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Campi conservativi
Data una funzione scalare u = u(x,y,z) esiste sempre un vettore v∗ legato alla funzione tramite l'operatore gradiente
v∗ = grad u (x,y,z) = ∇u
dove il gradiente di u si esprime come
∇u = ∂u/∂x i + ∂u/∂y j + ∂u/∂z k
e v∗ è cosi' detto campo vettoriale.
Il lavoro infinitesimo è compiuto per percorrimenti infinitesimali dl lungo una curva l. Allora il lavoro totale lungo il percorso l è
l = ∫l v∗ dl
dove dl è la spostamento infinitesimale,
dl∗ = dx i + dy j + dz kE' possibile scrivere il differenziale della funzione scalare come
du = ∂u/∂x dx + ∂u/∂y dy + ∂u/∂z dz = dl∗ ∇u = dl∗ v∗
e pertanto, sostituendo nell'integrale si ha
∫lP2 v∗ dl∗ = ∫P1P2 du = u(P1) - u(P2)
ed essendo un lavoro dipendente solo dai punti P1 e P2, il sistema è conservativo, in quanto non dipende dal percorso compiuto.
Per P1 = P2 (traiettoria chiusa), l'integrale è nulla e può essere rappresentato come
∮ v∗ dl∗ = 0
Si indica che il campo è conservativo.
Flusso di un vettore
Immaginiamo di avere una superficie attraversata da un campo vettoriale generico v (x, y, z). Prendiamo un elemento infinitesimale di superficie dΣ ed indichiamo con n il vettore anteriore (versore) normale alla superficie dΣ.
Si definisce il flusso dΦ (r⃗) del vettore v⃗ attraverso la superficie dΣ come il prodotto scalare di dΣ per la componente v⃗ nella direzione normale alla superficie:dΦΣ (r⃗) = v · n dΣ
da cui integrando si ottiene il flusso totaleΦ Σ (r⃗) = ∫Σ v · n dΣ
Divergenza di un vettore
Si definisce la divergenza di un vettore v⃗ comev = (∂vx/∂x) + (∂vy/∂y) + (∂vz/∂z)
ovvero come la somma delle sue derivate parziali.
Si definisce il teorema della divergenza nel seguente modo: il flusso Φ Σ (r⃗) del vettore v⃗ attraverso una superficie chiusa qualsiasi dΣ è uguale all'integrale della divergenza di v esteso a tutto il volume V racchiuso da dΣ,Φ Σ (r⃗) = ∫Σ v · n dΣ = ∫V div v dV
Campo conservativo e solenoidale
Se il campo vettoriale è conservativo posso scriverev⃗ = grad u (x, y, z) = ∇u
e la divergenza del vettore v è
Campo elettrostatico (o campo elettrico)
Il termine elettrostatico si riferisce alla condizione statica delle cariche (che sono ferme).
Il campo elettrostatico prodotto in un punto P da un sistema di n cariche è definito come la forza risultante F che agisce sulla carica di prova q0 posta in P divisa per la carica stessa.
E = F / q0 = i Σ 1 / 4πε0 ri2 m̂i
[ N/C ]
Il campo elettrostatico può essere considerato anche come una perturbazione dello spazio circostante da parte di un sistema di cariche. Nel momento in cui in tale spazio viene messa una carica q0, essa inizierà a risentire dell’effetto del campo.
Esercizio
Supponiamo di avere tre cariche q1 = q2 = q3 = q, poste ai vertici di un triangolo equilatero. Calcolare il campo generato in uno dei suoi vertici.
Ovviamente per simmetria del sistema il vettore campo elettrico risultante è diretto lungo l’asse delle y, si ha pertanto:
E = E14 + E24 = 1 / 4πε0 (q1 / l2 m̂4 + q2 / l2 m̂2)
= - 2 / 4πε0 (q / l2) cos(30°) = √3 / 4πε0 (q / l2)
Campo elettrico totale
Se ho un corpo carico con forma indefinita, per calcolare il campo elettrico in un punto P dove c’è la mia carica di prova q0, posso considerare una infinitesima porzione del corpo carico con carica dq, da cui troverò dE
dE(r) = 1 / 4πε0 (dq / r2) m̂
quando per cariche molto lontane l'interazione risulta trascurabile.
Poiché risulta E = Fc/q, la serie considerazioni fatte per la forza di q coulomb possono essere fatte per il campo elettrostatico E ricavandolo dalla carica di prova q definendo dunque il potenziale elettrostatico come:
V(r) = U(r)/q = 1/(4πϵor)
derivando V(r) rispetto a r si ha
dV(r)/dr = -q/(4πϵo r2) = -E
e dunque si può scrivere
E = - grad V = -∇V = -(∂V/x ı + ∂V/y ĵ + ∂V/z k̂)
Forza elettromotrice
Se il campo vettoriale (in questo caso il campo elettrico E) è conservativo, il lavoro per portare la carica qo da A a B è indipendente dal percorso compiuto:
qo∫x1x2E ds = qo∫x2x2E ds
con A, B punti di partenza e arrivo di ogni percorso. Se il percorso è chiuso, si definisce il lavoro lungo un percorso chiuso come:
∮LF ds = qo∮E ds
e l'integrale lungo un circuito chiuso è zero. L'integrale seguente è definito come forza elettromotrice relativa ad un percorso chiuso
∮E ds = f.e.m.
In un campo elettrostatico la forza elettromotrice è sempre pari a zero, quindi è nullo il lavoro della forza per spostamenti che riportano la carica al punto di partenza.
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