Meccanica analitica e relativistica

N

trasformazione e X la variabile che porto fuori dall’integrale perché costante e nel caso integri rispetto a dp o dq è P o Q).

Derivo la funzione generatrice rispetto all’altra variabile che descrive la trasformazione, quindi:

d. se ho integrato p rispetto a dq (nei tipi I e II) derivo rispettivamente F rispetto a -dQ (nel I tipo) e trovo P, derivo F

- 1 2

rispetto a dP (nel II tipo) e trovo Q.

se ho integrato q rispetto a -dp (nei tipi III e IV) derivo rispettivamente F rispetto a -dQ (nel III tipo) e trovo P, derivo

- 3

F rispetto a dP (nel IV tipo) e trovo Q.

4

se ho integrato Q rispetto a dP (nei tipi II e IV) derivo rispettivamente F rispetto a dq (nel II tipo) e trovo p, derivo F

- 2 4

rispetto a -dp (nel IV tipo) e trovo q.

se ho integrato P rispetto a -dQ (nei tipi I e III) derivo rispettivamente F rispetto a dq (nel I tipo) e trovo p, derivo F

- 1 3

rispetto a -dp (nel III tipo) e trovo q.

Ora eguaglio la traccia ai risultati della derivata della generatrice rispetto alla variabile d’arrivo quindi eguaglio la derivata

e. d(F +f(X)) del punto c. alla traccia e faccio equivalere le uguaglianze in un sistema doppio di equazioni dicendo che se

N

d(F ) = traccia allora d(f(X)) = traccia - d(F ) e ricordando che affinché sia vera i valori α, β, γ devono essere uguali a

N N

quelli trovati nel punto 1).

Esercizio Equazioni di Hamilton-Jacobi

4. Scrivere e risolvere l’equazione di Hamilton-Jacobi

1)

per la funzione S(q, Q, t) = W (q, Q) − Q2 t che mappi la Hamiltoniana H(q, p, t) in K(Q, P, t) = 0.

Cerco una trasformazione canonica dipendente dal tempo che faccia passare dalle vecchie coordinate (p, q) a quelle nuove di arrivo (P,

Q) ed in cui la nuova Hamiltoniana H’ sia nulla. S è la funzione generatrice di questa trasformazione e ottengo che: ′ = + =

e ho inoltre le formule Canoniche

F.C. : = = =− =

Imponendo dunque la nuova Hamiltoniana H’ = 0, la S deve soddisfare l’equazione detta di Hamilton-Jacobi

′

= , . . . , , , . . . , , ) + = , , ) + =

( (,

La funzione generatrice è della forma

(, , ) = (, ) − =

Calcolo le derivate parziali di S rispetto a t e di S rispetto a q e imposto equazione di Hamilton-Jacobi prendendo l’

a. Hamiltoniana della traccia, sostituendo alla variabile p il valore trovato tramite la derivata parziale di S rispetto a q, quindi

vado a sostituire essenzialmente ∂W/∂q alla variabile p, e sommo la derivata parziale di S rispetto a t, ottenendo

l’equazione di H-J e da qui posso trovare direttamente Q oppure P essendo nell’equazione definite come derivate parziali di

S rispetto a t.

Isolo il termine ∂W/∂q su un lato e ottengo ∂W/∂q = f(q, ∂S/∂t) risolvo l’equazione per trovarlo, in caso sia ad esempio al

b. 2 2

quadrato a(∂W/∂q) + b(∂W/∂q) + c = 0 risolvo come se fosse un unico termine, tipo x, quindi risolvo l’equazione a(x) +

a

b(x) + c = 0 trovando appunto x (con -b +- radice di delta /2 ).

Io quindi da questo processo l’ equazione che ottengo è (∂W/∂q). Per trovare W integro il termine dopo la virgola in dq

c. (, ⁄

= )

∫

Sostituisco W trovata dai punti precedenti in S che è la funzione generatrice. Derivando opportunamente S tramite le

d. formule F.C. e tramite le varie sostituzioni posso trovare da S tutte le coordinate, (p, q) e (P, Q).

Tramite le nuove coordinate posso riscrivere l’Hamiltoniana come K(Q, P, t). Quindi semplicemente prendo i valori di Q e

e. P trovati derivando S oppure tramite sostituzioni varie, e li vado a sostituire nell’Hamiltoniana della traccia ai valori p e q.

f.

Scrivere le equazioni di Hamilton per (Q, P )

2) Scrivo le equazioni di Hamilton per il sistema con le nuove coordinate P, Q

a.

˙

= =

˙ = = −

Si consideri la seguente Hamiltoniana 2

(, ) = > 0.

