Appunti di Finanza quantitativa (Immacolata Oliva, Stabile Gabriele)

Finanza Quantitativa 20/21

(Di Gabriele Stabile & Immacolata Oliva, a cura di Rinaldi Lorenzo)

Modulo da 3 CFU (24 ore) - G.Stabile.

 Richiami di matematica finanziaria.

 Introduzione agli strumenti derivati; in particolare:

[A] contratti forward;

[B] futures;

[C] opzioni.

 Modello Binomiale.

 Valutazione di strumenti derivati sugli alberi binomiali.

Lezione 23/02/2021 & Lezione 25/02/2021

L’obiettivo della matematica finanziaria è quella di valutare importi disponibili in epoche diverse.

Esempio in aula 1 ?

Quanto vale il capitale investito al tempo

=?

|_____________________________________|

La risposta dipende dal:

 tempo trascorso;

 interesse pattuito.

In particolare, si ricordano le seguenti formule:

⇒ () = −

Interesse

⇒ () = +

Montante

⇒ =

Fattore di capitalizzazione

−

=

⇒ =

Tasso d’interesse

[N.B: quest’ultimo è un numero puro perché rapporto d’importi.]

A seconda del modo di calcolare il Montante si distinguono 3 regimi di capitalizzazione:

[1] regime dell’interesse semplice.

= ⋅ ⋅

Essendo:

Dove:

 = tasso d’interesse;

 = durata dell’operazione finanziaria.

= + = + ⋅ ⋅ = ⋅ (1 + ⋅ )

Allora:

⇒ = (1 + ⋅ )

Fattore di capitalizzazione

Esempio in aula 2

 = 1000€ ;

 2 9%.

Operazione d’investimento di per anni al tasso annuo d’interesse al

1000€ M=?

|_____________________________________|

0 2

= ⋅ (1 + ⋅ ) = 1000 ⋅ (1 + 0,09 ⋅ 2) ≈ 1180€

Se l’investimento è relativo ad un semestre, occorre modificare il affinché ci sia coerenza con il tasso ,

perchè quest’ultimo è di tipo annuale. 1

= ⋅ (1 + ⋅ ) = 1000 ⋅ (1 + 0,09 ⋅ ) ≈ 1045€

2

Data la seguente operazione finanziaria:

1000€

1 2

|_________________|____________________|

0 1 2

= ⋅ (1 + (0,1) ⋅ ) = 1000 ⋅ (1 + 0,09 ⋅ 1) ≈ 1090€

1

= ⋅ (1 + (1,2) ⋅ ) = 1090 ⋅ (1 + 0,09 ⋅ 1) ≈ 1188,1€

2 1

1188,1€ > 1180€

Essendo il regime dell’interesse semplice permette l’aumento del montante finale

tramite capitalizzazioni intermedie.

[2] regime dell’interesse composto.

|___________|________|_________________|

… … ..

= ⋅ (1 + )

1 2

(1 )

= ⋅ + = ⋅ (1 + )

2 1

.

.

= ⋅ (1 + )

Esempio in aula 3

 = 1000€ ;

 2 9%.

Operazione d’investimento di per anni al tasso annuo d’interesse al

2

= ⋅ (1 + ) = 1000 ⋅ (1 + 0,09) ≈ 1188,1€

Se l’investimento è relativo ad un semestre occorre modificare il affinché ci sia coerenza con il tasso ,

perchè quest’ultimo è di tipo annuale. 1

= ⋅ (1 + ) = 1000 ⋅ (1 + 0,09 ) ≈ 1044,3€

2

().

Sia dato il tasso annuo d’interesse

Avendo a disposizione tale informazione, vogliamo calcolare il tasso d’interesse semestrale.

Possiamo dunque:

1€

(a) investire direttamente ad un anno;

1€

(b) Investire per 6 mesi e re-investire il montante ottenuto per le ulteriori 6 mensilità.

1 2

|_________________|____________________|

0 1/2 1

Si può quindi scrivere:

2

(1 + ) = (1 + )

1/2

1

⇒ = (1 + ) − 1

2

1/2

ed sono detti tassi equivalenti.

1/2

In generale, sia il tasso d’interesse relativo alla m-esima parte di anno ed quello annuale, allora vale:

1/

(1 + ) = (1 + )

1/

Da cui posso ricavarmi il tasso che è incognito!

