Meccanica Razionale T - Prove d'Esame - Parte 2

Prove d'Esame

3)

I = I_ad = I_g + 1/2 mG₁ + 1/2 I_Gω_a

V_a² = x_a² + y_a² = (ẋ_a - θ̇ ℓ cosΘ)² + (ẏ_a - θ̇ ℓ senΘ)² - 2ℓθ̇(ẋ_a cosΘ + ẏ_a senΘ)

= 2ελa sinΘ

I = (x_a - θ ℓ), V = ω, Θ = 0

I_a = mℓ²(x_a - θ̇ ℓ), ẏ_a = ẋ_a cosΘ

I_o = 2/3 mℓ² θ̇

K_o = mBG ⋀ V_B + I_oω̇

BG = 3/2 e_z

I_o = m(2ℓ)² = 4/3 mℓ² = momento di inerzia di un'asta lunga 2e rispetto ad un'asse ad un'arte t pesante per b in torsione

ω̇ = θ̇

K_o = mℓ² (ẋ_a cosθ + ẏ_a senθ) k + 4/3 mℓ² θ̇ k

4)

Scriviamo le equazioni di Lagrange del moto.

L = funzione lagrangiana - T + U

I = d/dt (∂L/∂ẋ_n) - ∂L/∂z_n = 0

• ∂T/dt = (d/dt (∂T/∂ẋ)) = 2m ẋ̇ - mℓ (cosθ - sinΘ) θ̇ - mℓ(sinθ + cosθ) θ̇
• ∂T/∂θ = mℓ₂ (senθ + cosθ) θ̇; (d/dt (∂L/∂θ̇)) = 4/3 mℓ²θ̇ - mℓ (cosθ - 2senθ)
• ∂T/∂z = mℓ (x_a cosθ - sinθ) θ̇ + 2m ẏ ℓ + mℓ (cosθ - sinθ) θ̇

Sistema non lineare

| i | ~R~ | t / Λ |

+(cosα, cosα(3α)) = | j₁ | RT

• i = 1/2
• k = 1/2
• i/Λ | j = t / √2
• Λ = 1/2
• i | k = √2/2
• t | = √2/2

H = ( _h/³ - ℓ/₂ ) mg cos θ + mg y₀ sin θ

U = mg sin θ ( _h/³ - ℓ/₂ ) + mg

U(P₁) = ( _h/³ - ℓ/₂ ) mg cos θ + mg y₀ sin θ

H(P₁) = ( _h/³ - ℓ/₂ ) mg = _{m² g²}/^2ℓ

e quindi mg ( _h/² - ℓ) > 0

U(P₁) = ( _h/² - ℓ ) mg y₀

U_(P1) = ( _h/² - ℓ ) mg = 0

U_(P2) = ( _h/² - ℓ ) mg H(P₂)

U_(P1) = ( _h/² - ℓ ) mg = 0

H(P₂)

La posizione si definisce in equilibrio quando y_ℓ e θ = π

{ _∂U/^∂θ = 0 ∀ θ ∈

{ _∂V/^∂θ = 0

sin θ = ( _h/³ - ℓ ) mg = cog → θ = 0, θ = π

cos θ ≥ 0 ⟹ θ = 0 ⟶ _h/^ℓ

U equilibrio se ha per P ≡ ( θ = 0, y_ℓ = ℓ ) . Sostituendo si arriva

Cos

2) Calcolare la reazione vincolare che si esercita nel punto P sul equilibrio

{ R_(eα) = 0

υ: F_vy + Φ_py = 0

R_x = - _m g ( y sin_θ/^ℓ) ∝ y = ℓ₁ F_x = 0

- _m g ( y sin θ ) ∝ p = m

u:

R' ≡ F_υ + Φ_υ = 0

R_υ = F_eυ = 0

Calcolare il momento di inerzia della funivia rispetto al lato da lascia di

3) energia totale sul sistema

_P2) \left( \begin{array}{cc} 0 & mg \\ mg & 2k \end{array} \right) \Rightarrow \det \mathcal{H}(P2) = -m^{2}\beta^{2} < 0 \quad \text{POSIZIONE INSTABILE}

\mathcal{H}(_P3) \left( \begin{array}{cc} mg & 0 \\ 0 & 2k \end{array} \right) \Rightarrow \det \mathcal{H}(P3) = m^{2}\frac{\beta^{2}}{1} > 0 \quad \text{POSIZIONE STABILE}

\mathcal{H}(_Pu) \left( \begin{array}{cc} (mg)^{2} & (mg) \\ (mg) & 2k \end{array} \right) \Rightarrow \det \mathcal{H}(Pu) = m^{2}\frac{\beta^{2}}{1} > 0 \quad \text{POSIZIONE STABILE}

Soluzione di equilibrio delle posizioni di confine.

