Meccanica razionale T - Prove d'Esame - Parte 1

Prove d'Esame

Studiamo le piccole oscillazioni del sistema nell’intorno delle posizioni di equilibrio stabili

\(a^i = \frac{\partial H^{(2)}}{\partial p_i} = 0\) ove \(p = (\theta_1 = 0, \varphi_1 = 0)\)

\(a^i (p_0)\) \(H^{(2)} (p_0)\)

\(\frac{3}{2} m \ell^2 \quad \frac{m \ell^2}{2}\)

\(\frac{m \ell^2}{2} \quad \frac{m \ell^2}{3}\)

\(H_0^i (p_1)\) \(2m g \theta \quad \Box{~} \sim -q \frac{q}{e} \quad (\theta - \theta_1)\)

\((\varphi - \varphi_1) = (\dot{\varphi_1})\) \(\frac{\partial p}{\partial \varphi} = \left(\begin{array}{c} \theta \\ \dot{\theta} \end{array}\right)\)

Sostituendo otteniamo:

\(\frac{3}{2} m \ell^2 \quad m \ell^2 \dot{\varphi_1}^2\)

\(\begin{pmatrix} m \ell^2 \dot{\theta} \\ c \end{pmatrix} \quad -\left( -2mge \frac{q}{e} \right)\)

\((\theta) \quad \Box{~} mg \left(\begin{array}{c} \varphi \\ \dot{\varphi} \end{array}\right)\)

\(\begin{aligned} 3m \ell^2 \ddot{\theta} & + m\ell^2 \ddot{\varphi} + 2mg \theta = 0 \\ m \ell^2 \ddot{\varphi} + m \ell^2 \dot{\theta}^2 + (mg \varphi_0) \dot{\varphi_1} = 0 \end{aligned}\)

Equazioni non sono accoppiate quindi non possiamo integrare separatamente.

Sono equazioni del tipo pseudoelastico, lineari, del secondo ordine, e coefficients simmetrici.

L’energia potenziale del sistema è del tipo \(\frac{1}{2} q \frac{q}{e}\)

Determinazione delle frequenze caratteristiche

\(det (H^i + \omega^2 Q^i) = 0 \quad \rightarrow\) si tratta di un problema agli autorinamenti

\(\omega^2 Q^i = \left(\begin{array}{cc} \frac{3}{2} m \ell^2 \omega^2 & \frac{m \ell^2}{2} \omega^2 \\ \frac{m \ell^2}{2} \omega^2 & m \ell^2 \omega^2 \end{array}\right)\)

Det \(H^i + \omega^2 Q^i\)

\(\begin{vmatrix} \frac{3}{2} m \ell^2 & \quad \frac{m \ell^2}{2} \omega^2 \\ \frac{m \ell^2}{2} & \quad -\overline{mge \omega} \frac{m \ell^2}{3} \end{vmatrix}\)

\(\begin{vmatrix} -2mge \frac{3}{2}m \ell^2 \omega^2 & m \ell^2 \omega^2 \\ m \ell^2 \omega^2 & -mge \ell \omega^2 & m \ell^2 \overset{/} - mge \ell^2 \omega^2 & \frac{m \ell^2}{3} \end{vmatrix} \)

= \(-2(mge \ell + 3m \ell^2 \omega^2)(-mge \omega^2)\) -2mgw\)

Equazione caratteristica del quarto ordine

\(det \begin{pmatrix} \frac{m \ell^4}{3} & \quad \text{equazione lineare} \\ -mge \ell & \quad (mge)^2 \frac{\dot{\varphi}^2}{3} \end{pmatrix} - m \ell^2 \omega^2 \overset{/} (mg \omega) p \omega \begin{pmatrix} \dot{\varphi} \end{pmatrix} \overline{Q}^i\)

\(\frac{(m \ell^2)^2 \omega^2}{3} \end{aligned}\)

\(\left(\begin{matrix} 5m \ell^2 \omega^2 & \quad \left[mge \ell w \right] & \quad \underline{\theta} \end{matrix}\right)\)

\(\left(\begin{aligned} 3m \ell^2 \omega^2 & - 7m \ell^4 \frac{\omega^2}{2} \\ 3m \ell^2 \omega^2 & - 7m \less \frac{1}{2} \overset{4}{\theta} w \end{aligned}\right) \left(\begin{marked} \right)\)

\(=0 \quad \Rightarrow \rightarrow(\dot{\theta} - \dot{\varphi})\)

Disegniamo la \(70 \over 67]\times @^w][+\begin{aligned} 3g \\ q \end{aligned}\) poniamo \(\chi = \omega^2\)

