Appunti Finanza aziendale

Portafoglio di n titoli

Questa formula ci dice che possiamo costruirci un portafoglio che ha un valore minimo di rischio quando costruiamo x tale che porterà a 0.

Quando abbiamo un numero elevato di titoli e facciamo una strategia di investimento molto semplice, quando non abbiamo informazioni sui rischi degli investimenti, e investiamo lo stesso ammontare su ciascun investimento, avrà un peso pari a 1/n. Dobbiamo focalizzarci sul rischio, andremo a vedere la formula sull'indice di covarianza (per semplicità rispetto all'indice di correlazione). Per levare il termine della sommatoria, dobbiamo prendere la formula della misura della varianza media.

1/x = (1/n) * Σ(σ_i²)

strategia di investimento, rappresenta il fatto che quando faccio un portafoglio di investimenti dei titoli perfettamente correlati o negativamente perfettamente correlati non li trovo mai, trovo sempre dei titoli negativamente correlati, ma sarà qualcosa di maggiore di zero è il limite massimo sarà il valore di covarianza media per avere il rischio.

Frontiera efficiente: Il modello di Markowitz è un modello media-varianza del portafoglio, utilizza le formule per partire da un set di investimenti, per comporre dei portafogli che si vanno ad aggiungere e per poi ragionare su quelli dati per capire che portafoglio è migliore dell'altro in base a vari soggetti avversi al rischio (massimizzare il rendimento dato un livello di rischio oppure minimizzare il rischio dato il livello del rendimento) quei punti ci permettono di capire che investimento fa per me date le mie decisioni di comportamento, trovato un punto tiro quattro assi cartesiani dove identifichiamo

4 quadranti per valutare le scelte di investimento.

2° quadrante: Alto rendimento con rischio più basso

1° quadrante: Alto rendimento con rischio più elevato

3° quadrante: Basso rendimento con rischio più basso

4° quadrante: Basso rendimento con rischio più alto.

Se il soggetto è avverso al rischio il quadrante che interessa sarà il secondo dato il punto scelto come iniziale, se ci sta qualcosa in alto a sinistra avremo un portafoglio dominato cioè che ha un trade-off rendimento-rischio migliore. Il portafoglio dominante è quando quel punto che abbiamo preso non ha niente in alto a sinistra.

Markowitz crea la frontiera efficiente, cioè l'insieme dei portafogli dominanti, se quella è la situazione l'investitore sceglierà i punti sulla frontiera escludendo i punti sub-ottimali. L'investitore sceglierà tra quei punti in base al suo livello di propensione al rischio (cioè

termini di differenze incrementali (quanto voglio se aumenta il rischio).

Lezione 10: Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Un modello di valutazione del rendimento di un portafoglio di attività non può portare a scelte di investimento che siano unicamente dipendenti dalla funzione di utilità dell'individuo. Il modello di Markowitz quindi è stato modificato in modo da identificare una soluzione ottimale di investimento per tutti gli operatori e offrire l'opportunità di effettuare un pricing delle attività rischiose.

Capital Market Line: Nel caso di un portafoglio combinato da un titolo privo di rischio e attività rischiose. Le formule della lezione precedente sono utili per calcolare il rendimento e il rischio del portafoglio:

∑( ) ( )=E R x E RP i ii=1√ n n n∑ ∑ ∑2 2( )= +σ R x σ x x σP i i i j iji=1 i=1 j=1

Andiamo a vedere un caso particolare dove abbiamo soltanto due attività, la

primavariabile che è quella senza rischio (rf= risk free), il secondo è quella del portafoglio(p) preso da un punto della frontiera efficiente di Markowitz nella teoria del portafoglio.Faccio un particolare investimento dove metto un tot di risorse nel titolo senza rischioe un tot nel portafoglio rischioso, e vado a vedere le misure di rendimento e dideviazione standard.

=x =1−xx 1 rf p=xx 2 p

Vado a sostituirle nelle formule del rendimento e della deviazione standard e varianza.

Sapendo che il rischio del titolo senza rischio è pari a 0 (evidenziati in giallo e verde)andremo a semplificare. I risultati saranno che il rendimento sarà pari a (1 meno ilpeso del portafoglio rischioso, perciò il peso del titolo risk free) moltiplicato per ilrendimento del titolo risk-free più il peso del portafoglio rischioso moltiplicato per ilsuo rendimento:

n∑( ) ( ) ( )= = +E R x E R 1−x r x rP i i p rf p Pi=1

E il rischio sarà il prodotto

tra il peso di quanto investo nel portafoglio rischioso moltiplicato per la sua deviazione standard (se varianza elevare tutto al quadrato):√ n n n √ √∑ ∑ ∑2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )= + = + +2 = =xσ R x σ x x σ 1−x σ x σ 1−x x σ x σ σ

P i i i j ij p rf p p p p rf , P p p p pi=1 i=1 j=12 2 2 2( ) ( )= =xσ R x σ σP p p p p

Nel grafico quello che troviamo fino al limite di P, sono degli investimenti dove ho una parte della ricchezza investita nel titolo risk free e una parte nel portafoglio rischioso, sto ripartendo la ricchezza in termini percentuali, quando vado oltre p abbiamo uno scenario particolare dove sto investendo a leva, sto acquistando più del 100% di p, e lo sto facendo indebitandomi al tasso privo rischio (importi superiori rispetto al limite disponibile). I punti che si trovano sopra p, per Markowitz non sono efficienti (tirando i quattro assi cartesiani sul punto e