Esempio in aula 4

 = 1,18%

 = tasso trimestrale

1/4 4

(1 + ) = (1 + )

1/4 1

⇒ = (1 + 1,18%) − 1 ≈ 0,44%

4

1/4

Esempio in aula 5

 = tasso annuo.

 = tasso mensile=0,31%

1/12 12

(1 + ) = (1 + )

1/12

12

⇒ = (1 + 0,31%) − 1 ≈ 3,78%

Nota che se la durata è superiore all’anno, il montante calcolato con la capitalizzazione composta è

superiore a quello calcolato con la capitalizzazione semplice; si giunge alla conclusione opposta se, al 1€:

contrario, l’operazione ha una durata inferiore all’annualità. Riassumendo, dato un capitale iniziale di

→ (1 + ) = (1 + ⋅ ) = 1

se

→ (1 + ) > (1 + ⋅ ) > 1

se

→ (1 + ) < (1 + ⋅ ) 0 < < 1

se

Graficamente:

Dal punto di vista dell’investitore conviene investire secondo la capitalizzazione semplice per operazione

finanziarie con durate inferiore all’unità di anno, altrimenti conviene sfruttare la capitalizzazione composta.

= 1 2

Per è indifferente la scelta tra i regimi.

Per tasso nominale convertibile volte l’anno s’intende:

( ) = ⋅

1/

Esso è un metodo finanziariamente scorretto per calcolare il tasso d’interesse annuale.

Ricordando che: ()

(1 + ) = (1 + ) = (1 + )

1

Da cui si ricava che: 1

( ) = ⋅ ((1 + ) − 1)

Utilizziamo il seguente scadenzario:

|___________|________|_________________|

/ / … … ..

1/ 1/ … … ..

Ampiezza intervallo:

Vogliamo studiare il seguente limite:

1

( )

lim = lim ⋅ ((1 + ) − 1) = +∞ ⋅ 0

→+∞ →+∞

→ +∞ 1/ ≈ 0

[N.B: Se accade che , ovvero l’ampiezza degli intervalli tende ad annullarsi]

(+∞ ⋅ 0)

Per risolvere la forma indeterminata si vedano i seguenti passaggi.

1

=

Se il precedente limite diventa:

1 (1 + ) − 1

lim ⋅ ((1 + ) − 1) = lim

→0 →0 0

Ottenendo la forma indeterminata si può dunque applicare il teorema di De l’Hôpital; dunque,

0

sfruttando anche ulteriori trasformazioni algebriche:

ln ((1+) ) K⋅ln (1+) K⋅ln (1+)

−1 − 1 ⋅ ln (1 + ) ln(1 )

lim = lim = lim = + =

1

→0 →0 →0

Dove è detta intensità istantanea d’interesse o forza d’interesse.

Da cui:

ln(1+)

=

= − 1 ⋅t

⇒ = ⋅ (1 + − 1) =. . . = ⋅

Si ottiene il regime dell’interesse composto nel continuo [2.a].

Esempio in aula 6

Siano:

 = 500€

 = 150€

 = 6 (anni)

?

Quanto vale

Semplicemente:

= + = 500 + 150 = 650

= ⋅ (1 + ) 6

→ 650 = 500 ⋅ (1 + )

1

⁄

→ = (650 500) − 1

6

Esempio in aula 7

(Dati uguali all’esercizio precedente)

 = 7,5%

Qual è il che raddoppia il capitale investito?

2 ⋅ = ⋅ (1 + 7,5%)

ln(2) = ⋅ ln (1 + 7,5%)

ln(2)

→= ln (1 + 7,5%)

[3] regime dello sconto (o di attualizzazione).

Tale regime permette il calcolo del capitale investito dato un certo valore del montante.

?

|_____________________________________|

0

Combinandosi con il regime [1]:

M

→= (1 + ⋅ )

Combinandosi con il regime [2]:

M

→=

(1 + )

Combinandosi con il regime [2.a]:

−⋅t

→ = ⋅

Regime dello sconto commerciale [3.a]:

= ⋅ (1 − ⋅ ) =

con tasso di sconto commerciale.