\rho < \ell \quad se \ p = \ell \qquad \qquad \qquad \qquad \sin(\theta_{1}) = 1 \frac{2k\ell}{mg}

\frac{\partial}{\partial |p-r|} = 0 \Rightarrow mg\cos\theta = 0 \   \Rightarrow \   \theta_{1} = \frac{\pi}{2} \   \theta_{2} = \frac{3}{2}\pi

\sin(\theta_{2}) =-1 = \frac{mg}{2k} \quad   \Rightarrow \   \theta_{3} = \frac{3}{2}\pi

\rho = \ell \quad se \     p = \ell   \Rightarrow \   mg\cos\theta = 0

Le posizioni di equilibrio sono :   \{ P_{1} : \theta_{1} = \frac{\pi}{2}   \rho = e \}   \quad     2k\ell \le mg

P_{2} : \theta_{2} = \frac{\pi}{2} \quad \rho = e - 1 \} \qquad \   2kr^{2} \le 1 \frac{mg}{2k} \quad   \rho = e

2) Usiamo le equazioni cardinale della statica per trovare le posizioni di equilibrio. Usiamo la base del versore \hat{n} e \hat{t}

Ricominciamo tutte le forze lungo \hat{n} :

p\   \Rightarrow   \   mg - mg \sin\theta \hat{t} · \hat{n}   \   \Rightarrow   \   F\   \Rightarrow \   \   m\   &Rightarrow     \hat{n} \Rightarrow 0.

\hat{t} &Rightarrow 0

H_P(r) = [^k_k kt] H_N(r) = [^k_{k(2k² - k)} - kt] ⇒ det H(r) = 2k₂r² - k² > 0 posizione stabile    ed omogenei J₀⁰ = J₂⁰ (2) Usiamo le equazioni cardinali della statica per ritrovare la relazione di equilibrio e calcolare d_Φ { ^R_G[...]^lev (m_{tlev)^lev { 0 (...)^lev - Pa0 + Fel = ^F + ^Φ = 0          (Qu ha componenti solo lungo GnF + GB Fe + M = 0 ) equatione per G, per ottenere un' equazione per a con esempio e [Article uninterpretable -or- atop Πal.Pas)] x = Fex + F = 0 ⇒ k (x + F cos Θ ) = F y = - mg + Fey +dy = 0   - mg - k (sin Θ - 2 e) + Φy = 0 Gf: Gn−F+Gb*FE+m=0 Gf: GN + F + GB Fe + M = 0 U= { o}{   -} UN* F = | ⁰0 ⁰K | F E seno k F           ⁰0       [ ⁰K ] GB=Fe^Ũ = [cos Θ{ }^{sin Θ}0] - k E cos Θ ¹}

- k F (x + F cos Θ)^k + k [(x + F cos Θ) sin Θ^̃k - (2kE)^Θ cos F k x sin Θ^γf k (x + F cos Θ)= F per primo [Article uninterpretable -or- top Article] mg m fe {course[m g][ dy=0.]}

(3) Scriviamo le equazioni cardinali della dinamica e calcoliamo la reazione vincolate B: per evinare le molle { m(a_φx) = apparition [Article uninterpretable -or- top Article] _G Ka= α x̛t + j k^π = F = n(m_{ma G = mta G n a m=.. - π[Article uninterpretable -or- top Article] =}

x: m(ℓ/2 sinθ + k cosθφ̇) = f_x + k(ℓsinφ̈ - ℓθ̈φ)

y: m(ℓ/2 cosθφ̇ - k sinθθ̇φ) = Φ_gy - mg + k(-ℓcosθ̇ + ℓcosφ)

→ f_x = mℓ/2 sinθ + 2kcosθφ̇φ̈ - 2k(sinφθ̈ - k̇θ̇φ)

Φ_y = mℓ/2 cosθφ̈̇ + mg + k(-ℓcosθ + ℓcosφ) - kθ

Equazioni cardinali della dinamica per asta AB

m_AB = k/(φ_c + φ_i)

Φ_py + p_AB

ẋ: m(ℓ/2 sinθφ̇̇ + kℓcosθφ) = f_x + k(ℓsinφ̇ - ℓθ̈̇φ)

y: m(ℓ/2 cosθ̇φ̈ - ksinθφ) = Φ_gy - mg + k(ℓcosφ̇ + ℓcosθφ̈)

x_H = ℓ/2 cosθφ̇

x_H = ℓ/2 sinφ̈φ - ℓ/2θ̈φ

y_H = ℓ/2 sinφφ̇̇

y_H = ℓ/2 cosφ̈θ

λ_P = ℓ/2 sinφ̈θ̇

f_x

y: mℓ/2 cosθφ̇²̇ = mg + k(ℓcosθ + ℓθ̈φ)

(4) Sia k = mg/ℓ: Ricavare le equazioni dei piccoli oscillazioni intorno

della posizione di equilibrio statale e calcorare le frequenze elementièche.

T= T_a + T_oo = 1/2 mℓ²θ̇ + 1/2 θ̇ω_a +

+ 1/2 mℓ²φ̇θ + 1/2 I_Hω_φ̇ →

via di König

V₂ = ẋ_a + y² =1/2 cosθφ + ℓ/2θ̈φ + ℓ²/2θ̇

V_H = ẋ_H + y² = (ℓ/2 cosφ + ℓ/2 sinφ) + ℓ²/4φ +

I_φ = I_H + mℓ ℓ/12

ω_φ̇ = φ̇²

q̇²₂ = - Ḣ_Q + q̇ →

x = mωℓ/2²

y = mωℓ/2²

a_T = Ḣ(ℓ₂)

â_2Q = ℓ²/2

(0 1ψ̇ = q̇ + q̇ = Ḣ(ℓ₂)

(mωℓ/4²) = (mωgℓ/2, kℓ², 0, mωℓ)

(0 ) (ℓ/2θ̇q - ℓ/ℓ)

(0 mωℓ/12 kℓ²) (q̇ = 0