Appunti: Formulario di Meccanica Analitica (Razionale) e Relativistica

PER GLI ESERCIZI:

Identica le variabili lagrangiane e le grandezze e Calcola , e di conseguenza Scrivi l'equazione di Lagrange.

→ L →

q q̇ T U

−

STABILITA' PUNTI DI EQUILIBRIO:

Se supponiamo esistano solo 2 integrali del moto e , troviamo i punti di equilibrio annullando il gradiente di :

• q q q q U

h k h k

0 0

2 2

 

 

∂ U ∂ U

∂q ∂q ∂q ∂q

 

 

h h h k

q q

,q ,q

∂U ∂U h h

h k

0 0

0 0

 

 

trovo e calcolo H

pongo ⇒

∇U ≡ , > 0

= (0, 0) q det[ ] = det  

 

h ,k

0 0

∂q ∂q 

 



2

2

h k ∂ U

∂ U

 

 

 

 

∂q ∂q ∂q ∂q

k h k k

q ,q q ,q

k h k k

0 0 0 0

Se chiede di discutere l'equilibrio al variare di alcuni parametri, svogli la matrice H relativa ad un punto di equilibrio, trova il

• determinante ed impostalo (dobbiamo dimostrare che il punto è un punto di minimo relativo per )

> 0 q , q U

h k

0 0

Poi svolgi le disequazioni in funzione dei parametri richiesti: se il punto rientra nelle soluzioni delle disequazioni, il punto è di

equilibrio stabile

stabile, altrimenti è di equilibrio instabile

instabile.

PER GLI ESERCIZI:

Trova e ponendo Calcola [H] Studia come al variare di certi parametri cambia la disequazione [H]

∇U → →

q q = 0 det det > 0

h k

0 0

FREQUENZE DELLE PICCOLE OSCILLAZIONI:

Scelto un punto di equilibrio stabile, trovo le frequenze delle piccole oscillazioni attorno a quel punto, sfruttando la relazione:

• ω 2 2 2

2



  

∂ T ∂ U ∂ T

∂ U 2 2

− −

ω ω

∂q ∂q ∂ q̇ ∂ q̇ ∂q ∂q ∂ q̇ ∂ q̇

  

 h h h h h k h k

q ,q q ,q q ,q q ,q

h h h h h k h k

0 0 0 0 0 0 0 0

  



2

−

det[U ω T ] = det = 0



  

hk hk 



 

2 2

2 2

∂ T ∂ T

∂ U ∂ U 



 

2 2

− −

ω ω



  

∂q ∂q ∂ q̇ ∂ q̇ ∂q ∂q ∂ q̇ ∂ q̇

k h k h k k k k

q ,q q ,q q ,q q ,q

k h k h k k k k

0 0 0 0 0 0 0 0

2

∂ U

∂ U sono le componenti della matrice hessiana H

≡

U

hk ∂q ∂q

h k q ,q

h k

0 0 n

2

∂ T 1

ma puoi semplicarti i calcoli sapendo che vedi la scritta ed estrapoli

X

≡ ⇒

T T = T q̇ q̇ T T

hk hk h k hk

∂ q̇ ∂ q̇ 2

h k q ,q h,k=1

h,k=1

h k

0 0

1 3 3

2 2

− −2M

Es. T = M ẋ M Rθ̇ + M R sin θẋ θ̇ T = M T = R T = T = M R sin θ

ẋ ẋ θ̇ θ̇ ẋ θ̇ θ̇ ẋ

2 4 2

PER GLI ESERCIZI:

Trova e calcola il determinante e ponilo uguale a Risolvi l'equazione in e prendi solo i valori positivi.

→ →

U T 0 ω

hk hk

INTEGRALI PRIMI DEL MOTO:

Sono funzioni che rimangono costanti lungo soluzioni di equazioni dierenziali, quindi grandezze siche che si conservano;

• Teoremi utili:

• 1. Se la variabile non compare in , il corrispondente momento coniugato si conserva

L

q P

h h

∂L const.

