Appunti, Esercizi e Prove d'esame Meccanica Razionale

MECCANICA RAZIONALE

Esonero: prova scritta ed esonero della seconda prova unità teorica. Solo la seconda è valutata.

VETTORI

Molte grandezze fisiche vengono descritte non solo da un numero reale, ma anche da orientazione iniziante e verso. A volte anche da un punto di applicazione. In questo modo nascono i vettori. I vettori APPLICATI sono rappresentati da segmenti orientati di cui viene detto un punto ed un altro che sia orientato in essi. I vettori LIBERI non hanno un punto di applicazione preciso. In essi fanno delle relazioni di equivalenza tra segmenti, la relazione di equivalenza è dettata:

• AB e CD sono due vettori applicati orientati se AB = CD sono detto lo stesso vettore libero.
• Le relazioni di equivalenza di vettori equivalenti: i vettori devono essere inclusi con _u e _v oppure, B-A.

Per i vettori applicati la notazione è in caso con AB = CD oppure (opposto): (A,_v) dove A <= punto di applicità <= v verticale, vettore libero.

Le grandezze fisiche si assumono tra loro come i vettori. 1) Chiusura del Triangolo: AB + BC = AC

_{La definizione funziona solo per vettori inclusi non per i vettori liberi.}

2) Parallelogramma: AB + AC = AD

_{La diagonale del parallelogramma è la somma anche qui funziona per vettori con lo stesso punto di applicazione.}

Per definire la somma tra vettori liberi _u, _v, posso dire rappresentanti applicati, in modo che il rappresentante di v:

1. Sia dato con il sistema del rappresentante di u

   Posso chiudere il triangolo, la somma di equivalenza del vettore somma è la somma dei vettori liberi iniziali.

   _u + _v = _w non dipende dal punto in cui lavora perché ci sono tutti equivalenti.
2. Allo stesso modo può essere usato il metodo con il parallelogramma

Nel prodotto per uno scalare λ viene modificata l'intensità e può cambiare il verso

λ_o^→ = A'B'^→

Il vettore nullo è il vettore O = AA^→ dove il punto di applicazione coincide con l'estremo.

Il prodotto per lo scalare è associativo:

(aλ)^→ = a(λ^→)

(λμ)_o^→ = (λμ)^→

λ_o^→ = a^→

1_o^→ = a^→

La somma è associativa:

a^→ + (b^→ + c^→) = (a^→ + b^→) + c^→

a^→ + o^→ = a^→

La somma è commutativa:

a^→ + b^→ = b^→ + a^→

a^→ + (-3)^→ = o

Prodotto scalare

a^→・b^→ = |a||b|cosθ

dove θ è l'angolo compreso tra i vettori. Si può anche scrivere:

∠(a^→, b^→)

Può essere nullo se: uno dei vettori è nullo o θ è angolo retto.

In questo caso i punti:

a = a^→, a^→・b^→ - b^→・c^→

(a^→・b^→) - (b^→・c^→) = 0

(a^→ - c^→)・b^→ = 0

Un versore è un vettore di modulo unitario e si indica con "^"

a・v = a^→・v^→・a_n^→

(a^→ + b^→)・b = a^→ + a^→・b^→

a^→ ・ a^→ = a^→ > 0

se a non è il vettore nullo.

Dove i vectori sono A = A^→ e

u^→・v^→ = |a|||a^→ cosθ

A'B'^→・v^→ &=amp;zeta;^→(c^→)a^→

Dato un insieme di vettori

Il risultante: è il vettore dato dalla somma di tutti i vettori dell'insieme

Momento risultante rispetto ad un punto detto polo, o:

Legge di trasformazione del momento

Come cambia il momento se cambio il polo? Prendiamo un punto o1,

Se cambio il polo, il momento differisce per un valore Rende lo stesso polo se : R=0 / O=O1 / r=(O-O1)

Dato un secondo insieme S ed S' si dicono equivalenti se

se coincidono rispetto ad un polo, coincidono per ogni altro polo

per i corpi rigidi rotanto se eq. cardinali. I° scrittura: Se SR serve per semplificare la soluzione di un problema nominato problema. 2 o 3 riduzione delle temporiazioni.

