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Limiti notevoli

lim_n→+∞ⁿ√n = 1 lim_n→+∞ⁿ√log n = 1 lim_n→+∞ⁿ√n! = +∞ lim_n→+∞ⁿ√(n!)/n = 1/e lim_n→+∞(log(n+1)/log n) = 1 lim_n→+∞ⁿ√(1/n) = 1 lim_n→+∞(n^a/n!) = 0 lim_n→+∞(nⁿ/n!) = +∞ lim_n→+∞(n^a/aⁿ) = 0

^lim_n→+∞ ^n√n = 1 ^lim_n→+∞ ^n√log n = 1 ^lim_n→+∞ ^n√n! = +∞ ^lim_n→+∞ ^n√(n!)/n = 1/e ^lim_n→+∞ log(n+1)/log n = 1 ^lim_n→+∞ ^n√(1/n) = 1 ^lim_n→+∞ aⁿ/n! = 0 ^lim_n→+∞ nⁿ/n! = +∞ ^lim_n→+∞ n^a/aⁿ = 0

Limiti notevoli di funzioni

1. ^lim_x→∞ [1 + ¹_x]^x = ^lim_x→∞ [1 + ¹_x]^x = e;
2. ^lim_x→0(1 + x)^1_x = e;
3. ^lim_x→0 ^{log_e(1 + x)}_x = log_ee; in particolare, per a = e si ha: ^lim_x→0 ^{log(1 + x)}_x = 1;
4. ^lim_x→0 ^{ax - 1}_x = log a; in particolare, per a = e si ha: ^lim_x→0 ^{ex - 1}_x = 1;
5. ^lim_x→0 ^{(x + 1)k - 1}_x = k; ovviamente si ha: ^lim_x→0 ^{(x + 1)k - 1}_kx = 1;
6. ^lim_x→0 ^{sen x}_x = 1; si ha anche: ^lim_x→0 ^{sen αx}_{sen βx} = ^α_β;
7. ^lim_x→0 ^{tg x}_x = 1;
8. ^lim_x→0 ^{1 - cos x}_x = 0;
9. ^lim_x→0 ^{1 - cos x}_x² = ¹₂;
10. ^lim_x→0 ^{arcsen x}_x = 1;
11. ^lim_x→0 ^{arctg x}_x = 1;

Altri limiti particolari

1. ^lim_x→∞ arctg x = ^π₂;
2. ^lim_x→-∞ arctg x = - ^π₂;
3. ^lim_x→0 ^{log x}_x^c = 0, ^lim_x→0 x^c log x = 0, ^lim_x→+∞ (x - c log x) = +∞, essendo c una costante positiva;
4. ^lim_x→+∞ ^cx_x^c = +∞, ^lim_x→+∞ x^c e^-x = 0, essendo c una costante qualsiasi.
5. ^lim_x→0 ^c_x = 1;

Forme indeterminate

+∞ - ∞   0 . ∞   ⁰₀   ∞⁰   0⁰   ∞ - ∞   1^∞

Serie numeriche

Si chiama serie numerica la somma degli infiniti termini di una successione, cioè Σ_n=1^∞a_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n + ...

[S₁ = a₁ S₂ = a₁ + a₂] la successione S₁, S₂, ..., S_n, ... si chiama successione delle somme parziali [S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n]

Se lim_n→∞S_n = S si dice che la serie è convergente ed ha per somma S.

Se lim_n→∞S_n = ∞ si dice che la serie è divergente positivamente ( +∞) o negativamente ( -∞).

Se lim_n→∞S_n non esiste si dice che la serie è indeterminata o oscillante.

Condizione necessaria per la convergenza

Condizione necessaria per la convergenza di una serie è che il suo termine generale è infinitesimo per n→∞. Di questo teorema non vale il viceversa cioè la condizione non è sufficiente, basta pensare alla serie armonica. (Se il termine generale non è infinitesimo la serie non converge).

Serie geometrica (di ragione q)

Σ_n=0^∞qⁿ = 1 + q + q² + q³ + ... + qⁿ + ...

Corollario del criterio della radice

Data la serie a termini non negativi, se allora converge diverge

Corollario del criterio di Raabe

Data la serie a termini positivi, se allora converge diverge

Criterio asintotico o degli infinitesimi

Data la serie a termini non negativi:

• Se oppure allora la serie diverge.
• Se ma finito e allora la serie converge.

Criterio di condensazione di Cauchy

La serie a termini non negativi e con successione non crescente ha lo stesso carattere della serie

Criterio di Leibniz (per le serie a segni alternati)

Sia una serie a segni alternati. Se la successione dei valori assoluti dei suoi termini è decrescente e infinitesima allora la serie data converge e risulta

Serie armonica a segni alterni

Converge ed ha per somma

Serie assolutamente convergenti

Una serie a termini qualunque si dice assolutamente convergente se la serie dei suoi valori assoluti è convergente.

Teorema: Se una serie è assolutamente convergente allora è convergente. Di questo teorema non vale il viceversa, infatti un controesempio è dato dalla serie armonica a segni alterni.

Serie esponenziale

Converge (è assolutamente convergente) ed ha per somma