Appunti di Fisica Terrestre

Appunti di Fisica Terrestre scritti in L

TEX

A

Luca Reato

13 settembre 2017

ii Indice

1 Introduzione 1

1.1 Prima di iniziare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 La Fisica Terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Rotazione Rigida 3

2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Relazione fondamentale del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Latitudine ( ) e longitudine ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

φ λ , , ,

2.3.1 Dimostrazione della correlazione diretta tra e . . . . . . . . . . . . . 5

(v ) (v )

v v v

E N x y z

2.4 Il calcolo dell’Azimut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Il moto relativo e il moto assoluto delle placche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Paleomagnetismo 7

3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Le equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Campo magnetico dipolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.4 Calcolo delle componenti di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

B

3.5 Magnetizzazione delle rocce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.6 Posizione di un paleopolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Sforzo e Deformazione 13

4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2 Tensore degli sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2.1 Compensazione delle forze in due dimensioni tramite grafico . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2.2 Compensazione delle forze in due dimensioni tramite matrice di rotazione . . . . . . . . . 14

4.3 Reologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.4 Curvatura di una lamina ed equazione della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.4.1 L’equazione della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 1

=

d w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.4.2 Dimostrazione: −

2 R

dx

4.4.3 Coefficiente di rigidità flessurale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.4.4 Equazione della flessura cilindrica sottile elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.4.5 Lamina infissa ai lati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.4.6 Calcolo dello sforzo piano , del momento angolare M(x) e dela shear force V(x) . . 20

)

σ(x, y

4.4.7 Lamina appoggiata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.4.8 Lamina infissa in un solo lato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.5 Studio di deformazioni geologiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.5.1 Deformazione di strati sovrapposti ad un’intrusione ignea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.5.2 Galleggiamento di un orogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.6 Carico variabile: non è costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

q 0

4.7 Carico orizzontale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

P , iii

iv INDICE

4.7.1 Flessura di un trench oceanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.7.2 Stato di stress delle rocce adiacenti ad una faglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.7.3 Legge di Amonton per un piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.7.4 Angolo con minimo sforzo deviatorico (problema di Anderson) . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.8 Modello di un terremoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.8.1 Soluzione dell’equazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.8.2 Determinazione della pulsazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

ω

4.8.3 Posizione di un punto in movimento con il blocco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.8.4 Determinazione delle costanti arbitrarie e e durata di un terremoto . . . . . . . . . . 30

A φ

4.8.5 Determinazione dello spostamento avvenuto durante un terremoto . . . . . . . . . . . . . 30

5 Sismologia 33

5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2 Equazione di Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2.1 Onde primarie, movimento nella direzione di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2.2 Onde secondarie, movimento ortogonalmente alla direzione di moto . . . . . . . . . . . . 34

5.3 Soluzione d’onda piana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.4 Calcolo dell’epicentro di un terremoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.5 Magnitudo momento: scala Richter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.6 Catalogo sismico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.7 Modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

beach balls

5.8 Sismicità in Italia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.8.1 Storia del mediterraneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.8.2 Storia della catena appenninica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.9 Dati e modellazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.10 Sismica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.10.1 Sismica a rifrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.10.2 Calcolo di e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

α α

1 2

5.10.3 Determinazione valore di corrispondente al tempo minimo di percorrenza . . . . . . . . 40

x

6 Gravità e gravimetria 41

6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2 Misure della gravità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2.1 Correzione di area libera o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Fayes Correction

6.2.2 Anomalia di Bouguer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.3 Modello di un corpo sferico sepolto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.3.1 Modello di un corpo cilindrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7 Geotermia 45

7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.2 Flusso di calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.3 Descrizione matematica del trasferimento di calore per conduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.3.1 Caso stazionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.3.2 Caso non stazionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.4 Profilo termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.4.1 Effetto in profondità della temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.4.2 Riscaldamento istantaneo di un semispazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.4.3 Raffreddamento istantaneo di un semispazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.4.4 Riscaldamento per variazione del flusso di calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 v

