Fisica Terrestre e laboratorio - Appunti seconda parte

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Aggiornato il 02/04/2026

di bermar

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Rielaborazione degli appunti di lezione dell'esame di Fisica Terrestre del corso di Scienze Geologiche (Università degli Studi di Milano)sulla seconda parte. Argomenti: geoterma, flusso …

Esame Fisica terrestre e laboratorio

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Marotta Anna Maria

Università Università degli Studi di Milano

A.A. 2012-2013

39 pagine

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Estratto del documento

Equazioni differenziali e onde

Affinché due equazioni di variabili diverse siano uguali, è necessario che entrambe siano uguali a una costante. Nello specifico, posso scrivere due equazioni differenziali, ognuna relativa a una funzione diversa:

c² = ¹_X(x₁) _{d² X(x₁)}^{d x₂} + ω²¹_T(t) _{d² T(t)}^{d t²} = -ω²

X(x₁) = e^αx₁

T(t) = e^βt

α e β sono da determinare. Sostituendo nelle due equazioni:

^c² - ^{e^-αx₁ _{d² e^αx₁}^{d x₂} = -ω²}

^c² _{d² e^αx₁}^{d x²} = -ω²

⇒ α² = - ^ω²_c²

¹_e^βt _{d² e^βt}^{d t²} = -ω²

⇒ β² = -ω²

Da cui ricavo che:

α = ±i^ω_c
β = ±iω

X(x₁) = A₁ e^{- i^ω_c x₁} + A₂ e^{i^ω_c x₁}

T(t) = B₁ e^{- iωt} + B₂ e^iωt

u(x₁, t) = [ A₁ e^{- i^ω_c x₁} + A₂ e^{i^ω_c x₁} ] [ B₁ e^{- iωt} + B₂ e^iωt ]

e^ix = cosx + i sinx

Applico queste formule:

Affinché due equazioni di variabili diverse siano separabili, è necessario che entrambe siano uguali a una costante. Nello scritto scelgo di farlo per una costante. Posso scrivere due equazioni differenziali, ognuna relativa a una funzione diversa:

c² ₁ X(x₁) d²X(x₁) - ω² T(t) 1 d²T(t)

X(x₁) = e^{α x₁}

T(t) = e^{β t}

α e β sono da determinarsi. Sostituendo nelle due equazioni:

c² - . d² αx₁e^αx₁ d x₁² - ω²

c² - . d²e^αx₁e^αx₁ - ω²

→ α² = -ω²c²

e^βt1 e^βt . d² βx₁d e^βt - ω²

→ β² = -ω²

Da cui ricavo che:

α = ± i ωc
β = ± i ω

X(x₁) = A₁ e^{-i ω}x₁ + A₂ e^{i ω}x₁

T(t) = B₁ e^{-i ωt} + B₂ e^{i ωt}

u(x₁,t) = [A₁ e^{-i ω}x₁ + A₂ e^{i ω}x₁][B₁e^{-i ωt} + B₂e^{i ωt}]

e^ix = cosx + i sinx

Applico queste formule:

C₁ e^{-iw(x₂/c + t)} + C₂ e^{-iw(x₂/c - t)} + C₃ e^{iw(x₂/c - t)} + C₄ e^{iw(x₂/c + t)}

Ora sostituisco:

e^ix, e^-ix

c₂ [ cos [w(x₂/c - t)] + i sin [w(x₂/c - t)] ] + c₃ [ cos [w(x₂/c - t)] - i sin [w(x₂/c - t)] ] + c₄ [ cos [w(x₂/c + t)] + i sin [w(x₂/c + t)] ] = u₁ (x, t)

Posso raccogliere alcuni termini:

u₁ (x, t) = (C₁ + C₄) cos [w(x₂/c + t)] + (C₃ + C₂) cos [w(x₂/c - t)] + (i C₄ + i C₁) sin [w(x₂/c + t)] + (-i C₂ + i C₃) sin [w(x₂/c - t)]

Questo descrivere il simbolo e posso anche descrivere in una formula compatta:

u₁ (x, t) = A cos [w(x₂/c + t)] + B sin [w(x₂/c + t)]

Ribadisco che questa è la soluzione per un'onda che si propaga nella direzione x₁. Mi dice come varia nel spazio e nel tempo la perturbazione in termini di spostamento delle particelle materiali. Posso osservare che la perturbazione si propaga in maniera periodica. Studio la tensione ondulata o fissata ora (tempo ora loAcos(_ω).

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