Appunti Analisi matematica 1

OSS.

A è infinitesima A è infinitesimo

Teorema del confronto o dei carabinieri

• A B C Vale defini.vamente

• Lim a Lim c L Lim b L

OSS.

a b defini.vamente

• Se lim a Lim b

• Se lim b Lim a

Corollario

Se a è limitata e b è infinitesima allora A B È infinitesimo

SGme asintoGche

A b A è asinto;ca a b

Def.

A è asinto.ca a b Se lim

Oss.

1. Non posso mai dire a

2. A L con L R, L= 0 Lim a. =L

3. A B Lim a = lim b

4. A B B A

5.

Gerarchia degli infiniG (infini; campione)

Potenze: n , n con < , n è un infinito di ordine superiore

§ Esponenziale: a , b con a>b, a è un infinito di ordine superiore

§ Logaritmo: hanno tui la stessa velocità (per la regola del cambiamento di base)

§ Potenze/ esponenziali/logaritmo: n < a < log n

§

Oss. (A B )

- (a ) (B )

- log a log b

- e e 6

- log n log n

LimiG di funzioni

Def.

Definiamo intorno di x un insieme del .po

• x R =>

• x =

• x =

Def.

D dominio della funzione. X punto di accumulazione per D se intorno di x (I) D (I/x )=

Limite

Def.

Dico che lim f(x)=l se I intorno di l J intorno di x t.c. x (J/ (x)) D, f(x) I (se per ogni x vicino a x , f(x) è

vicino a f(x) quanto voglio)

Def.

Lim f(x)=l se x successione che tende a x (x = x) => lim f(x)=l

Es.

Def.

X R di accumulazione

Lim f(x)= limite destro

Lim f(x)=limite sinistro

Oss.

Il lim f(x)=l limite destro e limite sinistro coincidono

Def.

Lim f(x)= f(x) => f è con;nua in x

Dico che f è con.nua in A se f è con.nua in ogni punto di A e scrivo:

Il conce>o di limite è un’analisi locale mentre la definizione di f con.nua in A è un’analisi globale

Le funzioni elementari e le loro inverse sono con.nue in D

Def.

Lim f(x)=0 f è un infinitesimo per x->x

Lim f(x)= f è un infinito per x->x 7

Forme indeterminate

Algebra dei limi. -> quando non si presentano forme indeterminate, è uguale a quella delle successioni

Teorema dell’unicità del limite

Se lim f(x) => il limite è unico

Teorema della permanenza del segno

Se lim f(x)=l => f(x) ha lo stesso segno di l in un intorno di x (fa>a eccezione al più di x)

Teorema del confronto

Funzioni conGnue

La somma, il prodoIo è il quoziente (funzione razionale) di funzioni con.nue è una funzione con.nua. Il

risultato è o>enuto u.lizzando l’algebra dei limi..

Funzioni composte (il prodo>o non è commuta.vo)

Teo.

Teorema del cambio di variabile del limite

Gerarchia degli infinitesimi

• X e x con > , x è un infinitesimo di ordine superiore. Quando faccio la s.ma prendo l’infinitesimo

di ordine minore

SGme asintoGche

Per x -> x se lim f(x)= 0

Funzioni conGnue

Teorema di Weierstrass

F C [a, b] (chiuso e limitato) => esistono il massimo e il minimo dell’immagine (f [a, b]). Cioè x , x [a, b]

t.c. f(x ) > f(x) > f(x )

• f(x ) = max f, x punto di massimo

• f(x ) = min f, x punto di minimo 8

Oss.

Non è vero che se f C (A) e A non è compa>o (chiuso e limitato) => f non ha né massimo ne minimo

Oss.

Il minimo (o massimo)(se esiste) è unico, mentre i pun. di minimo (o massimo), in generale, non lo sono

Teorema degli zeri

Teorema dei valori intermedi

F C (I), I intervallo -> f (I) è ancora un intervallo => tu< i valori compresi tra inf f e sup f sono assun0. Cioè,

Derivate

Def.

