Appunti fisica terrestre

2021/2022 Fisica terrestre

Daniel Cucugliato | Survey geofisici

Sommario

• Survey geofisici .............................................................................................................................. 3
• Analisi spettrale ......................................................................................................................... 4
• Convoluzione, deconvoluzione e correlazione ...................................................................... 10
• Convoluzione ...................................................................................................................... 10
• Sismica a riflessione ............................................................................................................ 12
• Cross-correlazione .............................................................................................................. 13
• Filtraggio digitale ................................................................................................................. 16
• Sismologia .................................................................................................................................... 19
• Stress e strain .......................................................................................................................... 19
• Coefficiente di Poisson ....................................................................................................... 20
• Modulo di taglio .................................................................................................................. 21
• Onde sismiche ........................................................................................................................ 22
• Onde di volume .................................................................................................................. 22
• Onde di superficie .............................................................................................................. 24
• Propagazione delle onde sismiche ......................................................................................... 26
• Interfaccia 25/10/2021 ........................................................................................................ 27
• Diffrazione .......................................................................................................................... 36
• Zona di Fresnel ................................................................................................................... 36
• Survey ...................................................................................................................................... 39
• Sorgenti sismiche su terra e sorgenti in mare .................................................................... 40
• Registrazione di segnali sismici 10/11/2021 ....................................................................... 44
• Terremoti .................................................................................................................................... 46
• Geometria delle faglie ............................................................................................................. 48
• Meccanismi focali ................................................................................................................... 49
• Dove è avvenuto il terremoto? ............................................................................................... 53
• Quanto è grande un terremoto? ............................................................................................. 59
• Struttura interna della Terra ....................................................................................................... 64
• Crosta ...................................................................................................................................... 66
• Mantello .................................................................................................................................. 67
• Nucleo ..................................................................................................................................... 68
• Sismica a rifrazione ..................................................................................................................... 69
• Survey sismica a rifrazione .......................................................................................................... 83
• Sismica a riflessione .................................................................................................................... 86
• Daniel Cucugliato | Survey geofisici 2
• Campo gravitazionale e metodi gravimetrici .............................................................................. 94
• Correzioni di gravità .............................................................................................................. 105
• Campo magnetico terrestre e metodi magnetici ...................................................................... 113
• Daniel Cucugliato | Survey geofisici 3

Survey geofisici

La geofisica è l'applicazione della fisica all’investigazione della Terra (della Luna e dei pianeti in generale). Esistono diverse branche:

• Globale: anche qui esplorazione dell’intero pianeta.
• Ingegneria: porzione di crosta che ha implicazioni ingegneristiche.
• Ambientale: inquinanti p.es. nel sottosuolo.
• Archeo: individuare delle cripte in sottosuolo (metodo gravimetrico ottimo per individuare vuoti in sottosuolo).
• Forense: individuare cadaveri in sottosuolo.

I survey geofisici, ma in generale in geofisica, si studia come variano particolari parametri/quantità fisiche (intensità) rispetto al tempo o allo spazio. I dati ottenuti dalle indagini vanno poi analizzati in modo quantitativo, cioè da essi si estraggono delle proprietà importanti: ad esempio da un geofono otteniamo dei dati di velocità e di tempo, con questi dati si andrà a determinare come prima cosa il periodo di oscillazione (T), cioè l’intervallo di tempo impiegato per compiere un’oscillazione completa. Un altro parametro che si può ricavare è la frequenza, si fissa un certo intervallo di tempo, ad esempio 1 secondo, ed osservare quante oscillazioni complete ci sono in quell’intervallo di tempo, nel caso in figura ci sono 3 oscillazioni complete in 1 secondo, pertanto la frequenza è di 3Hz. Per definizione la frequenza è il numero di cicli d’onda nell’unità di tempo, o altrimenti definita come l’inverso del periodo.

Nell’esempio precedente la variabile era il tempo, mentre lo spazio era stato già fissato. La variabile può cambiare, si può dunque considerare un tempo fisso e una distanza variabile. Ovviamente sull’asse delle x adesso ci sarà lo spazio, piuttosto che il tempo, mentre sull’asse delle y ci sarà sempre l’ampiezza. Non si potrà parlare più né di periodo né di frequenza in tal caso, in quanto la variabile non è più il tempo. Tuttavia, si potranno definire altri parametri, come la lunghezza d’onda (λ), ovvero l’intervallo spaziale di una oscillazione completa. Considerando la relazione che c’è tra il periodo e la frequenza quando la variabile è il tempo, si può andare a definire una sorta di frequenza spaziale (k); al numeratore non si mette 1, bensì si mette 2π che è una costante. K si chiama numero d’onda.