INDICE

A Esercizi svolti in MATLAB 53

A.1 Dicco in raffreddamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

A.2 Variazione di superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

T

A.3 Riscaldamento periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

A.4 Raffreddamento periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

A.5 Allontanamento dalla dorsale oceanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

B Formulario per gli esercizi 63

B.1 Geodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

B.2 Isostasia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

B.2.1 Erosione di un’altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

B.2.2 Rimozione completa di un’altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

B.2.3 Fossa oceanica riempita da sedimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

B.3 Sismologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

B.3.1 Catalogo sismico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

B.3.2 Calcolo della magnitudo di un terremoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

B.3.3 Sismica a rifrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

B.4 Gravimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

B.4.1 Corpo sferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

B.4.2 Corpo cilindrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

B.5 Geotermia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

vi INDICE

Capitolo 1

Introduzione

1.1 Prima di iniziare. . .

Vorrei sottolineare che questi sono appunti di lezione, e che in quanto tali possono contenere imperfezioni ed

errori dovuti a molteplici fattori, vi prego quindi di scusarmi se ne troverete e vi chiedo cortesemente di farme-

li notare al più presto all’indirizzo email luca.reato93@gmail.com, così che io possa controllarli e correggerli.

Voglio inoltre ricordarvi che questi appunti NON sostituiscono il materiale consegnato nè tantomeno i libri di

testo consigliati dal docente. Come potrete notare questi appunti derivano da ben tre mesi di lavoro quindi vi

pregherei di non distribuirli e di non fotocopiarli.

Vi ringrazio e buono studio.

1.2 La Fisica Terrestre

Questa branca della Geologia e della Fisica prevede la costituzione di modelli tramite mezzi matematici al fine

di comprendere la struttura interna della Terra, nonché il suo comportamento. La Terra ha un raggio di cir-

6300k 9k 70k

ca con spessore di crosta (la parte più esposta), che può variare dai negli oceani ai per

m m m

30k

quanto riguarda gli orogeni; lo spessore medio della crosta è di circa . Al di sotto della crosta troviamo la

m kg

2600

discontinuità di detta anche Moho, che divide la crosta con densità dal mantello che ha una

Mohorovicic 3

m

kg

3300

densità di circa , questa discontinuità è stata rilevata soprattutto da dati di tipo sismico poiché si nota

3

m 2900k

una deflessione delle onde. Il mantello è un fluido molto viscoso e a di profondità incontra il nucleo

m

esterno, che si ritiene essere liquido poiché le onde di tipo S non si propagano, essendo i liquidi dei mezzi che

non hanno resistenza allo sforzo di taglio.

La divisione crosta/mantello è quella più classica, vediamo però adesso la divisione litosfera/astenosfera.

non sono divise da una discontinuità di densità come la Moho, bensì dall’isoterma dei

Litosfera e Astenosfera:

1300

◦ circa. La litosfera è rigida e flessibile, e si compone della crosta e del mantello superiore, arrivando

C 100k 150k

fino a spessori di - e galleggia sull’astenosfera in maniera rigida. L’astenosfera invece è un fluido

m m

molto viscoso, corrisponde al mantello inferiore e sorregge la litosfera grazie alla spinta idrostatica o spinta di

Archimede. 1

2 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

Capitolo 2

Rotazione Rigida

2.1 Introduzione

Il moto di una placca che ruota attorno al proprio polo di rotazione euleriano può essere descritto da una

rotazione su una superficie sferica.

2.2 Relazione fondamentale del corpo rigido

Prima di vedere la relazione fondamentale per i movimenti del corpo rigido su una sfera è utile fare un ripasso

del prodotto vettoriale e del prodotto scalare.