Dico che f è derivabile in x se esiste finito lim . Questo limite si chiama derivata prima di f in x . si

indica con f (x ), D f (x ),

il limite si può sviluppare anche come lim

N.B. geometricamente, il fa>o che f sia deriva.le in x significa che il grafico di f ha nel punto di x la reIa

tangente il cui coefficiente angolare è la derivata prima

F derivabile in ogni punto di A D dico che f C (A) (derivabile)

N.B. se f è derivabile in x => f è con.nua in x [ C (A) C° (A)], ma non è vero il contrario.

Def.

Lim derivata destra di f in x

Lim derivata sinistra di f in x

La funzione è derivabile se f (x )= f (x )= f (x )

Derivate di funzioni elementari 9

Regole di derivazione

• Somma

• ProdoIo

• Quoziente

• Funzione composta

Oss.

F: (a, b) -> R derivabile f in (a, b)

Uso il teorema della permanenza => se f(x) => f (x) > 0. Ripetendo il procedimento, mostro che se f(x) =>

f (x) < 0

Teo. Teorema di Fermat

• F (a, b) -> R

• X (a, b) e f derivabile in x

Se x è un punto di minimo locale (f(x)> f(x ) se x è vicino a x ) o di

massimo locale (f(x) < f(x ) se x è vicino a x ) => f (x )= 0

Teo. Teorema di Rolle

• F [a, b] -> R

• Con.nua in [a, b]

• Derivabile in (a, b)

• F(a)= f(b)

X (a, b) t.c f (x )= 0

ð

Teo. Teorema di Lagrange (o del valore medio)

• F [a, b] -> R

• Con.nua in [a, b]

• Derivabile in (a, b)

X t.c. f (x )=

ð

Test di monotonia

F: I -> R (I intervallo, I D) e f derivabile

• F (x) > 0 => f in I

• F (x) < 0 => f in I

Teo.

Sia f: (a, b) -> R con.nua e inver.bile, e sia g(x)= f (x). Se x (a, b) è tale che f (x )= 0 => g(x) è derivabile

nel punto y = f(x )

1. D arc tan x =

2. D arc sin x = 10

3. D arc cos x =

Integrali

Teo.

Se f: [a, b] -> R è con0nua, allora è integrabile

Se f: [a, b] -> è monotona e limitata, allora è integrabile

Se f: [a, b] -> R è integrabile a pezzi, allora è integrabile

Proprietà degli integrali

Teo.

Siamo f è g integrabili in [a, b]:

1. Linearità:

2. Addi;vità rispeRo all’intervallo d’integrazione: sia a < r < b, allora f è integrabile in [a, r] e [r, b],

vale l’iden.tà

3. Posi;vità e monotonia dell’integrale: se f > 0 in [a, b], allora

In par.colare:

• F > g =>

Convenzioni

Teo. Proprietà della media

Sia f: [a, b] -> R con.nua, allora esiste r [a, b] t.c.

Teo.

Sia F: [a, b] -> R una funzione derivabile. Si dice che F è una primi;va di f : [a, b] -> R se F (x) = f(x)

Se F è una primi.va di f, lo è anche F+c per qualsiasi costante c

Prop.

Siano F , F : [a, b] -> R due primi.ve di f. allora F – F è costante

Teo. Teorema fondamentale del calcolo, o regola di Borrow

Sia f: [a, b] -> R con.nua, ed F una sua primi.va in [a, b], allora

Calcolo di primi;ve, metodi di integrazione

Def.

