Appunti di Finanza quantitativa (Immacolata Oliva, Stabile Gabriele)

X

X

( )

X

:

Considerando le componenti della colonna

 (1 )

= +, = + ⇒ = − ⋅ + + 2 ⋅ ⋅ − ⋅ =

Se , 0,2 1,2 2,2

( ) (1 )

= − ⋅ + + 2 ⋅ ⋅ − ⋅

0 2 , ,

 (1 )

= +, = + ⇒ = − ⋅ + + 2 ⋅ ⋅ − ⋅

Se , , , ,

 (1 )

= +, = + ⇒ = − ⋅ + + 2 ⋅ ⋅ − ⋅

Se , , , ,

 (1 )

= +, = + ⇒ = − ⋅ + + 2 ⋅ ⋅ − ⋅ =

Se , , , 5,2

(1 ) ( )

= − ⋅ + + 2 ⋅ ⋅ − ⋅

3,2 4,2 1 2

Le componenti a sinistra sono già note mentre quelle a destra sono la maggior parte delle incognite. Per

ricavare quest’ultime sarà necessario separare le grandezze note da quelle sconosciute:

( ) +(1 )

+ ⋅ = + 2 ⋅ ⋅ − ⋅

1,1 0 2 1,2 2,2

(1 )

= − ⋅ + + 2 ⋅ ⋅ − ⋅

2,1 1,2 2,2 3,2

(1 )

= − ⋅ + + 2 ⋅ ⋅ − ⋅

3,1 2,2 3,2 4,2

( ) (1 )

+ ⋅ = − ⋅ + + 2 ⋅ ⋅

{ 4,1 1 2 3,2 4,2

( ) +(1 )

+ ⋅ = + 2 ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅

1,1 0 2 1,2 2,2 , ,

(1 )

= − ⋅ + + 2 ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅

2,1 1,2 2,2 3,2 ,

(1 )

= + ⋅ − ⋅ + + 2 ⋅ ⋅ − ⋅

3,1 , 2,2 3,2 4,2

( ) (1 )

+ ⋅ = + ⋅ + ⋅ − ⋅ + + 2 ⋅ ⋅

{ 4,1 1 2 , , 3,2 4,2

Il sistema così ottenuto può essere riscritto nella seguente forma matriciale:

Vettori delle quantità

note, indicati .

complessivamente con

( )

+ ⋅ − ( )

, ,

( )

− + ⋅ −

, ,

| | | | | | | |

⋅ = + ⋅

( )

− + ⋅ − , ,

( )

( )

− + ⋅ , ,

Vettore delle incognite,

Matrice dei coefficienti, indicato con X.

.

indicata con −1

⋅ = = 2 ∶ = ⋅

Ovvero da cui si ricavano le componenti di

:

Considerando le componenti della colonna

 ( ) (1 )

= +, = + ⇒ = − ⋅ + + 2 ⋅ ⋅ − ⋅

Se 1,2 0 3 1,3 2,3

 (1 )

= +, = + ⇒ = − ⋅ + + 2 ⋅ ⋅ − ⋅

Se 2,2 1,3 2,3 3,3

 (1 )

= +, = + ⇒ = − ⋅ + + 2 ⋅ ⋅ − ⋅

Se 3,2 2,3 3,3 4,3

 (1 ) ( )

= +, = + ⇒ = − ⋅ + + 2 ⋅ ⋅ − ⋅ =

Se 4,2 3,3 4,3 1 3

Costruiamo il relativo sistema:

( ) +(1 )

+ ⋅ = + 2 ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅

1,2 0 3 1,3 2,3 , ,

(1 )

= − ⋅ + + 2 ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅

2,2 1,3 2,3 3,3 ,

(1 )

= + ⋅ − ⋅ + + 2 ⋅ ⋅ − ⋅

3,2 , 2,3 3,3 4,3

( ) (1 )

+ ⋅ = + ⋅ + ⋅ − ⋅ + + 2 ⋅ ⋅

{ 4,2 1 3 , , 3,3 4,3

Il sistema così ottenuto può essere riscritto nella seguente forma matriciale:

(1 )

+ 2 ⋅ − 0 0 ( )

1,3 1,2 0 3

(1 )

− + 2 ⋅ − 0 0

2,3 2,2

| | | | | | | |

⋅ = + ⋅

( ) 0

0 − 1+2⋅ − 3,3 3,2

( )

(1 )

0 0 − + 2 ⋅ 4,3 4,2 1 3

−1

⋅ = = 3 = ⋅

Ovvero da cui si ricavano le componenti di :

In sintesi, ogni colonna che forma la matrice è ricavata risolvendo un sistema di equazioni lineari

In generale A rimane sempre uguale perché è sempre costante mentre sono le restanti componenti a

variare perché non saranno sempre formate dai medesimi valori.