La velocità è importante, essa è data dallo spazio diviso il tempo, quindi in questo caso come grandezza spaziale si mette λ, mentre come grandezza temporale c’è il periodo T, essendo la frequenza l’inverso del periodo, si può scrivere la velocità come il prodotto tra la frequenza, cioè λ.

Analisi spettrale

È un’analisi molto importante, permette di osservare sotto un altro punto di vista i dati trattati in geofisica. Considerando di avere, come dato di un sismografo, un segnale nel dominio del tempo, per poter avere delle ulteriori informazioni occorre trasportare il segnale nel dominio della frequenza, cioè andare a ricavare un grafico in cui sulle x c’è la frequenza mentre sulle y l’ampiezza spettrale. Significa che si vanno a caratterizzare quelle che sono le ampiezze di tutte le varie componenti in frequenza che costituiscono il segnale, in pratica il segnale nel dominio del tempo è costituito dalla sovrapposizione di diverse sinusoidi, passando al dominio della frequenza si vanno a caratterizzare una per una queste sinusoidi. Si caratterizzano in termini di ampiezza spettrale e ciò che si ottiene è uno spettro di ampiezza e uno spettro di fase. Nel caso in figura si può dire che ha peso importante una sinusoide con frequenza di circa 25 Hz, o meglio si dice che il segnale è dominato da una sinusoide a 25 Hz. Tuttavia, con questo passaggio di dominio si perde l’informazione del tempo, cioè non si sa quando è iniziata né quando è finita la sinusoide. Osservando il segnale in entrambi i domini si riesce a massimizzare l’informazione.

Fase: all’origine in pratica le sinusoidi hanno un’ampiezza diversa, cioè partono da punti diversi sull’asse delle y. Se si prendono in considerazione le due sinusoidi sotto si osserva che hanno stessa ampiezza, stessa frequenza ma diversa fase (risultano shiftate a sinistra). Per caratterizzare bene una sinusoide bisogna fornire ampiezza, frequenza e fase.

Per passare dal dominio del tempo al dominio della frequenza e viceversa il metodo più comune utilizzato è la trasformata di Fourier. Questa analisi consiste nello scomporre l’onda periodica in onde seno, ciascuna caratterizzata da ampiezza, frequenza e fase. Se si volesse ritornare al dominio del tempo occorrerebbe fare lo stacking di tutte le sinusoidi, cioè si sommano punto per punto le varie sinusoidi accatastate.

Il passaggio da onda periodica a sinusoide si fa con l’equazione di Fourier.

I segnali nel dominio della frequenza si indicano con le lettere maiuscole, difatti si indica con G(ω). I segnali nel dominio del tempo si indicano con la lettera minuscola. e^ l’esponenziale rappresenta le sinusoidi. j unità fondamentale dei numeri complessi. G(ω) contiene due grafici: spettro di ampiezza e spettro di fase. Volendo tirare fuori queste informazioni da G(ω), in modo da ottenere due grafici separati, si fa la seguente operazione: sia lo spettro di ampiezza che lo spettro di fase sono funzione della frequenza. (fi(f) è la fase rispetto alla frequenza. I dati che vengono acquisiti sono digitali, cioè dati costituiti da un insieme di punti (digitali), ha un numero discreto di punti. Avendo a che fare con dati digitali è necessario avere degli algoritmi che ci consentano di estrarre il contenuto spettrale di tali segnali, per poi applicare la trasformata di Fourier.

Uno degli algoritmi più usati per eseguire l’analisi spettrale è la fast fourier transform, è molto veloce ed estremamente performante. Questo algoritmo risale agli anni '60. Uno degli step di questo algoritmo consiste nel fatto che si prende questo segnale costituito da n misure discrete (non infinite) e si va a suddividere il segnale a metà, quindi, andando ad ottenere due segnali caratterizzati da un numero di segnali pari a n/2, e poi nuovamente queste porzioni di segnale vengono divise per due, poi si divide ancora una volta e così via, fin quando si otterranno n segnali ciascuno costituito da 1 punto. Per eseguire questo step è fondamentale che il numero di punti di partenza sia pari a una potenza intera del 2. Ed è questo il motivo per cui viene richiesto un numero di segnali che siano pari a una potenza intera di 2. Facendo questo si possono andare a confrontare i punti delle sinusoidi, confrontando in particolare parametri di ampiezza e di fase.

Funzione Dirac (spike) è sempre uguale a zero tranne in un punto. Il grafico del dominio di frequenza sarà una retta orizzontale diversa da zero. Avrà componenti sinusoidali infinite (da zero a più infinito) con la stessa ampiezza. Questo accade perché se si vanno a sommare un infinito numero di sinusoidi caratterizzate dalla stessa ampiezza, ma diversa frequenza, ciò che si ottiene è sempre un’interferenza distruttiva, eccetto nel punto iniziale, questo perché le sinusoidi sono tutte in fase.

