Equazioni differenziali e relativi problemi di Cauchy - parte 1

DIFF

2)(x Eq .

.

1) y2

y SEPARABILI

+ VARIABILI

0

+ =

. OMOGENEA

LINEARE

R

y2

y 0

+ =

= y 2

x (x2

1

+ y

1) 0

=

+ +

-

=

y(0)

-

y

= = * +v I

E

ey =

2 actf(0) +

Y C

If

= X =

= x

- C = I

- =

y Ye

= dx ancix +

IP .

1 -arctfx verifice

C

+ le

for

=

- y encrx

Y c

+

+ +

= .

I G .

l

y = arctyx generale

C

+ integrale

(45 06)

Lez 2 :

. dell'equatione

Ordina :

& y 0

x tgy desivazione

= di

oraine max

+ .

y

y(0) x

= 0

= f(x)

y =

1 ordine

diff

eq .

. 1

lineare

Omog

. e

.

sep

ver - -Y

(

dy fx

xtgy >

- x

-

=

- - ↳

dx (I dy

Sowy Tips

*

dy e

= - Coe*

* A tiny

la/ting) =

+

-

= e-)

(c

arcsin(sing) I G

.

arcrin

: . .

integrell

ya generele (g tyg =

= 0

=0

tiny

Fizione dem

cod 2 .

e .

inil ki

F

invertone y

si Y I

sint 1

)

arcrin(a (x)

f

e

= 1 -

f(x)

. 1

- I

,

-Ye eceinx

↑ arcsin() - Yyz

is

= -

- )

*

-

arcrin(c

(2) in() 1 y =

c =

-

sin = P

.

I

.

* particles

)

( integrale

y arcsin

=

2)y

E (1)

R

y

x -

= =

x -

1)2

(x - 1)

I(2

y(z) 2

x

1 =

= ,

-)

= ,

. y =

&At

In y

E t E

= 1

X x

- +

3 1 +

dT

dx =

/Et

/Edt

en(y)

Ex +

= /Edt

/Edt

e/y)

# +

= dies, im 1

x =

specie

20

di

lu(t)

1

E((y) c

+

+

-

= K

+ 1

WD((y) l'exponenziale

-)

In/x applica

K &

= +

-

- 1)

(x - ex

E C

d

pluly e =

(n(x 1) 6

-

e6

↓ 1

- x G

1 I

- .

1)

(o(x

y .

-

e

= &

- generale

integrale

7

- mie

la

applica

2 1

-

c(2 1) one

C I - 1 iniziele

condizione

-

-

=

. -

. 1)

(2

possi I

funziona

le per

che ,

-"D b

c

#D1 =

2

C .

= >

-

1 integrall particolere

2(X 1) -

e x

·

-

y = e is

- (x 1)

F 1 proble

g =

+

(x

prop 1) -

>

exponenzidi -

. y = .

- di Carchy

14)

(42

Lez 3 :

. ?

k R

-

a a x f(x)

[ y

g(x) =

x e

= .

y 0

x-y" y

x =

- -

.

( axeax

2x

y(x) +

= ax

**, a *

y"(x) axe

a +

= ax

axe

2aeax

y"(x) +

= y

*

y" aX

x

xe*)

(ae -x (e

** /

0

=

xe

-

x · **

**

**, a **

*

-a xe

-xe 0

Laxe -xe = ax

,

e

aX >

semplifice - R

e si Exe

x ax 0

2ax + x x =

-

- - ax

ex 0

2ax 2x =

+ -

-

ax(a 2x(a

1) 1) 0

+ -

- =

a

1

> a 0 1

>

- = =

-

- x

1 X

y(x) . e

x

=

& Diff

Ep

(corx) .

(nnx)y =

+ y °

1 ordine

amogene

non

sinx

divido per -

*

E + 1

coTgx y

y =

. sinx C +o

E sinx

.

-

!

b(x)

y KN

=

a(x) x

p

y =

+ . I

1TODO : VARAZION ARBITRARE

COSTANT Y O

ARB

COST

VAR D

②

O

.

.

. ke

y 0

coTg(x) y gener

=

+ .

y coTg(x) y

= - - )

(A SEP

VAR

b . .

= cotg(x)

-

/ /- cotg(x) coigx

d =

= x

- -en/sinx

tu/y) k

+

= e eogeniture

e il

eliminar

per

↓ l'exponenzial

applica

Si

enlinx) Persink-

- 1

b er

=

= c

=

sinx

C I

y G 0

= - .

. . dell'omogenea

generale

sinx integrele

-r(x) delle costenti

nelle veriazione

C

diventa funzione

une

v(x)

y = X

sin

v(x) v(x)

↑ coo()

y -sinx -

=

&. (tinx) 2 x

(y' cotgx

+ y =

· X

V(x) cor()

r(x)

vinx e

- .

· t = sinx

sin2x

V'(X) X

sinx-coox v(x) V(x) e

(x

, + =

sinx

sin2 x sin2x sinx

derivate

le perte

deve rimouere

sempre converte

velle li veriezione di

V'(X) Fine

- ex

-

sinx v(x) V(x)

cax Cosx

, +

- =

sinx

sin2 x sinx

,

= ell'inizio

r'(x) poich

we eveveme

ED dirig sinx

per

sinx moltiplica

lo

ore ↓

-

X X

* V(X)

V'( e

e

FD =

= sink

-

*

- e

dx. =

Sav /edx V(x) C

=

> = I I

G

- .

ex .

