Appunti fisica 2

Elettromagnetismo

Capitolo 1

Il sistema di misura utilizzato è quello MKS (metro, kg e secondi) ampliato dell'ampere, unità di corrente elettrica.

Viene definita da:

1 m      F = 2 · 10^-7 N

Si introduce la misura della carica elettrica, ovvero il coulomb definito come la quantità di carica che fluisce all'interno

del sistema del filo quando in questo scorre 1 A in 1 s.

1 C = 1 A · 1 s

1 C = 6,24 · 10¹⁸ e

1 e = 1,6 · 10^-19 C

Legge di Coulomb

Allesti un esperimento con un pendolo di torsione equilibrato

dal punto di vista della gravitazione

Misurando il θ formato si è riusciti a misurare la forza di interazione.

Se le cariche sono dello stesso segno |F| > 0 e quindi si respingono.

La costante K dipende dal sistema di misura utilizzato:

k = ₁/_4πε0 nel vuoto = 8,98 • 10⁹ N, m²/C²

ε₀ è la costante dielettrica del vuoto.

Confrontando la F_g e la F_e:

F_g = ɣ _m1m2/_r² = 3,61 • 10^-42 N

F_e = k _q1q2/_r² = 8,20 • 10^-8 N

La forza elettrica domina!

CAMPO ELETTROSTATICO

Il campo elettrico E prodotto nel vuoto da un sistema di cariche in un punto qualsiasi dello spazio è definito come il rapporto tra la forza E che agisce su una carica di prova q₀ posta in quel punto e la carica q₀ stessa.

E = _F/_q0

Il campo E è prodotto da una carica puntiforme in P e è

E = _q/_4πε0r²

V(CA) - V(CB) ≧ 0

V(CA) ≧ V(CB)

Si sposta una carica q₀ da A → B. Si hanno due casi:

• q₀ > 0

U(CA) > U(CB)

W_AB > 0

• q₀ < 0

U(CA) < U(CB)

W_AB < 0

CAMPO ELETTRICO

In generale, non è conservativo.

Ciò implica che la circuitazione di è diversa da 0.

Si definisce forza elettromotrice:

^C ∮ _C E ds

Esiste una forza di tipo elettrico che è in grado di far circolareuna carica q_d lungo una linea chiusa.

NON È UNA FORZA!

|Δ| = |Ε| = c / c = V

|E| = N / C = V / m

U_q₀= ^q₀/_4πε₀r (q₁+q₂+q₃)

Esempio lavorativo

Come si calcola il lavoro per portare q₀ dal centro del triangolo all'infinito?

Portiamo molto lontano la carica in modo che non risenta della distribuzione di cariche

W_AB= V(C_A) - V(C_B)

L'unica energia potenziale che cambia è quella che compete a q₀. Il lavoro dipenderà solo dalla variazione di U_q₀.

W = U_q₀(C_A) - U_q₀(C_B)

Divergenza

Dato un campo vettoriale ^{^\span>A(x, y, z) = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k} si definisce divergenza}

∇ · A = (∂A_x/∂x) + (∂A_y/∂y) + (∂A_z/∂z)

È una grandezza scalare che quantifica il concentrarsi o il rarefarsi delle linee di flusso del campo vettoriale

Rotore

∇ × A = (∂A_z/∂y - ∂A_y/∂z) \hat{i} + (∂A_x/∂z - ∂A_z/∂x) \hat{j} + (∂A_y/∂x - ∂A_x/∂y) \hat{k}

È una grandezza vettoriale che indica la proprietà di rotazione locali del campo vettoriale A.

Esistono alcuni teoremi matematici che collegano le proprietà locali dei campi vettoriali con quelle integrali. Questi teoremi sono particolarmente utili per la definizione delle equazioni che regolano l'elettromagnetismo.

Teorema del Gradiente

Dato il campo scalare φ si ha che:

φ(C, B) - φ(C, A) = ∫_A^B ∇φ · ds

Ovvero che il campo vettoriale costruito come ∇φ è conservativo infatti i campi costruiti col gradiente sono conservativi.

Le vogliamo possiamo calcolare il campo E.S.:

_E = - ∇_V = (∂_V/∂_{x ûx} + ∂_V/∂_{y ûy} + ∂_V/∂_{z ûz})

= - ∂_V/∂_{x ûx} cioè è diretto tutto lungo il verso _û._x

∂_V/∂_x = q/4πε₀ ∂/∂_x (R_x² + x²)^-1∕2

= q/4πε₀ (-1/2) (R_x² + x²)^{-1∕2 - 1} 2x

= -q/2 1/4πε₀ 2x / (R_x² + x²)^3∕2

ovvero _E = q/4πε₀ R_x + x²)^3∕2

û_x

Per calcolare la derivata parziale di una certa funzione chedipende da più parametri, vuol dire che di questa funzionedi cui sto valutando la derivata la variabile rispetto ad x tutte lealtre variabili è come se fossero delle costanti:

Forze sul dipolo

1. Campo E elettrostatico uniforme

   dove \(\vec{F}_2 = q \vec{E}\) e \(\vec{F}_4 = -q \vec{E}\)

   Il calcolo del moto deriva dalla meccanica classica:

   Eq. cardinali del corpo rigido

   • \(\bar{R}^{(C)} = \frac{d\Theta}{dt} - m \bar{x}\)
   • \(\bar{M}^{(C)}_n = \frac{dL_2}{dt} = I\bar{2}\)

   \(\vec{F}_1\) e \(\vec{F}_2\) sono una coppia di forze

   • \(\bar{R}^{(C)} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = 0\)
   • \(\bar{M}^{(C)}_2\)

   Il centro di massa è fermo

   Il momento delle forze è indipendente dal polo!

   • \(\bar{M}^{(C)}_0 = -\bar{s}_1 \wedge \vec{F}_2 + \bar{n}_2 \wedge \bar{F}_2 =\)
   • \(-q\bar{r}_1\wedge\bar{E} + q\bar{n}_2 \wedge\bar{E} =\)
   • \(= q(\bar{r}_2 - \bar{r}_1)\wedge\bar{E} =\)

Interazione dipolo-carica puntiforme

In un campo E non uniforme

E = E(x)_ûx

E(x) = ¹/_4πε₀ q/r²

E // p con ^p̂ - p_ûx

F = - p dE/dx û_x = ^{2p q}/_4πε₀x³û_x

Dimostra ora due casi:

q>0

• 1. p > 0 → F < 0 Discordi
• 2. p < 0 → F > 0

q<0

• 1. p > 0 → F > 0 Concordi
• 2. p < 0 → F < 0

Il flusso non dipende da r e dΣ ma solo da dΩ

dΣ = r₂ dΩ

d _Σ(E) = q / 4πε₀ dΩ

Nel caso si usasse una superficie aperta:

Φ(ΣE) = 1/2 Φ(ΣE) = q / 4πε₀ Ω

Invece nel caso della superficie chiusa

Ω = 4π

Φ(ΣE) = q / ε₀

Il flusso dipende solo dalla carica contenuta.

Infine il caso delle cariche esterne:

dΦ₁(ΣE) = q₁ / 4πε₀ dΩ

dΦ₂(ΣE) = -q₁ / 4πε₀ dΩ perché ha il verso opposto e quindi è negativo

dΦ₁ + dΦ₂ = 0

INTEGRAZIONE

Φ(ΣE) = 0