Tale metodo è sempre stabile, oltre che consistente: sarà perciò sempre convergente.

1

(N.B: affinché sia invertibile deve essere sempre diverso da )

2

(La restante parte della lezione è su Matlab)

Lezione 20/04/2021 & Lezione 21/04/2021 & Lezione 22/04/2021 & Lezione 27/04/2021

& Lezione 28/04/2021 & Lezione 29/04/2021 & Lezione 05/05/2021

Lezioni 20-21-22-27-28-29/04/2021 & Lezione 05/04/2021

Data l’equazione di Black-Scholes: 2

1

2

2 (no dimostrazione)

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ −⋅ = 0

2

() ( ) 2 ( )

PDE

È una con le seguenti caratteristiche:

 è di secondo ordine;

 ( 0).

=

è parabolica

Dove:

 (, )

= = ,

prezzo del derivato scritto su un sottostante di valore (prezzo)

[0,

∈ ], < +∞

con e con che è un processo stocastico, in particolare un modello diffusivo a

tempo continuo.

Ha dunque caratteristiche tali da renderla simile all’equazione del calore studiata in precedenza: è possibile

usare le medesime tecniche numeriche in precedenza sperimentate.

Sia:  +

( )

= ( − ) ;

Se fosse un’opzione call (europea),

 ( ) = Pay-off del derivato  +

( )

= ( − ) .

Se fosse un’opzione put (europea),

 = 0,

Poiché l’incognita risulta essere il prezzo del derivato in che è a sua volta una delle componenti della

=

condizione iniziale, useremo, al suo posto, il pay-off del derivato in (perché è conosciuto il valore di

): si parte dall’ultima colonna e non più dalla prima.

2

2

⁄

= (1 2 ⋅ ⋅ )

Altra complicazione è la presenza di un , ovvero l’incognita risulta essere dipendente

+

∈ ).

dal quadrato del processo stocastico (con

Dobbiamo innanzitutto discretizzare , oltre che le diverse derivate parziali; per quest’ultimo punto, per

adesso, possiamo procedere così: [0,

⇒ = ln ( ) ∈ ].

trasformo la variabile normale in una log-normale: con

( assume solo valori positivi)

Da cui derivano: (Questa derivata parziale non si

(, ) (, )

⇒ = modifica di molto perché è fatta

() ()

rispetto a e non a )

(, ) 1

(In parentesi tonde occorre fare la

⇒ = ⋅( )= ⋅

( ) ⁄

ln ( ) 1

derivata di che è appunto )

2 (, )

⇒ = ⋅( ) = =

(vedi trasformazione precedente)

2

( ) ( ) ( )

1

= ⋅( ⋅ )= =

(dovendo fare la derivata di un prodotto di funzioni)

( )

1 1

=[ ⋅[

( )] ⋅ + ( )] =

( ) ( )

2

1 1 =

(applicazione del teorema di Schwartz sulle derivate miste)

= −( ) ⋅ + ⋅ ⋅( )=

2 ( ) ⋅

2

1 1

= −( ) ⋅ + ⋅ ⋅( )=

2 ( ) ⋅

1 1

= −( ) ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅( )=

2 ( ) ( ) ( )

1 1

= −( ) ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅( ) = =

(vedi trasformazione precedente)

2 ( ) ( ) ( )

2

1 1

= − ( ) ⋅ + ⋅( )

2 2 2

Sostituendo i risultati ottenuti nell’equazione originaria ottengo: 2

(, ) (, ) 1 1 1 (, ) 1 (, )

2

2 [−

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ( ) ⋅ + ⋅( )] − ⋅ = 0

2 2 2

() 2

2 2

(, ) (, ) 1 (, ) (, )

2

+⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ (, ) = 0

2

() 2 2

2 2

(, ) (, ) (, )

2 ⁄

+⋅ + ⋅ − ⋅ (, ) = 0 = − ( 2

(Dove ))

2

() 2

PDE

Applichia