4

1. Scrivere le equazioni di Hamilton; 2. Scrivere e risolvere l’equazione di Hamilton-Jacobi per la funzione (, , ) = (, ) −

che mappi la Hamiltoniana in 3. Determinare la trasformazione canonica da (q, p) a (Q, P) generata da S(q,

(, , ) (, , ) = 0;

Q, t) e la sua inversa da (Q, P) a (p, q); 4. Utilizzare la trasformazione canonica trovata per risolvere le eq. del moto per (q, p) con le

1 1

condizioni iniziali ; 5. Verificare che le soluzioni trovate al punto 4. soddisfano le equazioni di Hamilton calcolate

(0) = (0) =

2 3

al punto 1. 2

1. ̇ = = ; ̇ = − = 2

2 4

2. L’equazione di Hamilton-Jacobi la trovo così: ho , vado a fare le derivate di S rispetto a W e t da cui

(, , ) = (, ) –

e sostituisco la all’Hamiltoniana della traccia e sommo a questa

= − = = = = = −

2 2 2

2 2

1 1 1

′

Quindi ottengo da da qui posso trovare direttamente la

(, ) = → = ( ) + = ( ) − → = ( ) =

4 4 4 4 4

Ora posso trovare e andarle a inserire in S.

2 2 1 1 1 1 1

1 (4) ()

( ) = → ( ) = 4 → = ±(4) → = ±(4) → = ±∫ → = ±2 ∫

2 2 2 2 2

4

1 1 1 3 1 3

2 3 4 4

sostituisco ora questa W nella funzione generatrice

()

→ = ±2 ( ) ∫ → = ± (, , ) = ± –

2 2 2 2 2 2

3 2 3 3

4. Da qui derivando con le formule F.C. trovo P in funzione di q e p, avendo già Q in funzione di q e p, e da qui trovo anche q e p.

2

2 2

4 3 1 2 1 2 1

3 ( (

= ; =− + ; = − ) ; = −(12) − )

( ) 3 3 3 3 3

4 3 2

2 1

1 1 1 1

La soluzione con e’ (1 (1

(0) = (0) = () = + ) () = + )

5. 3 3

2 3 2 3

Esercizio Relatività

6.

ASTRONAVE 1: parte dalla terra al tempo con velocità sull’asse positivo delle Al tempo misurato nel Sistema di

= .

riferimento dell’astronave 1 che, nel Sistema di riferimento della terra e’ , l’astronave inverte la rotta e con la stessa velocità

=

torna verso la terra.

ASTRONAVE 2: parte dalla terra al tempo con velocità sull’asse positivo delle (misurato nel Sistema di riferimento della

=

Terra), dove < .

SPAZIO IN CUI AVVIENE L’ INCONTRO: Al tempo misurato nel Sistema di riferimento della Terra (evento in cui

= =

l’astronave 1 inverte la rotta), in questo tempo, ovvero da a , L’astronave 1 ha percorso uno spazio

= = =

. L’astronave 2, dal Punto di vista della terra, da a ha percorso uno spazio

= = = = = = =

Lo spazio in cu avviene l’incontro e’ Il Punto nello spazio in cui avviene l’incontro e’ = allo

( )

. − = ( − ).

∗

spazio totale percorso dall’astronave 2, quindi e’ uguale al tempo d’incontro per la velocità dall’astronave 2.

TEMPO IN CUI AVVIENE L’ INCONTRO: Per trovare il tempo in cui avviene l’incontro nel Sistema di riferimento della Terra,

divido lo spazio per la velocità’ relativa , dove si fa la somma fra Le velocità se Le astronavi vanno in versi opposti e

( )

− +

la differenza fra Le velocità se Le astronavi vanno nello stesso verso. Quindi in questo Caso essendo che partono entrambe dalla terra

con la stessa direzione, ma poi l’astronave 1 inverte la rotta e torna indietro, cambiando il verso che diventa opposto rispetto

( )

−

all’astronave 2. Quindi per il tempo T* d’incontro Vado a considerare il tempo per percorrere quella differenza di spazio

( + )

( )

−

∗

+ il tempo necessario all’astronave 1 per percorrere lo spazio iniziale , quindi

( )

− = = + =

( + )

( − )

.

+

( + )

COMPOSIZIONE DELLA VELOCITA’ : >

ASTRONAVE 1 ha velocità e ASTRONAVE 2 ha velocità

- Quando due astronavi si muovono nello stessa verso, la velocità relativa e’ la differenza tra la velocità con modulo maggiore e quella

con il modulo minore. = −

- Quando due astronavi si muovono in verso opposto, la velocità relativa e’ la somma tra la velocità con modulo maggiore e quella con

il modulo minore. = +

EVENTI: L’evento e’ un quadrivettore con 1 coordinata temporale e 3 coordinate spaziali. Considero due EVENTI

( )

= , , , = (, , , ) = ( , , , ) = (, , , )

−

( )

= − ; → ; → , , → ; = , ,

′

(,

= , ) → il moto avviene lungo l asse x, n = 1