Appunti: Formulario di Meccanica Analitica (Razionale) e Relativistica

Equazioni del moto

Equazione di Lagrange

• n ∂L ∂Ld 1 dq iX X2L(q, − ≡= q̇) = T (q̇) U (q) T = m q̇ U = U q̇_i i iidt ∂ q̇ ∂q 2 dti=1 i=1

Variabili lagrangiane più usate: coordinata spaziale e coordinata angolare.

• x θ

Usa una combinazione dei due per descrivere le grandezze necessarie: es. se ⇒ −q = x cos θ q̇ = ẋ cos θ xθ̇ sin θ.

Per trovare, somma i contributi dei potenziali:

• U₁ elastici U = kq_i i²

• Gravitazionali (il dipende dallo stare sopra o sotto l'asse orizzontale scelto) ±mgq ±U =_i i

Per trovare, schematizza le coordinate del centro di massa e usa i seguenti teoremi:

• ≡T cm (x , y )_{cm cm}

• 1. Teorema di König: 2mvT = T +_cm cm

• 2. Teorema di Hugeyns-Stainer: 2I = I + md_cm

• 3. Energia cinetica di un di corpo rigido: 2 2T = I θ̇ + mv_cm²

∂f (q̇) ∂f (q) df (q) df (q̇) Relazioni utili: 0 0 = 0 = 0 = q̇f (q) = q̈f (q̇)B B B B ∂q ∂ q̇ dt dt

Per gli esercizi

Identifica le variabili lagrangiane e le grandezze e calcola, e di conseguenza scrivi l'equazione di Lagrange. → L →q q̇ T U−

Stabilità punti di equilibrio

Se supponiamo esistano solo 2 integrali del moto e, troviamo i punti di equilibrio annullando il gradiente di:

• q q q q U_{h k h k}0 02 2 ^{∂U ∂U∂q ∂q ∂q ∂q}

• Trovo e calcolo H pongo ⇒∇U ≡, > 0 = (0, 0) q det[ ] = det ^{h ,k0 0 ∂q ∂q ∂U ∂U} h k ∂q ∂q k h q ,q q ,q k h k k0 0 0 0

Se chiede di discutere l'equilibrio al variare di alcuni parametri, svogli la matrice H relativa ad un punto di equilibrio, trova il

• Determinante ed impostalo (dobbiamo dimostrare che il punto è un punto di minimo relativo per) > 0 q , q U_{h k}0 0

Poi svolgi le disequazioni in funzione dei parametri richiesti: se il punto rientra nelle soluzioni delle disequazioni, il punto è di equilibrio stabile, altrimenti è di equilibrio instabile.

Per gli esercizi

Trova e ponendo calcola [H] Studia come al variare di certi parametri cambia la disequazione [H]∇U → →q q = 0 det det > 0_{h k}0 0

Frequenze delle piccole oscillazioni

Scelto un punto di equilibrio stabile, trovo le frequenze delle piccole oscillazioni attorno a quel punto, sfruttando la relazione:

• ω ^{2 2 ∂ T ∂ U ∂ T∂ U 2 2 −} ω ω∂q ∂q ∂ q̇ ∂ q̇ ∂q ∂q ∂ q̇ ∂ q̇

• det[U ω T ] = det = 0 ^{2 2 ∂ T ∂ T∂ U ∂ U}