Valore di un cashflow→ consideriamo un flusso d’importi scadenzati nel tempo e che vi sia una struttura

piatta dei tassi d’interesse (ovvero che sia costante):

… … … … … . … … … … …

Importi: 0 1 2 3

|______|_____|______|____________________|

0 1 2 3…………….……………

Tempi:

 −1

()= ⋅ (1 + ) + ⋅ (1 + ) + ⋯ +

Valore finale 0 1

 −1 −

()= + ⋅ (1 + ) + ⋯ + ⋅ (1 + )

Valore attuale/iniziale 0 1

= 0

In particolare il può essere considerato come il prezzo equo da pagare al tempo per ottenere il

{ , , … . , }.

flusso d’importi 0 1

̃ ̃

= { , , … . , } = { , , … . , }

Dati due flussi d’importi e essi sono detti equivalenti se producono

0 1 0 1

il medesimo valore attuale.

Infine, il ed il sono legati dalla seguente relazione: −

= ⋅ (1 + )

Il tasso individua il prezzo del denaro ad un certo istante e si forma da dinamiche di mercato che sono

molto più complesse rispetto a quelle che si muovono su un semplice C/C.

Se per un dato strumento finanziario esiste un mercato che consente di scambiarlo allora questo prende il

nome di titolo finanziario.

I titoli finanziari si distinguono in:

[A] Titoli a rendimento certo ( bond )

<< >>

Essi permettono al possessore un rendimento certo in un prestabilito arco temporale. Appartengono a tale

categoria i titoli statali, quali, ad esempio, i buoni del tesoro USA (o Treasury Bill) che sono emessi alla pari,

10.000 $ 13 52

in tagli da e con una durata che varia dalle alle settimane, oppure i Treasure Notes con una

1 10 1000 $

durata variabile da a anni, con un taglio minimo di e con cedole costanti semestrali, che

rappresentano il pagamento degli interessi.

Esempio 1:

 $

Valore nominale (o rimborso a scadenza) del Treasury Bill =10.000

 9500$

Prezzo d’emissione=

 Emissione sotto la pari.

= 10000 − 9500 = 500 $

Per cui:

Nel mercato finanziario italiano spiccano quelli di tipo obbligazionario. Questi concedono al loro possessore

di ricevere una serie di pagamenti, in base a regole specificate nel momento d’emissione. A scadenza,

l’importo finale è detto valore nominale a scadenza. Le cedole sono calcolate come una percentuale del

valore nominale e possono essere periodiche, se presenti.

Esempio 2:

 €

Valore nominale =1.000

 9%

Cedola=

 ⋅ 1000 = 90€

Importo Cedola annuale =0,09 90

= = 45€

Se la cedola fosse corrisposta ad ogni semestre 2

L’ultima cedola, quella a scadenza, sarà accompagnata dal rimborso del capitale iniziale (detto sempre valore

nominale): +

|_________________|____________________|

0 1/2 1

È possibile vendere un’obbligazione anche prima della sua naturale scadenza, tramite i cosiddetti mercati

secondari.

Abbandoniamo ora l’ipotesi che il tasso sia costante, ovvero che la struttura dei tassi sia piatta:

supponiamo che ad ogni scadenza sia associato un tasso differente. Il valore di ogni tasso infatti dipende

dal periodo per il quale i fondi sono trattenuti dell’emittente. Si distinguono in:

⇒

Tassi a spot (o a pronti) sono i tassi che definiscono la struttura a termine: detto il tasso, solitamente

= 0 = .

annuo, d’interesse applicato al denaro trattenuto in prestito dall’emittente al tempo fino a Per

cui si avrà:

→ = 1

tasso d’interesse ad anno;

1

→ = 2

tasso d’interesse a anni;

2

→⋯

Esempio 3: 0 2

Investo al tempo un capitale pari a per anni, il montante sarà:

2

= ⋅ (1 + )

2

I tassi spot sono quindi anche influenzati dal regime d’interesse scelto:

→ (1 + ) se il regime è dell’interesse composto;

⋅ 1

→ * se il regime è continuo;

I tassi spot si calcolano a partire dai titoli senza cedole, oppure detti Zero Coupon Bond (ZCB). Supponendo

che uno ZCB segua il seguente scadenzario:

|____________________________________|

0

Dunque: 1

* Nella terminologia Anglo-Sassone non vi è

alcuna distinzione tra un tasso e la sua intensità

.

istantanea

= ⋅ (1 + )

/ = (1 + )

