Appunti esame Ragionamento e teoria della scienza

A B A B ᴧ B A

V V V V V V V V V

V F V F F F F V V

F V F V V F V F F

F F F V F V F V F

Per prima cosa si trascrivono i valori di verità delle lettere proposizionale, poi si procede assegnando i valori

ai connettivi tenendo a mente le loro tavole di verità, fino ad arrivare al connettivo principale, che indicherà

il valore di verità della formula. Per fare questo bisogna tener conto delle parentesi, procedendo come in

un’espressione matematica. Nei casi in cui non ci siano parentesi, l’ordine di priorità dei connettivi è:{ ¬, ᴧ e

, }.

V,

Il numero delle righe in una tavola di verità ha una crescita di tipo esponenziale, infatti ogni lettera

proposizionale in più comporta un raddoppiamento del numero dei casi.

Tautologie e contraddizioni

Le tautologie sono formule il cui valore di verità è sempre vero, esse non danno per questo informazioni

sul mondo, sono ovvietà, verità logiche. Costruendo la tavola di verità di queste formule, si avrà sempre

valore vero sotto al connettivo principale. Alcuni esempi sono:

 Principio di non contraddizione: uno stesso enunciato non può essere vero o falso allo stesso

tempo. ¬(Aᴧ¬A)

A ¬ A ᴧ ¬ A

V V V F F V

F V F F V F

Principio del terzo escluso: un enunciato o è vero o è falso, non c’è una terza possibilità. AV¬A

A A V ¬ A

V V V F V

F F V V F

Queste sono entrambe leggi della logica classica, nella quale vale il principio di bivalenza, ovvero esistono

solo due valori vi verità( vero o falso).

Altre tautologie:

 

Legge della doppia negazione: A¬¬A ( Il è il connettivo principale di molte tautologie,

esso fa sì che il valore di verità di una parte sia uguale a quello dell’altra.)

 Legge della commutatività di ᴧ: (AᴧB)(BᴧA)

 Legge dell’associatività di ᴧ e di V: (AᴧB)ᴧCAᴧ(BᴧC) (AVB)VCAV(BVC)

 Leggi di de Morgan: AᴧB¬(¬AV¬B) AVB¬(¬Aᴧ¬B)

 Proprietà distributiva di ᴧ rispetto a V: Aᴧ(BVC)(AᴧB)V(AᴧC)



Aᴧ¬AB se l’antecedente è falso il è sempre vero

Le tautologie sono infinite, poiché in un V basta che una parte sia vera perché la formula lo sia: ¬(Aᴧ¬A)V…

Le contraddizioni sono invece formule il cui valore di verità è sempre falso. Alcuni esempi sono:

 Aᴧ¬A

 A¬A

A A ᴧ ¬ A

V V F F V

F F F V F



A A ¬ A

V V F F V

F F F V F

Qualunque tautologia con ¬ davanti è una contraddizione: ¬(Aᴧ¬A)

Da una contraddizione può seguire qualunque cosa, infatti la formula Aᴧ¬AB è una tautologia (legge di

Scoto).

Alcuni tipi di ragionamento deduttivamente corretto:

AB Modus ponens AB Modus tollens

A ¬B

B ¬A

Alcuni esempi di fallacia:

Fallacia: ragionamento ingannevole, sembra giusto, ma è errato. La conclusione non segue logicamente

dalle premesse.

AB Fallacia dell’affermazione del conseguente AB Fallacia della negazione dell’antecedente

B ¬A

A ¬B

Per verificare che un ragionamento è deduttivamente errato basta un contro-esempio, viceversa servono

infiniti esempi positivi.

Conseguenza logica

x è conseguenza logica di y sse( se e solo se) ogni assegnazione di valori di verità alle lettere proposizionali

che renda vera y rende vera anche x. (Ogni volta che è vera x è vera anche y). Si tratta di una relazione tra

formule.

X è conseguenza logica di y sse yx (tautologia)



Ogni tautologia che ha come connettivo principale ha y come conseguenza logica di x. (con

antecedente falso è sempre vero).

B è c.l. di AᴧB sse AᴧBB è una tautologia



A B A ᴧ B B

V V V V V V V

V F V F F V F

F V F F V V V

F F F F F V F

x è c.l. di y sse yx è una tautologia

x è c.l. di y(1)…y(n) sse ogni assegnazione di valori di verità alle lettere proposizionali che rende vere

y(1)…y(n) rende vera anche x. X può essere c.l. di più formule: x è c.l. di y(1)…y(n) sse y(1)ᴧ…ᴧy(n)x è una

tautologia.

Per verificare se c’è conseguenza logica:

1)AB 2)B è c.l. di ABᴧA sse (AB)ᴧAB è una tautologia

A

B  

A B A B ᴧ A B

V V V V V V V V V

V F V F F F V V F

F V F V V F F V V

F F F V F F F V F

Equivalenza logica

X è logicamente equivalente ad y sse ogni assegnazione dei valori di verità alle lettere proposizionali che

rende vera x rende vera anche y e viceversa. (Conseguenza logica reciproca).



X è log.eq. a y sse xy è una tautologia. indica un’equivalenza logica. Ogni equivalenza logica

sono due conseguenze logiche.

Linguaggio oggetto e metalinguaggio

 Metalinguaggio: linguaggio per parlare del linguaggio oggetto.

 Linguaggio oggetto: linguaggio di cui si parla, studiato dalla disciplina.

Le lingue naturali non distinguono nettamente tra i due:

Si può parlare della lingua stessa (Luca èun nome)

Dispongono dei predicati vero e falso (Ciò che ha detto Luca è vero)

Ci sono enunciati che parlano di sé stessi (Questa è una frase)

Nel linguaggio naturale si trovano inoltre dei paradossi, ovvero enunciati che non possono essere né veri né

falsi, c’è sempre una contraddizione.

