Appunti Fondamenti di Automatica: Schema, Domande scritto

Appunti fondamenti di automatica

Classificazione dei modelli

Lineare

Stazionario

Ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
Y(t) = Cx(t) + Du(t)

Non stazionario

Ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
Y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)

Non lineare

Stazionario

Ẋ(t) = ϕ(x(t), u(t))
Y(t) = g(x(t), u(t))

Non stazionario

Ẋ(t) = ϕ(x(t), u(t), t)
Y(t) = g(x(t), u(t), t)

Classe dei modelli più utilizzata

Un sistema lineare non stazionario è rappresentato:

• Nel caso MIMO (n ingresso e n uscite) da 4 matrici (A, B, C, D)
• Nel caso SISO (1 ingresso e 1 uscita) da (a, b, c, d)

B : matrice di ingresso
f : segnale di forza esterna
X : stato
D : 0 nei nostri parametri amati

1. A: matrice del sistema
2. B: matrice di distribuzione degli ingressi
3. C: matrice di distribuzione delle uscite
4. D: matrice del legame logico ingresso uscita

Circuito elettrico

Resistenza:
e₁ e₂ 0
ii = e₁ - e₂
p = e * i = i²R

Appunti fondamenti di automatica
Classificazione dei modelli:

Lineare:

Stazionario

Ẋ(t) = A x(t) + B u(t)
Y(t) = C x(t) + D u(t)

Non stazionario

Ẋ(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)
Y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t)

Non lineare:

Stazionario

ẋ(t) = g(x(t), u(t))
ẏ(t) = g(x(t), u(t))

Non stazionario

ẋ(t) = g(x(t), u(t), t)
ẏ(t) = g(x(t), u(t), t)

Classi di modelli più rappresentati

Un sistema lineare stazionario è rappresentabile:

• Nel caso MIMO (Ingresso e Uscita) da 4 matrici (A, B, C, D)
• Nel caso SISO (Ingresso e Uscita) da (a, b, c, d)

M: Ingresso;
Y: uscita;
f: forza esterna;
X: stato;

1. A: matrice del sistema
2. B: matrice di distribuzione degli ingressi
3. C: matrice di distribuzione delle uscite
4. D: matrice del legame degli ingressi mutati

Circuito elettrico

Resistenza: e(t) = e₁ - e₂
Condensatore: i = c e_i
e = e₁ e₂
e = e₁'
e = e₁ - e₂
Induttore: e = e₂ - e₁
i = di / dt

Per un sistema lineare il moto e la relativa risposta si possono scomporre in 2 contributi:

• Il primo è: SOLO delle condizioni iniziali (moto libero, risposta libera)
• Il dipendente solo dall'ingresso (moto forzato e risposta forzata)

La soluzione dell'equazione differenziale vettoriale è del tipo

x(t) = e^At x₀

ove e^At = ∑_i=0 Aⁱ tⁱ / i! = I + At + A²t² / 2! + ... + A^r t^r / r!

ed è detto ESPRESSIONE DELLA MATRICE A

Il polinomio caratteristico di una matrice reale A (m×m) è dato da:

a(λ) = det (λI - A) = λⁿ + a_m-1 λ^m-1 + ... + a₁ λ + a₀

L'equazione caratteristica di A è data dal polinomio caratteristico eguagliato a 0:

Le radici dell'equazione caratteristica sono gli autovalori di A: (che possono essere numeri complessi)

α(λ) = (λ-λ₁)^m₁ (λ-λ₂)^m₂ ... (λ-λ_n)^m_n = 0

Nel caso discreto la matrice di transizione che caratterizza il moto libero è la potenza di matrice A^K. A differenza dell'esponenziale di matrice, la potenza di matrice può essere singolare.

Rappresentazioni equivalenti hanno le stesse caratteristiche di moto e risposta, vale anche per altre proprietà (strutturali) indipendentemente dalla scelta delle variabili di stato; la scelta delle variabili di stato influisce sulla forma della matrici: A, B, C, D con opportune trasformazioni si possono operare mediante le relazioni ottenute passando in matrici:

Si definisce matrice di raggiungibilità di un sistema LTI, la matrice di dimensione (m x (mM))

P = [B AB A² B ... A^m-1 B]

Il sistema è completamente raggiungibile o completamente controllabile se e solo se:

Rango (P) = n

In generale si dice, in quali si riesce a conteggiare pervenire in un dominio inedito (attenzione modi) in parallelo a quelle aggiunto di