Appunti Fondamenti di Automatica: Schema, Domande scritto

Appunti Fondamenti di Automatica

Classificazione dei modelli:

• Lineare: Stazionario

Ẋ(t) = A X(t) + B u(t) Y(t) = C X(t) + D u(t)

• Non lineare: Stazionario

Ẋ(t) = ϕ(X(t), u(t)) Y(t) = g(X(t), u(t))

• Non Stazionario

Ẋ(t) = A(t) X(t) + B(t) u(t) Y(t) = C(t) X(t) + D(t) u(t)

• Non lineare: Non Stazionario

Ẋ(t) = ϕ(X(t), u(t), t) Y(t) = g(X(t), u(t), t)

Classe dei modelli più apprezzata

Un sistema lineare stazionario è rappresentato:

- nel caso MIMO (ingressi e uscite) da 4 matrici (A, B, C, D) - nel caso SISO (1 ingresso e 1 uscita) da (a, b, c, d)

A: matrice del sistema B: matrice di distribuzione degli ingressi C: matrice di distribuzione alle uscite D: matrice del legame logico ingresso/uscita

Circuito elettrico:

Resistenza

e = e₁ - e₂

Condensatori:

i = C de/dt

e = e₁ - e₂

e = q/C

q-side e - e₁ + e₁q

e₂ = e₁/2C

Induttori:

e = L di/dt

e = L di/dt

i = i₁ + i₂

Per un sistema lineare il moto e la relativa risposta si possono comportare in 2 condizioni:

• 1 di punto: SOLO dalle condizioni iniziali (moto libero, risposta libera)
• I dipendenti solo dal ingresso (moto forzato e risposta forzata)

La soluzione dell’equazione differenziale vettoriale è del tipo:

X(t) = e^At x₀

e^At = ∑_i=0 Aⁱtⁱ/i!

I + At + A²t²/2! + ... + A^rt^r/r!

e chiamato ESPONENZIALE DELLA MATRICE A

Il polinomio caratteristico di una matrice reale A(mxm) è dato da:

α(λ) = det (XI - A) = λ^m + a_m-1λ^m-1 + ... + a₁λ + a₀

L'equazione caratteristica di A è dato dal polinomio caratteristico semplicemente

Nella catena in retroazione la funzione di trasferimento ad anello chiuso (closed loop) è:

la FDT del quale si ottiene moltiplicando quella dei vari blocchi presenti nel nodo di retroazione diviso quest'ultimo in un punto qualunque (importante nella stabilità)

Circuiti elettrici con Vi

• G(s) = V_u(s) / V_i(s) = 1 / sRC + 1
• G(s) = V_u(s) / V_i(s) = sRC / sRC + 1
• G(s) = V_u(s) / V_i(s) = sR₂C + 1 / s(R₁ + R₂)C + 1
• G(s) = V_u(s) / V_i(s) = R₂(sR₂C + 1) / sR₁R₂C + R₂ + R₂
• G(s) = V_u(s) / V_i(s) = 1/sC₂ + R₂ / sC₁ + (1/R₁) + 1/sC₂ + R₂

- Teorema (centro di Nyquist con p = 0): Se ω ∈ L(s) un FOT di ordine n ovvero pol a polito nel positivo per un W mandante pol e numeratore immagine non complessi det i unidel sist intero. Allora il comportamento analitico diventa in attrazione e stabile se nel diagramma di Nyquist di L(s) non circondata ne tocca il punto critico (-1,0).

- Teorema (criterio di Nyquist): Se ω ∈ L(s) un FOT di oraie ovvero pol a terconte nel positivo e non N il numero di rotazioni del diagramma di Nyquist di L(s) attorno al punto critico (-1,0) contaggio con segno positivo ne compaia in ann oso sinore con segno negativo ne compiante in senne oggiame.

- Voleril cipi dei margini di ampiezza e fane che in discutone ottener del

• Mancia ai ampiezza: 4÷6 (12÷16 dB)
• Mancia al fame: 45°÷60°

- Sta deleignire luogo oucì radici il percorso delunito dal piano sendome alla radici dell'equazione caratteristica 1 + K L(s) = 0 al variet del conotto k di -α ➝ +∞. Per volari di k potiv e il piceno penne il meta il luogo diretto, par volari di k rogiotiv e il luogo inverso.

- Regole Fondamentali:

1. In itenti non quamta non i pol e dello FOT di onedo.
2. Ogi rom ponte (K > 0) belin posizione di un polo dello FOT di onedo e remagne (K = D ➝ ∞) uno zero dello FOT di onedo almeno remane all'infinetto e sero non ha zen.
3. È anme È e metetto all anse reote.
4. Un ponta ochi sule opportunita di lnogo diretto (K > 0): Limvan(K = 0)

• Uguaglianze radici:

  ₀ (zi+1)/(m_F-m_Z) = fi = zi/(m_P-m_Z)

  Lungo corto (R_Z > 0) Lungo bruno (R_L < 0)

• Per la teoria avere:

  Limiti/LTR: Polinomio

  • Analiticità stabile se solo se tutti gli autovalori di A hanno parte reale regolata modulo e quelli della parte reale nulla hanno molteplicità limitata nel polinomio minimo di A.

  • Antisintotica stabile se tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa o vuota.

  • Semiautolitassi stabile se, in analogia, gli autovalori di A hanno modulo 1, quelli a modulo unitario solo nel polinomio minimo di A.

  • Antipersistenza stabilità se, in assoluto, gli autovalori di A hanno modulo < 1

  • Sistema completamente regolato e controllato se rango (A) = n.

  • Completamente monolitico implica completo, riscontrabilitá.

  • Sistema completamente monolitico e controllabile se rango (A*) = n.

  • Forma minima: completamente osservabile <=> non ha sottinsi equivalenti

  • O in un sistema lo sottostante stato formano gli autovalori o tutti annullano l'ortointera funzione della matrice. Lo stato completamente regolato e controllato.

  • Espressione circuiti-logica-non continua-retra gli autovalori della parte ossia RE ed E\underline{} Esacio (controllo) non annullano l'ortointera.

  • I senso di stime implica gamma-transfer-> gammaestado-stato non conoscerà o anticipazione anallista.

  • Antivalore a k anni alternanti-temporizzato la funzione k -> W in altra non conservazione e monolitico non allosc e forma minima (antivalore a parte reale negativo).

16) Un attrattore stabile giace in un sistema dinamico lineare e stazionario

X modifica e trasforma tutte gli attractors del sistema

17) Le polos minori di un sistema lineare e stazionario, a un dato istante hanno dove Y(s) = U + 3x + 2y .

X no allarme in modo condisistente stabile X no allarme in modo riellicante stabile X no allarme in modo immobile

18) Il sistema avente le seguenti flotti: G(s) = ^{s − 1}/_{5s + 4}

X e riellicante stabile d^2y/dx^2 × Vout

19) Il circuito elettrico: V(t) = Q − R=V=V da un analogo modo fli {=0, rlgapc=0}

X e condisistente stabile

20) Il sistema di YPO e globale condisistente stabile: scrivi lo stesso scritto di

Posizione YPO ne venga porsto in reloggio in segno in ugualigna X Posente lo stesso renso e venga x lo stesso segmo o segmo

21) In un stato andsecciale all orte di U Ots o aoo: X oggetto pure bosde e piac (ba X allo favori nelle pasting

22) Il sistema avente le seguenti flotti: G(s) = 12