≡

P =

h ∂ q̇ h

2. Se non compare in , si conserva il la quantità di moto :

L

x p

∂L const.

p = =

∂ ẋ

3. Se non compare esplicitamente in , si conserva l'energia totale :

L

t E = T + U

n 1

const.

X

H≡ − L(q,

P (q, q̇, t) q̇ q̇, t) = T + U =

h h

h=1

PER GLI ESERCIZI:

Vedi quale variabile non compare in Calcola il che si conserva Spiegane il signicato sico.

L → →

P h

TRASFORMAZIONI CANONICHE:

Una trasformazione che fa passare da variabili di stato a nuove variabili è canonica se si ha:

• 2n (q , p ) 2n (Q , P )

h h h h

0 0

∂H ∂H

−

Q̇ = Ṗ =

h h

∂P ∂Q

h h

Se la nuova hamiltoniana è una trasformazione diretta della hamiltoniana originaria , ovvero se

0

• H H

allora la trasformazione è canonica;

0

H (Q, P, t) = H(q(Q, P, t), p(Q, P, t), t)

Se la trasformazione è canonica ed indipendente dal tempo, la trasformazione è completamente canonica.

• Anché la trasformazione sia canonica, bisogna avere . Se ho una sola coppia di e (quindi ), basta

• [Q , P ] = δ Q P i = j = 1

i j q,p ij

vericare che : ∂Q ∂P ∂Q ∂P

≡ −

[Q, P ] =1

q,p ∂q ∂p ∂p ∂q

La funzione generatrice della trasformazione la trovo sapendo che:

• F Z Z

Se oppure

⇒ ⇒

1. F = F (q, Q) dF = pdq + P dQ F = pdq F = P dQ

Z Z

Se oppure

⇒ ⇒

2. F = F (p, Q) dF = qdp + QdP F = qdp F = QdP

Z Z

Se oppure

⇒ ⇒

3. F = F (q, P ) dF = pdq + QdP F = pdq F = QdP

Z Z

Se oppure

⇒ ⇒

4. F = F (p, P ) dF = qdp + QdP F = qdp F = QdP

Possiamo avere 4 tipi di funzioni generatrici che producono una trasformazione canonica:

• ∂F ∂F ∂F

∂F Se

Se − ⇒ − −

⇒ P = 2. F = F (p, Q) q = P =

1. F = F (q, Q) p = h h h

h ∂q ∂q ∂p ∂Q

h h h h

∂F ∂F ∂F ∂F

Se Se

⇒ ⇒ −

3. F = F (q, P ) p = Q = 4. F = F (p, P ) q = Q =

h h h h

∂q ∂P ∂p ∂P

h h h h

PER GLI ESERCIZI:

Vedi se è canonica ponendo Trova partendo dagli integrali Trova le variabili mancanti in base a .

→ →

[Q, P ] = 1 F F

q,p

1 Se i vincoli sono indipendenti dal tempo, si verica il teorema di 3 e la funzione con l'energia totale .

H E

TRASFORMAZIONI DI LORENTZ:

Trasformazioni:

• v

− x

t

−

x vt 2

c

0 0 0 0

x = y = y z = z t =

r r

2 2

v v

− −

1 1

2 2

c c

0

∆t

Conseguenze: Dilatazione del tempo:

• ∆t = r 2

v

−

1 2

c

intervallo

è l'intervallo di tempo proprio

proprio, cioè l'intervallo tra 2 eventi misurato da un osservatore a riposo rispetto a essi.

0

∆t

Su un astronave l'orologio è , sulla Terra è (per l'astronauta il tempo scorre "più lentamente", nel senso che ciò che

0

∆t ∆t

accade in un tempo sulla Terra, per l'astronauta è avvenuto in un tempo ).

