipo .Solidi di rotazione: si ottengono facendo ruotare a nR x dxo• 360intorno all'asse x (oppure y) un tratto della funzione f (x) −4/3+1Z Z1 xnell'intervallo . −1/3−4/3[a, b] √ −3xEs. + c = + cdx = x dx = −4/33 + 14xbZ 2. Se l'integrale somiglia a un integrale immediato tranneRotazione intorno all'asse x: 2I = π [f (x)] dxx che per una costante, usa sempre il trucco dia aggiunge-o di per quella costante.Se la rotazione è intorno all'asse y devo per forza individuare re/sottrarre moltiplicare/dividere0, ossia la funzione inversa di . Inoltre, gli estremi f (x)−1f (y) f (x)di integrazione sono i valori di calcolati nei punti e . z }| {−Z Z sin xf (x) a b − |− dx = log cos x| + cEs. tan xdx = cos xf (b)Z {z }|Rotazione intorno all'asse y: −1 2 f (x)I = π [f (y)] dyy ATTENZIONE: quando moltiplichi/dividi, ricordati che ilf (a) va diviso/moltiplicato per

quello stesso numero.d