Appunti fisica - parte 1

v = ^dx/_dt = ^d/_dt x - derivata I della legge oraria (x t)

a = ^dv/_dt = ^d/_dt v = ^d/_dt ^dx/_dt = ^d2/_dt² x - derivata II della legge oraria (x t)

Significato geometrico di derivata

Dato y= f(x), consideriamo gli incrementi Δx = x₂ - x₁

e consideriamo la seguente quantità:

Δy: ^{y₂ - y₁}/_{x2 - x1} = ^{f(x + Δx) - f(x)}/_Δx

uniamo AB, notiamo che i, angolo α tanto con α compreso tra

AB e x, quindi f(x+Δx)/f(x) cosα, tanα = senα/

• la derivata I esiste ⇔ sia Δx che Δy vanno a 0 in quanto
• Δy/Δx è rapporto incrementale undabile a ∞

(infatti la funzione per essere differenziabile deve essere continua)

^tg_α

f(a)

a la curva c la retta tangente alla curva nel punto in cui

l'ascissa x(a) R un angolo α e compreso tra le tangenti in

f(a)

α ≠ 7

Significato fisico di derivata

la variabile x diventa è tempo c la y la posizione del punto P cui

^dx/_dt = dv = v

Velocità derivata I della legge oraria

lim_Δx→0 ^Δx/_Δt = ^dx/_dt x(t)

Accelerazione derivata II della legge oraria

lim_Δx→0 ^Δt/_Δt = ^dv/_dt = ^dv/_dt x(t)

Velocita in funzione della posizione senza il tempo

a = _dx/^dt -> adx = vdv

INTEGRO:

∫_x₀^x a(x) dx = ∫_v₀^v v dv -> (1/2)v²

v² = v₀² + 2a(x - x₀)

mi dà informazioni sulla velocità punto per punto

LO SPAZIO DI FRENATA

Bisogna calcolare lo spazio percorso (con legge oraria)

x = v₀t + 1/2 at²

Abbiamo 2 incognite! Non abbiamo tempo e accelerazione

Introduciamo nuova relazione: (sempre sulla velocità)

v₁ = v₀ - at = 0

Alla fine della frenata la velocità sarà 0

Impongo sistema

{ y = v₀t + 1/2 at² v₁ = v₀ - at = 0

⇒ tf = v₀/a _{vi diminuisce velocità del veicolo nel tempo di reazione}

x: v₀ v₁/a - 1/2 a v₀²/a² = v₀²/a - v₀²/2a = 1/2 v₀²/a

SPAZIO DI FRENATA

t -> 0

vettore differenza tend a diventare

TANGENTE della traiettoria

quindi

v = ∣

versore tale per indicare che Vr mantiene

la

INFORMAZIONE IMPORTANTE (del cambio di sistema di riferimento)

→ potete scegliere allo sistema riferimento vel

valore affettivo sempre lo stesso

vettore velocità = un vettore che sta "sopra" la traiettoria

→ ACCELERAZIONE!

a = d → ᵥr = d V(t)

→

derivata Fremeric; che manca adesso

r = - d rᵥt/v

▢▢ tratt _fisso

dt/d + dt - T

1) indica il modulo r2) Vri = la direzione di vr

structori basigeni Elicio

→ roki (può essere (accelerazione se U uguale vinilo il modulo de

altre le Vezone della velocità)

posso dire il modulo

modulo V qui mese veni restanze (velocità

• T e costante) ma cambia la Direzione del vettore

usiamo accellerazione

→ o clone modulo, o cambiare direzione de reboot

→ COME CALCOLARE DERIVATA VETTORE?

Immaginiamo di averi

Equazioni del moto nei componenti

Il moto di un punto materiale rispetto a un sistema di riferimento spaziale critico è detto cartesiano e un sistema di assi temporali è determinato quando si conosca la posizione del punto (P) in ogni istante.

Ciò si può condurre alla dipendenza delle sue coordinate dal tempo:

• X = x(t)
• Y = y(t)
• Z = z(t)

OP: vettore posizione (denote: "r")

Quindi il moto di P è dato da:

OP(t) = r(t) = i x(t) + j y(t) + k z(t)

dove i, j, k sono versori utili.

Traiettoria. Equazione oraria.

