Appunti di Fisica Terrestre

7.3. DESCRIZIONE MATEMATICA DEL TRASFERIMENTO DI CALORE PER CONDUZIONE

7.3.1 Caso stazionario = 0

∂T

In questo caso studiamo , cioè l’assenza di variazione di temperatura nel tempo, caratteristica tipica

∂t

delle aree continentali. Assumiamo che sia costante ponendo uguale a zero l’equazione 7.5c.

k

2

∂ T + = 0 integro per

→

H ρ d z

k 2

∂z ∂T = +

−H

k ρz c 1

∂z

= 0) = = calore di superficie

(z →

q c q

1 0

∂T = + integro nuovamente

−H →

ρz q

k 0 (7.6)

∂z 1 2

= + =

− →

kT q z H ρz c c T k

0 2 2 0

2

1 2

= +

−

q z H ρz T k

0 0

2 2

H ρz

q z

0

= + −

(z )

T T

0 2k

k

Questa è un’equazione parabolica, perciò ci si aspetta un andamento parabolico nell’aumento di temperatura

andando in profondità, questa equazione però non spiega l’andamento delle condizioni in profondità perché, con

150k

soli questi parametri si avrebbe già del materiale fuso a partire da di profondità, cosa che ovviamente

m

non si riscontra in condizioni stabili.

Il flusso di calore superficiale, che deriva dalla prima derivazione vista nella 7.6 può essere scritto come

= = + , in cui è il flusso di calore alla base del mantello. Se assumiamo, in rocce di crosta

q q q H ρz q

0 s m m

= 0

oceanica, e una concentrazione di elementi radiogenici costante con la profondità e lo confrontiamo

q m <

con i valori reali della crosta allora otteniamo . L’opposto avviene in rocce di crosta

q q

sper i ment al e r e al e >

continentale, in cui si sovrastima invece la quantità di calore, da cui , deve esserci quindi

q q

sper i ment al e r e al e

un’altra sorgente. Questa sorgente è il fattore radiogenico in che dipende dal fattore radiogenico di superficie

z

per un fattore di scala che dipende dalla profondità:

z

−

= sostituiamo nella prima dell’equazione 7.6

(z ) →

H H e h r

s

2 1

∫

∂ T z

−

= =

ax ax

integro ricordando:

→

−ρH e e

e

k h (7.7)

r

s

2 a

∂z

∂T z

z

− −

= + 0

ad alte profondità

−ρH → →

k e h c H e

h h

1

r r

s r s

∂z = = +∞)

Il calore alla base della crosta è molto simile a quello del mantello in quanto , quindi:

−q (z

c 1

z

−

= +

−q q ρH e h

h r

m s r

= + (7.8)

(ρH )

q q h

s m r s

= +

y q mx

= 0

Per è il flusso superficiale. Conoscendo e possiamo comprendere il flusso di calore alla base

z q H q q

s s m

della crosta e che è la pendenza della retta.

h r

Riprendendo e integrando nuovamente l’equazione 7.7:

z 2

−

= + + = 0 =

per

(z ) −ρH → →

kT e h q z c z T T

h 2 0

r

s m

r z

−

= +

c kT ρH e h

h

2 0 r

s r

2

ρH h q z

z

s m

−

r

= + 1 +

(7.9)

(z ) −

T T e hr

0 k k

= sostituisco nell’equazione qui sopra

− →

q q h ρH

s m r s −

q q q z

z

s m m

−

= + 1 +

(z ) −

T T h e hr

0 r

k k

48 CAPITOLO 7. GEOTERMIA

7.3.2 Caso non stazionario

Il caso non stazionario permette di studiare il trasferimento di calore nella Terra per due fenomeni molto im-

portanti, cioè il raffreddamento crostale e la generazione di calore legata all’attività di faglie. Riprendiamo

∂T

l’equazione fondamentale 7.5b ponendo costante, quindi ne ricaviamo:

∂t 2

∂ T +

0= (7.10)

Hρ

k 2

∂x

La viene derivata per più di una variabile, per questo si esprime con la derivata parziale, è un’equazione par-

T

ziale differenziale che risolveremo con il metodo delle differenze finite. Ricordiamo, prima di iniziare, l’equazione

generale: ∆x +

(x ) (x − ) (x )

∂ f f f

= = lim (7.11)

(x )

f + ∆x

∆x (x ) − (x )

∂x →0

∆x 0

La derivata prima si può misurare in intervalli discreti se , ovviamente serviranno delle approssimazioni

→

e vi saranno errori, ma accettabili dal punto di vista dei dati.

−T

T

=

∂T 4 3



 −x

∂x x 4 3



 (7.12)

A

−T

T

=

∂T 3 2

 −x

∂x x

 3 2

B



Ma la derivata seconda come si calcola?