Paradosso del mentitore: Questo enunciato è falso ( se è vero è falso, se è falso è vero).

Enunciati di questo tipo sono detti antinomie, portano sempre una contraddizione.

La logica fa in modo di distinguere tra linguaggio oggetto e metalinguaggio per evitare contraddizioni.

:

Sse: metalinguaggio linguaggio oggetto

Paradossi

Paradosso: ragionamento che parte da premesse accettabili, che si sviluppa in modo apparentemente

corretto, ma che porta ad una conclusione non accettabile.

Paradosso dell’uomo calvo o paradosso del sorite:

P-Chi ha 0 capelli è calvo Da un enunciato si arriva ad una

contraddizione

P-Se ha un calvo si aggiunge un capello resta calvo

C-Chiunque è calvo

Paradosso del barbiere: “Io rado tutti quelli che non si radono da soli, non rado tutti quelli che si radono da

soli”. (Chi rade il barbiere?)

Possibilità: o c’è una premessa falsa, o c’è un errore di ragionamento, o dobbiamo accettare la conclusione.

Alcune regole di inferenza

P-AB Regola di concatenazione P- AVB Sillogismo disgiuntivo

P-BC P-¬B

C-AC C- A

P-AB Regola di contrapposizione P- AᴧB Regola dell’eliminazione della congiunzione

C-¬B¬A C-A

P-A Regola dell’introduzione del vel

C-AVB

Logica dei predicati

Non si può creare uno schema di un ragionamento formato da enunciati semplici, per capire se è corretto

bisogna smontare la struttura interna degli enunciati semplici.

Per la logica proposizionale questi enunciati sono solo scatole nere, con la logica dei predicati è invece

possibile scomporli e formalizzarli.

 Enunciati semplici del primo tipo:

Si parla sempre di un oggetto specifico, un predicato a n argomenti è attribuito a n individui.

Es. Fido canta 2 è primo 2<4 Marco è cugino di Anna

 Enunciati semplici del secondo tipo:

Si parla in generale.

Es. Tutti gli uomini sono mortali Gli asini volano Qualche gatto miagola Anna ha un figlio

Formalizzare un enunciato semplice del primo tipo

Per definire un oggetto specifico si usano le costanti individuali, le quali vengono indicate da lettere

minuscole.

Le proprietà sono cose che si possono predicare di un individuo (aggettivi, forme verbali intransitive e nomi

comuni), queste si indicano con lettere maiuscole.

Es. Fido canta: Ca (il predicato viene prima dell’oggetto)

Le relazioni vengono anch’esse indicate con lettere maiuscole e possono essere a due o più argomenti.

Es. Mario è cugino di Anna: Cma

Napoli è tra Salerno e Roma: Tnsr

Proprietà e relazioni sono predicati.

Formalizzare un enunciato semplice del secondo tipo

Si usano i quantificatori, le variabili individuali, i predicati, i connettivi e le parentesi.



Quantificatore universale:

Quantificatore esistenziale: Ǝ

Variabili individuali: minuscole tra le ultime dell’alfabeto (x,y,z)

Un quantificatore agisce sempre su una variabile.



Es. Tutti gli uomini sono mortali: x( UxMx) (Per ogni x, se x è un uomo, x è mortale.)

Premesse dei sillogismi aristotelici 

 Universali affermative: Tutti i P sono Q ( x(PxQx))

 Particolari affermative: Qualche P è Q (Ǝx(PxᴧQx)) 

 Universali negative: Nessun P è Q (¬ƎX(PxᴧQx)) oppure ( x(Px¬Qx))

 Particolari negative: Qualche P non è Q (Ǝx(Pxᴧ¬Qx))

Altri esempi: 

I fratelli di Anna sono belli: x(FxaBx) (Per ogni x, se x è fratello di Anna, x è bello)

Marco ama Anna: Ama (prima chi ama)

Relazione simmetrica (Marco ama Anna e Anna ama Marco): AmaᴧAam

Marco ama qualcuno: Ǝx(Amx)

Marco è amato da qualcuno: Ǝx(Axm)



Anna ama tutti: x(Aax)



Tutti amano qualcuno: xƎy(Axy)



Qualcuno è amato da tutti: Ǝx y(Ayx)

Tutti i marinai amano una ragazza: 

Una ragazza amata da tutti (lettura de re): Ǝx(Rxᴧ y(MyAyx))



Diverse ragazze (lettura de dicto): y(MyƎx(RxᴧAyx))

  

Transitività: x y z(AxyᴧAyzAxz)

 

Simmetria: x y(AxyAyx)



Riflessività: xAxx

Una variabile si dice vincolata se si trova nel raggio d’azione di un quantificatore.



Px: variabile libera xPx: variabile vincolata

Psicologia del ragionamento

La psicologia del ragionamento ha un intento descrittivo, indica come gli uomini ragionano davvero. La

logica ha invece un intento normativo e indica come gli uomini dovrebbero ragionare.

Esistono degli errori sistematici che colpiscono tutti e sono difficili da correggere. In questi casi tutti

sbagliano nello stesso modo, così come nelle illusioni percettive. Questi errori sono chiamati illusioni

cognitive (un esempio è l’esperimento delle 4 cartedi Wason). Gli uomini non sono ragionatori formali, per

noi il contenuto fa la differenza. Esperimento delle 4 carte

Forme grammaticalmente simili portano a forme logiche diverse:



Fido è un cane: Cf / Un bassotto è un cane: x(BxCx) / 8 è la