0

∆t ∆t < ∆t

Le persone sulla Terra vedono le persone sull'astronave muoversi al rallentatore.

r 2

v

Conseguenze: Contrazione dello spazio: 0

• −

∆x = ∆x 1 2

c

intervallo

è l'intervallo di spazio proprio

proprio, cioè la distanza fra 2 punti misurata da un osservatore a riposo rispetto a essi.

0

∆x

Se la distanza fra due pianeti è , per l'astronave è (per l'astronauta lo spazio "si restringe", nel senso che la di-

0

∆x ∆x

stanza fra la Terra e il pianeta verso cui è diretto è ).

0

∆x < ∆x

Le persone sulla Terra vedono le persone sull'astronave restringersi e appiattirsi.

In un viaggio dalla Terra a un pianeta X, per gli astronauti passa un tempo e la distanza tra i due pianeti è .

0

• ∆t ∆x

Per le persone sulla Terra, quando gli astronauti hanno raggiunto il pianeta X è passato un tempo e la distanza percorsa è .

0

∆t ∆x

PER GLI ESERCIZI:

Se l'astronauta A viaggia a velocità e inverte la velocità dopo un tempo , mentre l'astronauta B inverte la velocità dopo

v T

1

ed entrambi tornano all'origine con velocità , al momento del ritorno B è più giovane di A

A.

−v

T > T

2 1 r

r 2 2

v v

0

0 − −

−

1 1

+ 2T 2T ∆t = 2T

∆t = 2T 2 1 2

1 B

A 2 2

c c

inteso come il tempo calcolato sulle astronavi in cui l'astronauta A,B parte e ritorna all'origine.

Con 0

∆t A,B

è il tempo in cui A aspetta che B ritorni all'origine.

−

2T 2T

2 1

Poiché , l'astronauta A sarà più giovane

0 0

∆t < ∆t

A B

(il caso è molto simile se le velocità di partenza e di arrivo sono diverse o se le velocità con cui viaggiano gli astronauti sono

diverse). −

SPAZIO TEMPO DI MINKOWSKI:

Quadrivettori: ~ 2 20 21 22 23

• ≡ |A| − − −

A (A , A ) = (A , A , A , A ) = A A A A

0 0 1 2 3

Dati 2 eventi e , l'intervallo spazio-temporale è

• E = (ct , x , y , z ) E = (ct , x , y , z )

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

|E | − − − − − − −

E = c (t t ) (x x ) (y y ) (z z )

2 1 2 1 2 1 2 1

1 2

In base al valore della norma, possiamo trovare diversi signicati sici:

Intervallo di tipo tempo

tempo: esiste un un sistema di riferimento in cui gli eventi sono in loco

loco. 0

2

|E | ⇒ ∆x

E > 0 (∆x = 0

0)

1 2 Intervallo di tipo spazio

spazio: esiste un un sistema di riferimento in cui gli eventi sono simultanei

simultanei. 0

2

|E | ⇒ ∆t

E < 0 (∆t = 0

0)

1 2 Intervallo di tipo luce

luce: Gli eventi possono essere collegati solo da un segnale che viaggia a velocità della luce

2

|E | ⇒

E = 0 c.

1 2

Velocità del sistema di riferimento : calcola e trova un sistema di riferimento che contenga ed sull'asse .

0 0

2

• |E |

v E S E E x

1 2 1 2

Se l'evento è di tipo spazio avrai 00 0 0

−

∆x = ∆x v∆t = 0

v

Se l'evento è di tipo tempo avrai 0

00 0 −

∆t = ∆t ∆x = 0

2

c

Da queste equazioni è immediato trovare .

v

Per trovare , usa traslazioni o rotazioni: e (con noto).

0 0 0

• −x

S x = x cos θ + y sin θ y = sin θ + y cos θ θ

PER GLI ESERCIZI:

Trova norma Scrivi il tipo di intervallo Trova (con traslazioni o rotazioni) Trova .

0

2

|E → → →