∂T ∂T

−

2

∂ T ∂x ∂x

A B

= (7.13a)

2 −

x x

∂x 3 B A

+∆t

t t

− −

T T q q ∂T

A B

= + =→ = (7.13b)

− −k

ρc H q

p x

∆t ∆x ∂x

AB

1

∂T ∂T

+ =

= (7.13c)

− H

∆x ∂x ∂x

AB A B

1

− −

T T T T

4 3 3 2

= + (7.13d)

−

k k H

A B

∆x − −

x x x x

4 3 3 2

AB + ∆t

Ora dobbiamo definire se le temperature sono al tempo oppure al tempo , necessitiamo quindi di

t t

formulare in due modalità diverse questa stessa equazione, cioè in modalità esplicita (in cui conosciamo ):

t

∆t

− −

T T T T

4 3 3 2

+∆t = + + ∆t

t t (7.14)

−

ρc T ρc T k k H

3 3

p p A B

∆x − −

x x x x

4 3 3 2

AB 2

∆x

∆t <

Il difetto della formulazione implicita è che questa è valida numericamente per intervalli di tempo ,

3κ

= k .

con la diffusività termica κ ρc p + ∆t

Nella formulazione implicita invece conosciamo quindi avremo come formula:

t

∆t

− −

T T T T

4 3 3 2

+∆t = + ∆t

t t (7.15)

− −

ρc T k k ρc T H

3 3

A B p

p ∆x − −

x x x x

4 3 3 2

AB

In cui non c’è un limite per l’intervallo di tempo da scegliere, ma il calcolo è molto più complesso e si deve fare

affidamento a software computerizzati come MATLAB per venirne a capo.

Prendiamo innanzitutto la 7.13b e cerchiamo di estrapolarne e :

q q

A B

+ − −

T T

∂T k k T T

+1 +1 +1

i i i i i i

= = (7.16a)

−k ≈−

q k

A A

2 ∆x ∆x

∂x A + − −

∂T k k T T T T

−1 −1

−1 i i i i

i i

= = (7.16b)

−k ≈−

q k

B B

2 ∆x ∆x

∂x B 49

7.4. PROFILO TERMICO ∆x = ∆

Consideriamo una griglia omogenea, cioè con punti a distanza fissa tra di loro, ne concludiamo che AB x

e quindi riscriviamo il tutto: +∆t + +

t t

− − −

T T k k T T k k T T

+1 +1 −1 −1

i i i i i i i i

= +

−

ρc Hρ

p ∆t 2 ∆x 2 ∆x

se è costante l’equazione generale varia come: (7.17)

k

+∆t

t t T

−

T T +1−2T +T

i

= −1

i i

ρc k

p 2

∆t ∆x +∆t

t

Nella formulazione implicita si devono considerare le non note e portarle a sinistra nell’equazione, al

T

fine di ottenere: 2k

ρc k k

p +∆t +∆t +∆t

+ = +

t t t t (7.18)

− −

T T T ρc T H ρ

+1 p

2 2 2

∆t ∆x ∆x ∆x −1

i i i i

3

Si deve far variare il valore di per ogni nodo della griglia con incognite a sinistra con i loro coefficienti e a

i

destra un solo termine noto, per farlo costruiamo una matrice (left) in cui inseriamo i coefficienti e le incognite,

L

questa sarà moltiplicata per il vettore (solutions) al fine di dare una matrice (right) che contiene i coefficienti

S R

e i termini noti della parte destra dell’equazione. = 1

−

Si devono assemblare dunque le due matrici R ed L per risolvere . è una matrice quadrata

·

S R L L

1

con dimensioni . essendo un vettore ha dimensioni come anche . Assegneremo

× ×

N N S N R

nod i nod i nod i

= k

una distribuzione di temperatura, nonché una diffusività termica al fine di calcolare le variazioni di

κ ρc p

temperatura nei pressi di un dicco. Per lo in MATLAB vedere l’appendice A.

script

7.4 Profilo termico

L’interno della terra si compone di varie parti già viste in precedenza. Nella litosfera continentale gli spessori

150k

sono di circa con trasmissione di calore che avviene per conduzione, il materiale si deforma tramite

m

meccanismi di e di dislocazioni. Il mantello è invece solido ma si comporta come un fluido in convezione.

creep

Il movimento convettivo di qualsiasi fluido è determinato dal numero di Reyleigh, cioè dal rapporto tra forze

che attivano la convezione e forze che la bloccano, viene espresso matematicamente:

∆T αg

= (7.19)

R κη

è un coefficiente che determina la condizione di calore, è la viscosità, cioè l’opposizione allo scorrimento

κ η 7 8

10 10

posta da un fluido. è un numero adimensionale e i valori nel mantello terrestre si aggirano tra i . Il

−

R

calore viene trasferito prevalentemente per convezione del materiale. = 0)

Un processo adiabatico è caratterizzato da trasferimento di calore nullo con compressione in discesa

(q

ed espansione in risalita. Secondo la prima legge della termodinamica il sistema produce del lavoro nei confronti

del corpo studiato durante la discesa, avviene invece l’opposto durante la risalita.

Il gradiente adiabatico si misura calcolando la variazione della temperatura rispetto alla pressione, secondo:

∂T αT

=

∂P ρc p

s c dT αdP

p +

= (7.20)

per cui l’entropia del sistema diventa: d S T ρ ◦

K

∂T g αT

= 0.5

il gradiente geobarico invece diventa: ≈

∂z c km

p

s

Nel disegnare il profilo termico della Terra notiamo come ci siano due con trasferimento

ther