La coppia è il caso più semplice di un insieme che ha risultante nullo. Le vettore e il verso dell'uno è dell'altro sono opposti. La distanza tra le due rette è proprio l'altro braccio della coppia

se cappiamo le momen 'di una coppia, formano avere infinite coppie che generano lo stesso momento

Un insieme è equivalente a zero se Rs = 0 e Mo,s = 0

Quelle trasformazioni: 1. Aggiungere o togliere una coppia genera o nulla 2. Se ci sono più vettori applicati con lo stesso punto si possono sostituire con la loro somma

∥u∥²x²-2(u∙v)x+∥u∥²∥v∥²≥0

al più questo polinomio avrà una sola radice

Δ=4(u∙v)²-4∥u∥²∥v∥²≤0

=>(u∙v)²≤∥u∥²∥v∥²

(u∙v)≤∥u∥∥v∥

è la disuguaglianza più importante di tutta la matematica.

DISUGUAGLIANZA DI CAUCHY-SCHWARZ

Noi la usiamo per trovare una proprietà del modulo di un vettore

∥(u+v)∥²=(u+v)∙(u+v)

=∥u∥² + 2(u∙v) + ∥v∥²

≤ ∥u∥² + 2 ∥u∥ ∥v∥ + ∥v∥²

≤ (∥u∥ + ∥v∥)² = (∥u∥+∥v∥)²

=>(∥u+v∥) ≤ (∥u∥ + ∥v∥)

Disuguaglianza Triangolare:

esprime il fatto che in un triangolo ogni lato è < della somma degli altri due

in un triangolo la distanza tra due lati è sempre minore di molto del terzo lato

Noi vogliamo fare i limiti:

lim t→t₀ u(t)=v ⇔ lim t→t₀ ∥u(t)-v∥=0

passiamo da vettori a numeri lo stesso, perciò la proprietà dei limiti rimane invariata

Vogliamo anche fare la derivata (un limite particolare)

u'(t₀)=lim t→t₀ (u(t) - u(t₀)) ÷(t-t₀)

Veniamo che la sua proprietà resterà invariata

(u∙v)'=u'∙v+u∙v'

se u ⊥ cos

(u∙v)'=lim t→t₀ (u(t)∙v(t)-u(t₀)∙v(t₀)) ÷(t-t₀)

=lim t→t₀ (u(t)∙v(t)-u(t)∙v(t) + u(t)∙v(t) - (u(t₀)∙v(t))) ÷(t-t₀)

=lim t→t₀ (u(t)-u(t))∙v'(t)+∥u(t) •v(t) - u(t)'∙v(t) + u(x)∙v'(t)

Che sono 3 numeri doppi! e 3 singoloni! Quindi hanno 6 gradi di libertà

0 - 0' = C_s ã₁ + ã₁ C_s ã₃

Voglio conoscere P - O • (O - O') + (P - O')

Σ_m=2 ã_m ⁵ ã_m + Σ_k=1 ⁵ Y_x j_k

Σ_m=2 ã_m⁵ ã_m = Σ_k=2 Σ_l=3⁵ α_k α_l

• dove trova la nuova origine
• come sono calcoli nuovi ormi
• (i nuovi calcoli, vi sono interpretati)

Di quanti punti ho bisogno per sapere dov'è il corpo in ogni I momento? 6 punti! Infatti il corpo rigido ha 6 gradi del libertà! Ci vogliono 6 punti per determinare la posiIzione ed orientamento nello spazio. Se si come il corpo, un SDR mobile rispetto ad un SDR fimo allora se come il morrico in un campo di giòeo. Come la as derivato rispetto al tempo di un vettore che si muove! Va introdotta la vexotà un solore

d/dt j_x = ?

se SDR è fisso trov x in funzione del modo il SDR è mobile x in funzione del tempo x cambè è inespire in ogni istiante

∧ j₁ (t) ∧ j₂ (t) ∧ j₃ (t) posioniamoli:

∃ˊ w(t); d/j_x (t) = ˊw(t) × j_x (t)      k=1,2,3

ˊw è detta velocita aspolare di s rispetto ad S

La velocità aspolare è un SDR di un corpo rigido Non ha senso parlare di velocità aspolare di uno corpo avverso da un SDR mobile in un campo rigido

FORMULA DI POISSON

d/dt j_k = ˊw × j_k

Dim. (Facile per J, difficile per Tuti = Ten)

w × j_k = d/dt j_k

j_k ⊥ d/dt

j₁ ∨ j₂ = O => d/dtⁿ = d/dt (j₁ ∨ j₂) = j₁ ∨ ÿ + j₁ ∨ dj₂ /dt

        = ↣ (w_z × j₃)_z + j₂ (w_z × j₂)_z

        = -(j_x × ÿ_x) w_z - (j₃ × j₂) w_z + d/dt(O)

d/dt O = O

                => w_z² ∩ ¹ j_x ∪ j₃ = (j₁ × j₃²)_z

                 w_x è lungo j₃ hanno la stima componente