Punto materiale durante moto in intervallo di tempo descrive una linea = TRAIETTORIA

MOTO rettilineo se diventa retto; piano se diventa piano su piano.

Possiamo indicare sistema di coordinate particolari:

• O assegnare ascissa posizione P in un istante t
• S assegnarea arcgiunge curvilinea

Quindi possiamo scrivere:

S = S(T) equazione oraria

Spostamenti

P, P' posizioni assunte in corrispondenza di t, t + Δt.

Moto di un punto materiale con traiettoria giacente su un piano

Vettore spostamento

r(t) = x(t)i + y(t)j

Esso descrive moto di un punto che si muove genericamente su un piano.

oppure, per un sistema di

... ascisse curvilinee (fissata l'origine O, il verso)

eq. mossa S = S(t)

Velocità

lim _{Δ t→0} Δr / Δt = dr / dt = v(t)

Vettore diretto come le tangenti alla traiettoria nella posizione occupata dal punto materiale all'istante t e ha il verso del moto.

V(t) = Ś (t)τ = V(t)

V(t) = dr / dt = i dx(t) / dt + j dy(t) / dt

Cioè il vettore velocità nel moto del punto materiale P nel piano è la somma delle velocità che compongono il moto lungo gli assi x e y in cui esso si può immaginare decomposto.

Accelerazione

lim _{Δ t→0} Δv / Δt = a se esiste

Che si può anche scrivere

a = dv / dt = d²r / dt² = i d²x / dt² + j d²y / dt²

Cioè il vettore accelerazione è la somma dei vettori accelerazione che compongono il moto, relative componenti lungo gli assi x e y.

Iniziamo a calcolare le velocità

\(\vec{v}' = \frac{d}{dt} \vec{r} = \frac{d}{dt} (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k})\)

\( \frac{d \vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt} (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) = \frac{dx}{dt} \hat{i} + \frac{dy}{dt} \hat{j} + \frac{dz}{dt} \hat{k} \)

\(\frac{d^2}{dt^2} \vec{r} = \vec{v}'_i\)

\(\frac{dx}{dt} \hat{i} + \frac{dY}{dt} \hat{j} + \frac{dZ}{dt} \hat{k}\)

\(\frac{dX}{dt} = v_x \quad \frac{dY}{dt} = v_y \quad \frac{dZ}{dt} = v_z\)

\(\frac{d}{dt} \vec{r}' = \frac{d}{dt} (x \frac{dX}{dt} \hat{i}' + y \frac{dY}{dt} \hat{j}' + z \frac{dZ}{dt} \hat{k}') + (y \frac{dx}{dt}) \hat{i}' + (y \frac{dz}{dt}) \hat{j}')\)

Identifichiamo vettore simile:

\(\begin{pmatrix} x \frac{dY}{dt} \\ y \frac{dZ}{dt} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \frac{dX}{dt} \\ y \frac{dY}{dt} \\ z \frac{dZ}{dt} \end{pmatrix} \)

Velocità uscita del vettore dell’asse

Dobbiamo quindi derivare vettore vel

\(v(t + \Delta t) - v(t)\)

\(\frac{\Delta \vec{r} (t)}{\Delta t} \rightarrow \frac{v(t + \Delta t) - v(t)}{t}\)

Come facciamo a conoscere lunghezza v: \(v(t + \Delta t) - v(t)\)? Lo utilizziamo ARLO

Quindi

\(\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \omega\) velocità angolare

x

t=0 presso per x=0 con velocita v_o>0

per t>0 il corpo ha un’accelerazione (a=-Kv) (gravitá)

che tipo di moto è? moto di un qualsiasi corpo sferoidale di un detrito

MOTO VISCOSO

determinare

• v(t) velocitá in funzione del tempo
• v(x) " " delle posizioni
• x(t) legge oraria

RISOLUZIONE IN MATEMATICHE

1)

a=-Kv= dv/dt

∫_v₀^v k/v dv = ∫₀^t dt

dv=-Kvdv

v(t) = ?

se v(t) = -K(t-0)

v(t)=v_o e^-kt

v(x)=v_o e^kt

2)

velocitá in funzione dello posizione

α ∂x/∂t = d/dt ∫_x^t v(x(t) dx = dx/dt v=Kv

Ho equazione differenziale da risolvere:

dv/dx=-K

Si trova che

v(x) = v_o - Kx