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Vettori
Un vettore è caratterizzato da:
- modulo
- direzione (la retta su cui giace)
- verso
SAC = vettore spostamento da A a C. Ogni grandezza fisica che si comporta come il vettore spostamento, è anch'esso un vettore.
Due vettori che differiscono solo del punto d'applicazione sono due vettori identici.
Moltiplicazione contante e vettore a = Kv
- stessa direzione
- stesso verso
- il modulo diventa K volte grande
Il vettore nullo ha modulo pari a zero e non può essere disegnato.
Vettore opposto
Somma
Regola punta coda
Regola del parallelogramma
Uno scalare è un numero privo di unità di misura.
Prodotto scalare
a ⋅ b = c
Il risultato sarà uno scalare, seguito da
Prodotto vettoriale
Il risultato sarà un vettore
Per individuare un piano a cui è essere perpendicolare:
- Con un angolo θ < 180° il pollice indica la direzione corretta
- Con un angolo θ > 180° il pollice indica il verso opposto
- Con un angolo θ = 180° i due vettori sono paralleli o antirellati
Prodotto vettoriale tridimensionale
Un versore è un vettore in uno spazio normato di modulo unitario, utilizzato per indicare una particolare direzione e verso:
Rappresentazione del vettore tramite le sue componenti:
Posto
Altra
Esempio - moto rettilineo esponenzialmente decrescente
Ci chiedono di calcolare, istante per istante, velocità v(t) e posizione x(t).
dv/dt = -Kv(t) => dv/v = -K dt
∫v0v dv/v = ∫t0t -K dt => ln v/v0 = -K t => v(t) = e-Kt v0
x(t) = e-Kt v0 => dx/dt = e-Kt v0
x(t0) = x0 => ∫x0x dx = ∫t0t v0 e-Kt dt
x(t) = x0 + v0/K (1 - e-Kt)
Questo moto è verso in cui l'accelerazione è lenta varia alla velocità.
Moto armonico
Il moto armonico semplice definisce il movimento di un punto materiale che oscilla tra due estremi.
x(t) = A sin (ω0 t + φ)
- A = ampiezza
- ω0 = pulsazione
- φ = fase iniziale
- ω0 t + φ = fase
y(t) | y(x)
x(t) | x(x)
x(t) = v0 t cos 0
y(t) = v0 t sin 0 - 1/2gt2
x = v0 t/cos 0
y(x) = v0 x/v0 cos 0 sin 0 - 1/2 g ( x/v0 cos 0 )2
tan 0 x − 1/2 g/v02 cos2 0 x2
yMAX = quota massima
xMAX = gittata
gittata −> y = 0
gittata −> y(t*) = 0
= v0 t* sin 0 − 1/2 g t*2
t* 0
tempo iniziale
t* = 2 v0 sin 0/g
xmax = x(t*) = v0 t* cos 0 = v0 cos 0 = 2 v0 sin 0/g
= 2 v02 sin 0 cos 0/g
quota massima −> vy = 0
−> vy(t*) = 0 = v0 sin 0 − gt*
−> t* = v0 sin /g
C y(t*) = yMAX = (v0 sin 0)2/g − 1/2 (v0 sin 0)2/g
Esempio
P
0
v0
{
ys = h − 1/2 gt2
xs = d
{
yP = v0 sin t - 1/2 g t2
xP = v0 cos t
la scimmietta sarà colpita quando, per t* avrà
xS = xP | v0 cos t* = d
yS = yP | v0 sin t* − 1/2 g t*2 = h − 1/2 g h/v0 sin 2
t1* = d/v0 cos
t2* = h/v0 sin
tg 0 = h/d
Dinamica
La dinamica è la branca della fisica che si occupa dello studio delle cause che determinano il moto dei corpi. Deriva dal greco "dynamis", ovvero "movimento sotto forza".
Ia legge di Newton
Principio d'inerzia
Se la somma delle forze che agiscono su un corpo è nulla, allora un corpo in quiete rimane in quiete ed un corpo in moto continua a muoversi di moto rettilineo uniforme.
Si evince che un sistema è inerziale se è riferito fisso e solidale con la terra, mentre i sistemi accelerati (ad esempio una bilancia ferma su un treno in movimento) non sono inerziali.
IIa legge di Newton
Principio di proporzionalità
F→ = ma→ [N]
F ∝ a
La forza agente su un corpo è direttamente proporzionale all'accelerazione e ne condivide la direzione ed il verso ed è anche direttamente proporzionale alla massa.
D'altronde, l'accelerazione cui è soggetto il corpo è direttamente proporzionale alla forza ed inversamente proporzionale alla massa.
IIIa legge di Newton
Principio di azione e reazione
Se un corpo A esercita una forza su un corpo B, allora il corpo B esercita una forza sul corpo A uguale e contraria.
N1 = m2g cos α
N = mg
T = m2g sin α ± ma
a = (m2m0 - m1)
(m1 + m2)
Forza d'attrito radente
L'attrito è una forza costante che si oppone al moto dei corpi. In generale, l'attrito radente viene esercitato nel contatto fra un corpo ed una superficie e si manifesta in due circostanze: quando il corpo è fermo sulla superficie e quando il corpo è in moto e a contatto sulla superficie.
Forza d'attrito statica
Rappresenta la forza che bisogna vincere per mettere in moto i corpi da fermi. È definita da:
FASMAX = μSN
0 < FAS ≤ FASMAX
Un attimo prima di muovermi avrà la forza d'attrito statico massimo.
Forza d'attrito dinamica
Rappresenta la forza d'attrito quando il corpo è in moto a contatto con la superficie. Siccome si oppone sempre al moto, ha segno opposto a quello della velocità.
FAD = μDN
0 < μD < 1
In generale, su una stessa superficie, μS > μD. La forza d'attrito dipende strettamente dal vincolo. Posso dire che nel complesso il vincolo esercita la reazione vincolare, con FA e N come componenti.
Esempio:
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