Dal prodotto tra due vettori calcola un terzo vettore ortogonale a questi. È definito come

Il prodotto vettoriale:

=

® che può anche essere descritto come una matrice:

® ®

×

a b c x̂ ŷ ẑ

 

= =

®  (2.1)

® ®

× a a a

a b c x y z

 

b b b

x y z

 



In cui , e sono i versori paralleli agli assi. Calcolando i minori complementari della matrice otteniamo le

x̂ ŷ ẑ

tre componenti del vettore per cui:

®

c = −

c a b a b

 x y z z y





= 

 = (2.2)

®

c −

c a b a b

y z x x z

 = −

c a b a b



 z x y y x

 =

®

Viene indicato come e il risultato è uno scalare e non un vettore. È la proiezione

® ·

a b c

Il prodotto scalare:

® ® ®

di su perciò ne deriva che . Lo scalare si ricava dalle componenti e dei vettori secondo la

® ® ®

· ·

a b a b b a c x y

,

+ + =

formula: a b a b a b c

x x y y z z : La relazione del corpo rigido viene tramite un prodotto vettoriale

Relazione fondamentale del corpo rigido

= = , ,

tra velocità angolare ( ) e raggio ( ): in cui le componenti di sono calcolabili tramite

® ®

® ® ® ®

× [v ]

ω r v ω r v v v

x y z

una matrice: x̂ ŷ ẑ

 

=  (2.3)

® ω ω ω

v x y z

 

r r r

x y z

 

 3

4 CAPITOLO 2. ROTAZIONE RIGIDA

Da questa matrice ricavo i minori complementari e, di conseguenza, le componenti , e del vettore :

®

x y z v

= −

v ω r ω r

 x y z z y







 = (2.4)

®

v −

v ω r ω r

y z x x z

 = −

v ω r ω r



 z x y y x



Andiamo ora a definire anche le componenti dei vettori e , che sono le loro coordinate secondo i tre assi

®

®

ω r

q ω

2

2

2 =

+

+

= =

ω

−1 −1 y

, che sin

, e , facendo notare che e infine che tan .

z

φ

ω

ω

ω

x y z ω λ

ω ω

z

y

x ω ω x

= = cos cos

® ·

ω ω x̂ ω φ λ

 x ω ω







 = = (2.5)

cos sin

®

ω ® ·

ω ω ŷ ω φ λ

y ω ω

 = = sin

® ·

ω ω ẑ ω φ



 z ω

 = = cos cos

® ·

r r x̂ r φ λ

x P P





 = =



 cos sin (2.6)

®

® ·

r r ŷ r φ λ

r y P P

= =

 sin

® ·

r r ẑ r φ

 z P





φ λ

2.3 Latitudine ( ) e longitudine ( )

Per rappresentare la proiezione sulla Terra, che per semplicità assumiamo essere una sfera, usiamo gli degli

45 12

◦ ◦

angoli che definiamo come latitudine e longitudine . Padova possiede e . Definiamo ora la

' '

φ λ φ λ

corrispondenza tra le coordinate cartesiane trovate in precedenza con le coordinate sferiche nel vettore che è

®

r

= , ,

controllato dai valori in cui è il modulo di , come visto nella 2.6

® ®

(r )

r φ λ r r

P P = ,

Lo stesso può essere fatto con il vettore che dipende dai valori in cui e sono

® ® (ω, )

ω ω φ λ φ λ

ω ω ω ω

latitudine e longitudine rispetto al polo euleriano di riferimento. 5

φ λ

2.3. LATITUDINE ( ) E LONGITUDINE ( )

, , , = 0

Innanzitutto specifichiamo che per definizione e che è

®

(v ) (v ) V v

v v v

Che cosa lega con ? U P

E N x y z

tangente alla superficie della sfera con componenti

= , , = 0] (2.7)

® ® ®

[®

v v v v ˆ

N̂ Ê U P

Definiamo innanzitutto le componenti e come degli scalari secondo delle variazioni di angolo in .

v v d t

E N

dφ

= = dλ

Ricaveremo perciò e cos . perché è presente cos nella formula per ? perché la

v r v r φ φ v

N E N

d t d t 0

velocità dipende fortemente anche dalla latitudine, ai poli non può che essere e v