Appunti Fisica 2

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Author: copf.daraio

Revisionato il 31/05/2026

di copf.daraio

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Appunti delle lezioni del Professor Sanna in Fisica 2, corso di laurea in ing. informatica. Appunti sono redatti sulla base del libro di testo e delle dispense del prof. basati su appunti …

Esame Fisica 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Sanna Simone

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

A.A. 2019-2020

110 pagine

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Appunto

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Estratto del documento

Campi conservativi

Data una funzione scalare u = u(x, y, z) esiste sempre un vettore v che è legato alla funzione tramite l’operatore gradiente

\[\vec{v}=grad \ u \ (x,y,z) = \vec{\nabla} u\]

dove il gradiente di u si esprime come

\[\vec{\nabla} u = \frac{\partial u}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial u}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial u}{\partial z} \vec{k}\]

v è così detto campo vettoriale.

Il lavoro infinitesimo è compiuto per spostamenti infinitesimali d lungo una curva l. Allora il lavoro totale lungo il percorso l è

\[\int_l \vec{v} \cdot d\vec{l}\]

dove d\vec{l} è lo spostamento infinitesimale,

\[d\vec{l}=dx \vec{i}+dy \vec{j}+dz \vec{k}\]

È possibile scrivere il differenziale della funzione scalare come

\[du=\frac{\partial u}{\partial x} \ dx +\frac{\partial u}{\partial y} \ dy +\frac{\partial u}{\partial z} \ dz =d\vec{l} \cdot grad u =d\vec{l} \cdot \vec{v}\]

e, pertanto, sostituendo nell’integrale si ha

\[\int_l \vec{v} \ cdot \ d\vec{l}=\int_{P_1}^{P_2} du = u(P2) – u(P1)\]

ed essendo un lavoro dipendente solo dai punti P1 e P2, il sistema è conservativo , in quanto non dipende dal percorso compiuto.

Per P1 = P2(traiettoria chiusa), l'integrale è nullo e può essere rappresentato come

\[\oint grad \ u \ d\vec{l}= \oint \vec{v} \ cdot \ d\vec{l} = 0\]

Si indica che il campo è conservativo.

Campi conservativi

Data una funzione scalare u = u(x,y,z) esiste sempre un vettore ^v che è legato alla funzione tramite l'operatore gradiente

^v = grad u(x,y,z) = ∇u

dove il gradiente di u si definisce come

∇u = (∂u/∂x) î + (∂u/∂y) ĵ + (∂u/∂z) k̂

v è così detto campo vettoriale.

Il lavoro infinitesimo è compiuto per spostamenti infinitesimali ^dl lungo una curva l. Allora il lavoro totale lungo il percorso l è

L = ∫_l ^v ⋅ ^dl

dove ^dl è lo spostamento infinitesimale,

^dl = dx î + dy ĵ + dz k̂

È possibile scrivere il differenziale della funzione scalare come

du = (∂u/∂x) dx + (∂u/∂y) dy + (∂u/∂z) dz = ^dl ⋅ grad u = ^dl ⋅ ^v

e, pertanto, sostituendo nell'integrale si ha

∫_P1^P2 ^v ⋅ ^dl = ∫_P1^P2 du = u(P1) - u(P2)

ed essendo un lavoro dipendente solo dai punti P1 e P2, il sistema è conservativo, in quanto non dipende dal percorso compiuto.

Per P1 = P2 (traiettoria chiusa), l'integrale è nullo e può essere rappresentato come

∮grad u ⋅ ^dl = ∮^v ⋅ ^dl = 0

Si indica che il campo è conservativo.

Flusso di un vettore

Immaginiamo di avere una superficie attraversata da un campo vettoriale generico v(x, y, z). Prendiamo un elemento infinitesimo di superficie dΣ ed indichiamo con n il vettore unitario (versore) normale alla superficie dΣ.

Si definisce il flusso dΦ_Σ(v) del vettore v attraverso la superficie dΣ come il prodotto scalare di dΣ per la componente v nella direzione normale alla superficie,

dΦ_Σ(v) = v · n̂ dΣ.

Da un integrando si ottiene il flusso totale

Φ_Σ(v) = ∫_Σ v · n̂ dΣ

Divergenza di un vettore

Si definisce la divergenza di un vettore v come

div v = ∂v_x/∂x + ∂v_y/∂y + ∂v_z/∂z =

ovvero come la somma delle sue derivate parziali.

Si definisce il teorema della divergenza nel seguente modo: il flusso Φ_Σ(v) del vettore v attraverso una superficie chiusa qualsiasi dΣ è uguale all'integrale della divergenza di v esteso a tutto il volume V racchiuso da dΣ,

Φ_Σ(v) = ∫_Σ v · n̂ dΣ = ∫_V div v dV

Campo conservativo e solenoidale

Se il campo vettoriale è conservativo posso scrivere v = grad u (x, y, z) = ∇u

e la divergenza del vettore v è

div = div ( grad ) = ₂_u + ₂_u + ₂_u = ∇²u

Esempio

dimostrare che il campo vettoriale = grad u (x, y, z) = grad ( ₁_r )

con r distanza dall'origine, è conservativo e ha divergenza nulla per la funzione

u = ₁_r

Allora = grad u (x, y, z) = grad (

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