Appunti di meccanica relativistica

Meccanica relativistica

Principio di relatività

Le leggi della fisica hanno la stessa forma in ogni sistema di riferimento inerziale. Il tutto cominciò ad essere messo in dubbio con la teoria dell'elettromagnetismo. Infatti, dalle equazioni di Maxwell si evince che la luce si propaga secondo l'equazione delle onde:

\[\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \phi(x,y,z,t) = 0\]

che descrive un campo che si muove con velocità costante c = 299.798 km/s. Dati allora due sistemi K, K₁ inerziali con velocità V rispetto a K, le trasformazioni di Galileo dicono che:

\[ \begin{array}{ccc} x₁ = x - Vx \cdot t & v_{x₁} = v_x - V \\ y₁ = y - Vy \cdot t & v_{y₁} = v_y - V \\ z₁ = z - Vz \cdot t & v_{z₁} = v_z - V \end{array} \]

Questo dovrebbe valere anche per la luce, nel caso in cui questa si muova rispetto a un sistema inerziale. c = c = V.

Il principio di relatività viene violato perché la luce è un'invariante rispetto alle equazioni di Maxwell. Si pensa allora che debba esistere un mezzo ideale, detto ètere, in cui la luce è libera di muoversi. Questo risolveva momentaneamente il problema poiché la luce sarebbe stata un'invariante evidente rispetto a sistemi di riferimento solidali con l'etere.

Meccanica relativistica

Principio di relatività: Le leggi della fisica hanno la stessa forma in ogni sistema di riferimento inerziale. Il tutto cominciava ad essere messo in dubbio con la teoria dell'elettromagnetismo. Infatti, dalle equazioni di Maxwell si evince che la luce si propaga secondo l'equazione delle onde:

\[\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \phi(x,y,z,t) = 0\]

che descrive un campo che si muove con velocità costante c = 299792 km/s. Dati allora due sistemi K, K' inerziali, con K' in moto con velocità V rispetto a K, le trasformazioni di Galileo dicono che:

x' = x - V·t
y' = y - V·t
z' = z - V·t
V_x' = V_x - V
V_y' = V_y - V
V_z' = V_z - V

Questo dovrebbe valere anche per la luce nel caso in cui questa si muova rispetto a un sistema inerziale. => c' = c = c - V.

Il principio di relatività viene violato poiché la luce è un invariante rispetto alle equazioni di Maxwell. Si pensa allora che debba esistere un mezzo ideale detto etere in cui la luce è libera di muoversi. Questo risolveva momentaneamente il problema, poiché la luce sarebbe stata un invariante consistente rispetto a sistemi di riferimento solidali con l'etere.

Esperimento di Michelson e Morley

Per verificare l'esistenza dell'etere nel 1887 venne pensato un esperimento, detto di Michelson e Morley. L'esperimento consisteva in un interferometro:

↑S₂| | | S: sorgente luce monocromatica | S₁, S₂: specchi +--→S₁ A | O: osservatore A: lamina semiargentata

Quando i due raggi vengono a incidersi sulla lamina, per poi riflettere verso O, possono trovarsi in fase o in contafase e tramite il fenomeno di interferenza generano delle frange di interferenza. Tramite queste frange si poteva ricavare il possibile spostamento anche per Δt molto piccoli.

[AS₂] = l₂ Se adesso la terra si muove verso destra con velocità V rispetto all'etere [AS₁] = l₁

Nel riferimento solidale alla Terra la luce ha velocità: C-V nel tratto AS₁ e C+V nel tratto S₁A. Calcoliamo i tempi t₁ e t₂ impiegati dai due raggi per percorrere rispettivamente AS₁A e AS₂A nel riferimento della Terra (t₁) e dell'etere (t₂):

t₁ = t_AS1 + t_S1A = l₁/c-v + l₁/c+v = l₁(c+v) + l₁(c-v) / (c-v)(c+v) = 2_l1c/c²-v²

t₂ = 2[AS₂] = 2 l₂ = 2/c √l₁²/2 + (vt₂/2)²

t₂l = 2l₂/c √1 - v²/c²

Lo sfasamento Δt = t₂ - t₁ sarà:

Δt = ²/_c ( ^l₂/ _{√(1 - ^v2/c²)} - ^l₁/ _{√(1 - ^v2/c²)} )

v << c

Ma l₁ ed l₂ non erano conosciuti con precisione sufficiente per calcolare v (velocità della terra se l₁, l₂). Decisero quindi di ruotare l'interferometro di π/2. Quello che ci si aspetta è che gli sfasamenti siano diversi.

t₁' = ^2l₁/_c