.

integrel

y

-> ex =

v(X) C

- >

-

+

= generall

sinx inomogeneo

° INTEGRANTE

METODO FATHORE

2 METODO DEL

: (corx)

(nnx)y =

+ y

E + cotgx y

y =

· x !

b(x) Epo

y a(x) y =

+ .

↓ a (x)

primitive di

Alx A(x)

A(X) (e +

- b(x) dx

= 2

y . . /yax

a(x) D(x)

Cost

= =

>

-

sinx

In A(x)

sinx =

- elrint

In/simx f .

- ax

Ya e

l

-

I

. dell'inomogenes

integrall generale (winx

i . ex

=M .

-(eax

=*

16)

G(56

2zz :

. problema Carchy

di

f(x)

[ y = delle veriebilex

fruzione

i

y una

0

X =

dy dx

=>

y

+

1 =

= 1 y

+

y)

h(1 k

+

+ x

= 2 e

e *

C 2

1 y

+ = . 2 I P

ce"-c 6

. 1

I y = - .

y = .

.

cer

1 y

+ =

C

0 1

= -

1

c =

2 1'ordine

omsgene

mar

E vin(2x)

sin(x)

y y +

= .

g(0) 2 sin(x)

a(x)

= - = sin(2x)

b(x) =

(nin(x)dx

A(x) corx

=

= -

2A(x)(e Tegrel

A(x) in

b(x)

-

Y(Gy dx generall

. dell'inomogenes

(200

-x(x)

Y(6) (2x)

- dx

vin

-

= .

(ecor (x)dx

min() co

I 2

.

= t

< corx = dt

sinxdx =

-

I

S t x

dx =

2) et not

- : Cet

Ctet

[te-Jedt]

2 =

+

= -

=

= cort

e

(00(t) C

2

2

= +

- corx

/- c

Cox

y(G1) 2crxe 2e

+ +

= CooX

-

y(GI) +2

220x ce

+

= - CER

>

f(x) -

C I

.

. + ce

-

2 +

=

- 1

ce

2 =

- Ce

c = - correcti

revizioni

Metodo /sinx

( x

sin(x)

y >

-

g =

= . ( - k)

((y) co2x +

= e

e corx O

- .

G

I

ce

y = .

~

C2-coox

c'e-Lox sinx

+

-Cox

- sin(x)

Ce +

sinx

=

(d (e min(x)dx

.

=

=

c !

4 1

y c

+

y live g(

= , x - +

Ex

Omogener D

>

= b)

y essciete xe(0

g f +

,

Y 1

·***x +

-

* k

July

to +

- - 1

+

-

20 k

m(y) +

= e

e integral

6

I

ce 0

y = general

. .

. omogene

-

25x

C'e

C

.

M V y

.

. 1

ce

=

=> + rx

+

2x

Tx

20x

- 2x

c'

FD -

e e

. = zwx t

Sac-fe 2x

- =

dx dt

1 dx =

rx xdt

dx =

*

Se Edt

c = /

- (t 1)

dt) t

= +l

t -

-

- + .

. gate* *

2/ ↳Je

-

1)

-

12 1)

20 2

c = +

- -

-

Lez (51 17) Cauchy

Problema di

5 :

. 4 y" 2y 0 f(x)

8y y

= =

- -

1y(n) 0

y(u) °

2

DIFF. ORDIN

= Eq

= .

.

coeff omogene

cost

·

EG Aft

.

.

P(x) 2) P(x)

8 0

=

-

-

= 2

3

1 -

=

-

-

14

44 =

1

= - 1 4

3

+ =

41 4

x2

2 =

-

= A 0

>

bluz. disrinte

reali e

* *

X x

y(40) ,

Ge Ce

+

= 2x C4

-

E y(G0) C I

+ inregul

G

e O

,

= . . generall

dell'amogena

Ce **

(60) 4Cze

y 2

= - + condizione

applica le

y(1) y(1)

1 0

= = iniziali

Cze

\ G

↳ 1 +

= C condition

I

.

.

4Cze

, inizieli

p 2C

= - + 6 Cze

"

2 +

= Ge et

-C

62e =

2

↳ -

= =

-

1e" 4

Z

-

Cre e

1 + .

= 3

1 cre

2

- Y +

1

Cer

1 + =

-

= >

-

3

2

- Ze

C

Cel -22

E (1

2 > =

-

= =

>

- feht

2 x

2 -

yp e +

=

integrale particolev integrale peri .

dell'amofenre

4(1 x)

x)

2(1 -

- -

yp 1

2 e ze

+

= 5 % +

y(x 1) 2 e

= =

IPX g(x 1) E 1

= = +

.

1

ze

y(x 0 y(x 1)

= 1

= = =

+ 3 !

conferumto

>

- -

y(1) 1

priche =

le C I

,

come -

VERRLA inizile

condizione

x)

2(1 x)

6(e

- -

-

= (n)

y' 1

2)

( + .

. - -

x)

2(1 4(1 x)

- -

-

#2

x)

g2(1 3) + +

y"

- e

y 40

- =

= + Co (

2

-

x) <

2(1 22(1

-

x) x)

4(u

x

4(1 -

- -

y " - -

-

(2) -

-e (4)

= a

y +

e -

=

+ x

x)

8(1 461

- - -

- x)

42(1

16

y - -

x)

4(1

+ +

= -

- -

(p = - !

ok

verca

complexe

se F1

y" i

2y by 0

- + =

=

x 26 4 0

+ =

- iV3

F 3 1

> +

-

1 +

-

-

T