1/

= (/) − 1

E si procede in tale modo per ogni scadenza, fino a ricavare l’intera curva dei tassi spot:

Definiti i tassi spot è possibile ricavare i relativi fattori di sconto (o di attualizzazione) con la seguente

formula: 1 −

= = (1 + )

(1 + )

= + ⋅ + ⋯ + ⋅

Da cui il Valore Attuale diventa: 0 1 1

,

Se per talune scadenze sono assenti i rispettivi è possibile usare i titoli obbligazionari con cedola per

calcolare il valore di un generico :

+

|_________________|____________________|

0 1 2

+

= +

1 2

(1 + ) (1 + )

1 2

[N.B: è un tasso conosciuto.]

1

Da cui: + 1/2

= ( )

2 1

− [/(1 + ) ]

1

E si procede così per ogni scadenza, fino a ricavare l’intera curva dei tassi spot.

⇒

Tassi forward sono i tassi d’interesse applicati a denaro che verrà preso in prestito tra due date future, ma

a condizioni concordate oggi.

Sia data la seguente operazione finanziaria: 2

1€ (1 + )

(a) investo direttamente a 2 anni. Ottengo: 2

1€

(b) Investo per 1 anno e re-investo il montante ottenuto per l’ulteriore annualità. Il reinvestimento risulta

svolto secondo un tasso (=forward) definito oggi stesso.

1 1

(1 + ) (1 + ) ⋅ (1 + )

1 1 ,

1 2

|_________________|____________________|

0 1 2

Se vale l’ipotesi di assenza di arbitraggio: 2

(1+ )

2 1 2

(1 + ) = (1 + ) ⋅ (1 + ) ⇒ = −1

2 1 1,2 1,2 1

(1+ )

1

I tassi forward si determinano tramite l’apposita struttura dei tassi a pronti.

[N.B: se si potesse praticare arbitraggio si può realizzare un profitto certo; ad esempio se si avesse la

2 1 (1 )

⇒ (1 + ) < (1 + ) ⋅ +

seguente circostanza potrei prendere in prestito un capitale al

2 1 ,

1 2 1

2 (1 + ) ⋅ (1 + )

tasso per anni ed investire ai tassi ed . A scadenza ottengo

2 1 , 1 ,

1 2 1 2

2 1 2

(1 )

(1 + ) ; (1 + ) ⋅ + − (1 + ) > 0]

e restituisco il mio profitto è pari a:

2 1 , 2

1 2

Esempio 4:

 = 7%;

1

 = 8%.

2

Applicando la formula in precedenza ricavata:

2

(1,08)

= − 1 ≈ 9,01%

1,2 1

(1,07)

In generale dunque:

(1 + ) 2

− 1/( − )

2

(1 + ) = (1 + ) ⋅ (1 + ) ⇒ = [ ] −1

2 1 2 1 2 1

, ,

2 1 1 2 1 2 (1 + ) 1

1

Se la capitalizzazione fosse continua: ⋅ − ⋅

2 1

⋅ ⋅ ⋅( − ) 2 1

= ⋅ ⇒ =

2 2 1 1 1,2 2 1 ,

1 2 ( − )

2 1

[B] Titoli a rendimento incerto ( stock )

<< >>

Appartengono a tale categoria i titoli scambiati in borsa.

[C] Titoli derivati

Sono titoli il cui valore dipende da un qualche sottostante, solitamente rappresentato da uno stock.

Esempio 5: +

0 1 1

|____________________________________|

0 1

Dove:

 ⇒ = 0.

prezzo del titolo al tempo

0

 ⇒ = 0.

prezzo del titolo al tempo

1

 ⇒ = 1.

dividendo rilasciato dal titolo al tempo

1 +

1 1 .

Il rendimento associato al titolo risulta pari a:

1

( + )−

1 0

1 =

Il tasso di rendimento sarà:

0 0

Correlate a tale esempio sono le vendite allo scoperto. Il loro uso dipende dalle aspettative che si hanno sui

prezzi dei titoli: solitamente è associata ad aspettativa ribassista, ovvero si ha un forte sospetto che il

prezzo di domani sarà più basso di oggi. Tali strategie non sono sempre consentite.

Esempio 6:

 = 20

0

 Avendo un’ottica ribassista, mi faccio prestare un titolo con l’impegno di re