\(= 0 \quad\) fratelli binari

\(x^4 \quad \dfrac{8}{6} - \dfrac{36g}{3}\

\(0\)

otteniamo \(\{w1, w2, w3, w4\}\)

trovando quali di essi abbia i valori positivi

PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (9 gennaio 2015)

(C.d.L. Ing. Civile [L-Z] e C.d.L. Ing. Edile/Architettura ~ Prof. A. Muracchini)

In un piano verticale Oxy, un disco D omogeneo (massa m, raggio r), rotola senza strisciare sull'asse Oy; al suo centro A è incernierata un'asta AB omogenea (massa m, lunghezza l) al cui estremo B è incernierata una seconda asta BD anch'essa omogenea (massa m, lunghezza l). Quest'ultima è vincolata a ruotare intorno al proprio estremo D che giace sull'asse Ox (D=(r, 0); vedi figura).

Oltre alle forze peso, agisce sull'asta BD una coppia di momento costante M = Mk (con M > 0 e k = vers Oz).

Supposti i vincoli ideali e introdotto il parametro lagrangiano θ rappresentato in figura, si chiede:

1. Determinare, in funzione del momento M, le configurazioni di equilibrio discutendone, poi, la stabilità;
2. Determinare tutte le reazioni vincolari (esterne ed interne) nelle posizioni di equilibrio individuate nella domanda precedente;
3. Rappresentare i vettori velocità angolare del disco, dell'asta AB e dell'asta BD;
4. Scrivere la funzione lagrangiana L del sistema.

Prova scritta - 11 Febbraio 2015

x₀ e y₀ parametri lagrangiani Si supponga t₀=0 quando θ = 0

RISOLUZIONE

A = (Rθ, GR)      B₀ (i.e. usiamo vettore che va da struttura) OC = C₀ = Rθ

C = (Rθ, 0)

H = usciremmo l'ill (Rθ + Rsinφ - R + Rcosφ)

B₂ = (Rθ + R₁sinφ - R₁cosφ)

∫ Pβ₀ = (- Rθ^-3φ)î₁  

B₂ = (0₁ - R + R₂cosφ) B₃ = Rθ_g + Rs2 sinφ + Rθ

F_el↑ = - K G B₈ = - K (Rθ^g - R₂sinφ^l)

1. U = U_pro + U_fat= mgh= - k∑ B₂^-

      (trascuriamo il polipot dovuto

      del disco in un punto costante mgh)

     ↑ P

-> U = - mg (Rθ - Rcosφ) = k (Rθ⁶µ3 sinφ r R₂sin2φ)

I! sistema è secandan e consecultato.

(n sec presente KO)

p ↑     ∠↑    U_tr =

=> Q₁ = Q₄=0

Prova scritta - 18 Aprile 2015

(CONFINE)

RISOLUZIONE

1. A = (−ℓcos(θ−^π/₂), y_m+ℓsin(θ−^π/₂)) ≡ (−ℓsinθ, y_m + ℓcosθ)

   M = (0, y_m)

   B = (ℓcos(θ−^π/₂), y + ℓsin(θ−^π/₂)) ≡ (ℓsinθ, y − ℓcosθ)

   F_el = −kOM ≡ k(y − y_m)

   OM = (0, y_m), OM² = y²

   U = V_el + V_grav + V_{p m}

   = ^k/₂ cm² + mgy_m + mgy_a = -^k/₂ y² + mgy_a + mgy (ℓcosθ) − ^kc/₂ y² + 2mgy + mgℓcosθ

   { ẏsinθ = 0 ↔ sinθ = 0 ↔ θ₁ = 0, θ₂ = π

   { 2ẏ = 0 ↔ U_y − ky + 2mg = 0 ↔ y = ^2mg/_k

   Le due posizioni di equilibrio sono

   { P₁≡(θ₁ = 0, y = ^2mg/_k)

   { P₂≡(θ₂ = π, y = ^2mg/_k)

   Studiamone la stabilità.

   ∂²U/∂θ² = −mgℓcosθ

   ∂²U/∂y² = k

   ∂U/∂θ = 0

   ∂²U/∂θ∂y = 0

   H = ( −mgℓcosθ 0)

   ( 0 −k )

   La matrice H calcolata in P₁ vale H(P₁) = (−mgℓ 0)

   ( 0 −k )

   det H(P₁) = mgℓk > 0 POSIZIONE STABILE

   la matrice H calcolata in P₂ vale H(P₂) = ( mgℓ 0)

   ( 0 −k )

   det H(P₂) = −mgℓk < 0 POSIZIONE INSTABILE

   Studiamo ora il equilibrio delle posizioni da cui

   {( ∂U/∂y )_y=0 fy +( ∂U/∂θ )_y=0 = 0 ↔

   { U fy > 0 ↔