Appunti fisica 2: teoria, immagini e dimostrazioni

Capitolo 1: Forze e campi elettrici

L’equazione che determina la forza di interazione tra cariche puntiformi prende il nome di legge di Coulomb:

Dove si chiama costante di Coulomb 8,9876 ⋅ 10⁹ ⋅ Nm²/C² = 8,8542 ⋅ 10^-12 C²/Nm²

Campo elettrico

Ogni carica genera un campo la cui equazione è:

⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗= ̂

Sostituendo con la legge di Coulomb si ottiene che

Per un insieme di sorgenti otteniamo che:

⃗ = ∑ ̂ 2

Quando abbiamo un oggetto con distribuzione di più cariche:

⃗ ⃗ = ̂ → ≈ ∑ ̂

Ovviamente più la differenza di q è piccola più è preciso il conto, quindi si può dire che:

⃗ = ∑ ̂ = ∫ ̂ 2 →0

Per svolgere gli esercizi, per capire come si distribuisce la carica utilizziamo la densità di carica:

• Per volume (per volumi):
• Superficiale (per superfici):
• Lineare (per linee e fili):

Ovviamente le forze rispondono alla legge di Newton quindi si può calcolare la massa e la velocità della carica in un campo elettrico:

⃗⃗⃗⃗ ⃗ = = → =

Il flusso elettrico

Corrisponde alle linee di campo che attraversano un’area.

= ⋅ ⋅ → =

Discorso analogo per la distribuzione di carica:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ∑ = ∫ ⋅ per superfici chiuse: →0⃗ = ∮ = ∮ in cui rappresenta la componente del campo normale alla superficie.

Teorema di Gauss

Partendo dal presupposto che consideriamo una carica positiva/negativa posta al centro di una sfera, si può affermare che:

⃗ = = per tutti i punti: di conseguenza possiamo risolvere la formula del flusso, scritta precedentemente, in questo modo:

= ∮ = ∮ = ∮ =

Specificando i valori delle variabili otteniamo che:

2 (4 ) = = ( ) = 4 2 1 = sappiamo che e otteniamo quindi che: 4 0 = 0

Estendiamoci al caso generale di più cariche puntiformi presenti:

⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗∮ = ∮ ( + + ⋯ ) ⋅ 1 2

Il teorema di Gauss è una generalizzazione del discorso e afferma che il flusso di una qualsiasi superficie chiusa è data da:

⃗ = ∮ = 0⃗ dove rappresenta la carica totale interna alla superficie e rappresenta il campo elettrico in ogni punto della superficie.

Conduttori in equilibrio elettrostatico

Può essere di fondamentale utilizzo l’uso delle formule sulla densità:

= ∮ = = = = in quanto 0 0

Si può quindi dare una definizione di E: = 0

Capitolo 2: Potenziale elettrico e capacità

Introduciamo il concetto di energia potenziale pure per quanto riguarda l’elettricità. Il lavoro effettuato dal sistema carica campo è il seguente:

⃗⃗⃗ ⃗ = = 0

Dal momento che il lavoro è effettuato dal campo, l’energia del sistema carica-campo è cambiata di una

⃗ = − = − quantità per uno spostamento finito dal punto A al punto B. 0 = −

La variazione di energia potenziale è quindi e più nello specifico:

⃗ = − ∫ 0

Dividendo l’energia potenziale per la carica di prova otteniamo una nuova grandezza fisica chiamata potenziale elettrico (V): = 0= −

Ancora più importante è la differenza di potenziale ( ) che ovviamente ha la seguente formula:

⃗ = = − ∫ 0 =

Sappiamo dai primi capitoli di fisica meccanica che quindi possiamo affermare che:

1J = ricordo che (1V = )C = elettronvolt: −19 −191 = 1,602 ⋅ 10 ⋅ = 1,602 ⋅ 10

Differenza di potenziale in un campo elettrico uniforme

Movimento parallelo alle linee di campo:

⃗ ( 0) = − ∫ = − ∫ = − ∫

Poiché E è costante può essere tirato fuori dal segno di integrale ottenendo:

= − = −∫ dove d è la distanza percorsa.

Possiamo anche ricavare la differenza di energia potenziale sapendo che:

= = − 0 0

Ovviamente queste equazioni sono nel caso specifico di movimento parallelo al campo E (quindi Cos = 0). Nel caso generale bisognerà considerare il valore di

Equazioni generali

⃗ −⃗ = − ∫ ⋅ = ⋅ 1) ⃗ = = − ⋅ 2) 0 0

Potenziale elettrico e energia potenziale di cariche puntiformi

Il campo elettrico di una carica puntiforme abbiamo visto essere

⃗ = ̂ 2 ⃗ = ̂ ⋅ Quindi 2̂ ̂ ⋅ =

Poiché il modulo di ̂ è 1: dove ̂ è l’angolo tra e ̂

Inoltre, è la proiezione di lungo cosicché = . Quindi ogni spostamento dal punto a al punto b produce una variazione nel modulo di

Con queste sostituzioni si ottiene che:

⃗ = ( ) 2

L’equazione della differenza di potenziale diventa quindi:

2 1 1 = [ − ]

Quindi:

Da qua capiamo che: = per una carica puntiforme.

= ∑ per un sistema di cariche puntiformi.

Seguendo queste formule appena dette:

1 2 = → = 1 1,2

Dall’equazione si può notare che se le cariche sono di segno uguale U è positiva.

Ricavare il valore del campo elettrico dal potenziale elettrico

−⃗ = ⋅ Sappiamo che

Se il campo ha una sola direzione (componente) per esempio lungo l’asse delle X allora ⃗ ⋅ = = −

L’equazione diventa quindi e di conseguenza il valore del campo elettrico altro non è che la derivata cambiata in segno del potenziale elettrico rispetto alla coordinata x. = −

Se il campo ha simmetria sferica:

ⅆ⃗ ⋅ = → = − = −

quindi ⅆ

Se la dimensione non è una sola bisogna applicare le derivate parziali:

= − = − = −

Potenziale elettrico dovute a distribuzioni di carica continue

= → = ∫

Potenziale elettrico di un conduttore carico

⃗ = − ∫ ⋅ = 0 Ovvero ogni punto sulla superficie si trova a stesso potenziale

La capacità

Iniziamo a studiare il comportamento dei circuiti, il primo oggetto che vediamo è il condensatore. Il condensatore immagazzina delle cariche fondamentalmente tramite due armature che generano una differenza di potenziale.

= =

La capacità di un condensatore è definita da: e si misura in Farad (F), è una grandezza sempre positiva.

Con un po' di sostituzioni arriviamo alla seguente formula:

= = = = 4 0 = 4 0

Condensatore piano

Un condensatore con armature piane (piatte) genera un campo elettrico come abbiamo già visto di questo tipo:

= = 0 0

ⅆ = = Il campo è uniforme quindi: dove d è la distanza fra le armature. 0

Sostituendo alla formula sulla capacità del condensatore otteniamo:

= = ∕ 0 0=

Condensatore cilindrico

Utilizzare l’immagine come riferimento per capire le formule: ⃗ = − ∫ ⋅