Un altro tipo di segnale viene rappresentata da una linea orizzontale continua diversa da zero, nel dominio del tempo. Trasportando questo segnale nel dominio della frequenza con la trasformata di Fourier, si ottiene uno spettro di ampiezza (un grafico) in cui un solo punto ha una ampiezza spettrale diversa da zero, in particolare il solo punto avente ampiezza diversa da zero si ha laddove la frequenza è uguale a zero f(0). Un segnale che ha frequenza zero è un segnale che ha un periodo infinito (ricordando che la frequenza è l’inverso del periodo). Quindi l’estensione della linea verticale dipenderà poi dall’ampiezza della linea orizzontale.

Osservando i due diversi segnali si può apprezzare il principio di intercambiabilità delle coppie di Fourier, cioè pur partendo da punti di vista opposti si arriva allo stesso risultato: se partiamo da una linea verticale nel dominio nel tempo otteniamo una linea orizzontale nel dominio della frequenza, se invece partiamo da una linea orizzontale dal dominio del tempo otteniamo una linea verticale nel dominio della frequenza, dunque si ottiene lo stesso risultato proprio perché le coppie di Fourier sono intercambiabili.

Funzione sinc (seno cardinale): è una funzione che ha un andamento sinusoidale, tuttavia, la sua ampiezza tende a decadere nel tempo, cioè a diminuire. Questo perché la funzione sinc è uguale al sen(t)/t, quindi, all’aumentare del tempo si riduce l’ampiezza. Portando una funzione sinc nel dominio della frequenza questa si trasforma in una funzione a scatola, questo significa che hanno dei valori di ampiezza spettrale costanti in una particolare banda di frequenza e poi fanno 0.

Anche su segnali acquisiti nel dominio dello spazio si può determinare lo spettro di ampiezza, nel dominio della frequenza sull’asse delle x ci sarà il numero d’onda (frequenza spaziale), cioè ½λ′(). Si può ottenere uno spettro di ampiezza spettrale anche in 2D ciò che cambierà è che ci saranno due variabili spaziali (longitudine e latitudine). Ad esempio, volendo mappare l’accelerazione di gravità rispetto la latitudine e la longitudine, si avranno qui due diversi numeri d’onda, uno per la latitudine e uno per la longitudine.

Convoluzione, deconvoluzione e correlazione

Convoluzione

La convoluzione è un’operazione che consente di modellizzare tanti processi fisici, in quanto consente di realizzare diversi filtri (essenziali in geofisica), cioè è alla base dei filtri digitali, e diversi processi geofisici possono essere modellizzati come se fossero dei filtri. È simile alla moltiplicazione, ma in realtà è molto più complessa. Avremo f(-tao), che significa una funzione specchiata. Allora a destra si osserva che c’è la lettera tao che ci indica che ci troviamo nel dominio nel tempo, quindi, a destra il tempo lo indichiamo con tao. La t che c’è nella f sta ad indicare una specie di ritardo.

Eseguire la convoluzione significa specchiare la prima funzione f (la ribaltiamo), si esegue il prodotto tra queste due funzioni (l’altra è la g), e infine si fa l’integrale del prodotto di queste due funzioni. Esempio grafico box: si fanno scorrere le due funzioni l’una rispetto all’altra, si avvicinano, e nella zona di sovrapposizione tra le due funzioni si va ad applicare la moltiplicazione, dunque si fa il prodotto punto-punto tra la sovrapposizione delle due funzioni e dopo la somma tra questi prodotti, fatto ciò si continuano a far scorrere le due funzioni l’una rispetto all’altra, si procede con la moltiplicazione punto-punto, si somma, e ciò che si ottiene è una funzione triangolare, che ha un massimo qui, in quanto le due scatole si sovrappongono perfettamente in quel punto e dunque si avrà il massimo della somma dei prodotti tra i due campioni.

Esempio DEM Etna: il segnale preso alla sorgente e il segnale preso da un sismometro più lontano sono diversi, questo è legato al fatto che la propagazione delle onde sismiche a seconda delle litologie è diversa, dunque, a seconda del percorso che intraprende l’onda il segnale cambia. Si dice che il segnale ha subito un filtraggio, cioè ha attraversato un mezzo che l'ha modificato.

Il segnale dalla sorgente s(t) al sismometro u(t) è passato attraverso un filtro che l’ha modificato. Gli effetti della propagazione si possono identificare con un ulteriore segnale nel dominio del tempo definito g(t). Il segnale ricevuto dal sismografo, quindi il segnale filtrato, sarà uguale a s(t)*g(t).

Esempio sistema massa-molla: spostiamo la molla dalla posizione di equilibrio, essa comincia ad oscillare, con movimento smorzato fino a fermarsi successivamente. L’input che diamo alla molla è lo spostamento dalla posizione di equilibrio, il sistema massa-molla risponde con...