Sia f: [a, b] -> R una funzione con.nua. Chiamiamo integrale indefinito di f e lo indichiamo con

1. Integrali immedia; 11

2. Integrali per sos;tuzione (cambio di variabile)

Sia : [a, b] -> [a, b] una funzione derivabile, e sia F: [a, b] -> R una primi.va di f nell’intervallo. Allora,

la regola della catena dice che:

3. Integrazione per par;

4. Integrazioni di funzioni razionali

I. Deg Q = 1

II. Def Q = 2

• Q ha due radici reali

• Q ha una radice reale doppia. Il miglior metodo è sos.tuire x – r = t

• Q non ha radici reali: dobbiamo manipolare il numeratore per o>enere la derivata del

denominatore. Il resto, il cui numeratore è sempre una costante, può essere trasformato in

un integrale di .po arctan 12

5 Integrali a pezzi. Simmetrie

Prop.

Sia M> 0 e f: [-M, M] -> R una funzione integrabile

• Se f è pari, allora:

• Se f è dispari, allora:

Integrali impropri

Sia a R e b > a che ammeiamo possa essere b= e sia f: [a, b) -> R una funzione con.nua. Definiamo il suo

integrale in [a, b) come

Diciamo che f è integrabile in [a, b) se il limite definito prima è finito. Se il limite è , diciamo che l’integrale

è divergente. Si svolge in modo del tu>o analogo nel caso a < b

Infine, una funzione con.nua f: (a, b) -> R, si dirà integrabile se, dato c (a, b) qualunque, integrabile in (a, c]

e [c, b):

Criteri di integrabilità

Teo.

Sia a R e b R t.c. b> a. siamo f, g: [a, b) -> R funzioni con.nue t.c 0 < f(x) < g(x)

• Se g è integrabile => f è integrabile

• Se

• Supponiamo inoltre che g(x)= 0 in [a, b). se f(x) g(x) quando x-> a, allora f è integrabile in [a, b) g

ó

è integrabile in [a, b)

Teo.

Oss.

I criteri preceden. sono ancora validi se si scambiano i ruoli di a e b

Teorema di De L’Hospital

• F, g, x di accumulazione di D e D

• F, g sono derivabile in un intorno di x e se

Teo. Con;nuità della funzione derivata

Oss.

F è derivabile => f è con.nua

F (x) è con.nua. Cioè: se 13

Derivate di ordine qualsiasi

F: (a, b) -> R, f (a, b)-> R

• (f ) = f = Df = derivata seconda

• (f ) = f = Df = derivata terza

Notazione

F C (a, b) se è derivabile k volte, con k N

Funzione concava e convessa

F è convessa [f (x) > 0] in (a, b) se il grafico di f sta “sopra la re>a

tangente al grafico nel punto ( x , f(x ))

F è concava [f (x) < 0] in (a, b) se

Test di convessità

F: (a,b)-> R f C (a,b)

• F (x) > 0 => f in (a, b) => convessa

• F (x) < 0 => f in (a, b) => concava

Sviluppo di Taylor

Simbolo di Landon: “o piccolo”

Def.

F, g definite in un intorno di x (R ). Dico che “f è un o piccolo per g per x-> x “, cioè: f = o (g) per x-> x

se il lim

Relazione tra “o piccolo” e sGme asintoGche

Sviluppo di Taylor, formula generale 14

N.b simboli di Landow

Equazioni differenziali

Equazioni in cui l’incognita è una funzione y= y(x), x I (I= intervallo)

Def.

L’insieme delle soluzioni dell’equazioni differenziale si chiama integrale generale

Teo.

Sia f C (I), I R intervallo. L’integrale generale dell’equazione y = f(x) è , dove F (x) è

una primi.va di f in I

Problema di Cauchy

Risolvere il problema di Cauchy significa trovare una funzione y C (I) che risolve l’equazione y =f(x) e che

soddisfa la condizione y(x )=y

Teo. Teorema dell’esistenza e unicità per il problema di Cauchy

Esiste un’unica soluzione y= y(x) C (I) del problema di Cauchy:

La soluzione del problema di Cauchy è y(x) =

Oss.

1° ordine

Oss.

Y , y sono soluzione