Appunti esame

F F V V F

Queste sono entrambe leggi della logica classica, nella quale vale il principio di

bivalenza, ovvero esistono solo due valori vi verità( vero o falso).

Altre tautologie:

Legge della doppia negazione: A¬¬A ( Il è il connettivo

 

principale di molte tautologie, esso fa sì che il valore di verità di una parte sia

uguale a quello dell’altra.)

Legge della commutatività di ᴧ: (AᴧB)(BᴧA)

 Legge dell’associatività di ᴧ e di V: (AᴧB)ᴧCAᴧ(BᴧC)

 (AVB)VCAV(BVC)

Leggi di de Morgan: AᴧB¬(¬AV¬B) AVB¬(¬Aᴧ¬B)

 Proprietà distributiva di ᴧ rispetto a V: Aᴧ(BVC)(AᴧB)V(AᴧC)



Aᴧ¬AB se l’antecedente è falso il è sempre vero



Le tautologie sono infinite, poiché in un V basta che una parte sia vera perché la

formula lo sia: ¬(Aᴧ¬A)V…

Le contraddizioni sono invece formule il cui valore di verità è sempre falso. Alcuni

esempi sono:

Aᴧ¬A

 A¬A



A A ᴧ ¬ A

V V F F V

F F F V F

A A ¬ A



V V F F V

F F F V F

Qualunque tautologia con ¬ davanti è una contraddizione: ¬(Aᴧ¬A)

Da una contraddizione può seguire qualunque cosa, infatti la formula Aᴧ¬AB è una

tautologia (legge di Scoto).

Alcuni tipi di ragionamento deduttivamente corretto:

AB Modus ponens AB Modus tollens

A ¬B

B ¬A

Alcuni esempi di fallacia:

Fallacia: ragionamento ingannevole, sembra giusto, ma è errato. La conclusione non

segue logicamente dalle premesse.

AB Fallacia dell’affermazione del conseguente AB Fallacia della

negazione dell’antecedente

B ¬A

A ¬B

Per verificare che un ragionamento è deduttivamente errato basta un contro-esempio,

viceversa servono infiniti esempi positivi.

Conseguenza logica

x è conseguenza logica di y sse( se e solo se) ogni assegnazione di valori di verità alle

lettere proposizionali che renda vera y rende vera anche x. (Ogni volta che è vera x è

vera anche y). Si tratta di una relazione tra formule.

X è conseguenza logica di y sse yx (tautologia)

Ogni tautologia che ha come connettivo principale ha y come conseguenza logica di



x. (con antecedente falso è sempre vero).

B è c.l. di AᴧB sse AᴧBB è una tautologia

A A ᴧ B B



B

V V V V V V V

V F V F F V F

F V F F V V V

F F F F F V F

x è c.l. di y sse yx è una tautologia

x è c.l. di y(1)…y(n) sse ogni assegnazione di valori di verità alle lettere proposizionali

che rende vere y(1)…y(n) rende vera anche x. X può essere c.l. di più formule: x è c.l.

di y(1)…y(n) sse y(1)ᴧ…ᴧy(n)x è una tautologia.

Per verificare se c’è conseguenza logica:

1)AB 2)B è c.l. di ABᴧA sse (AB)ᴧAB è una tautologia

A

B

A B A B ᴧ A B

 

V V V V V V V V V

V F V F F F V V F

F V F V V F F V V

F F F V F F F V F

Equivalenza logica

X è logicamente equivalente ad y sse ogni assegnazione dei valori di verità alle lettere

proposizionali che rende vera x rende vera anche y e viceversa. (Conseguenza logica

reciproca).

X è log.eq. a y sse xy è una tautologia. indica un’equivalenza logica.



Ogni equivalenza logica sono due conseguenze logiche.

Linguaggio oggetto e metalinguaggio

Metalinguaggio: linguaggio per parlare del linguaggio oggetto.

 Linguaggio oggetto: linguaggio di cui si parla, studiato dalla disciplina.



Le lingue naturali non distinguono nettamente tra i due:

Si può parlare della lingua stessa (Luca èun nome)

Dispongono dei predicati vero e falso (Ciò che ha detto Luca è vero)

Ci sono enunciati che parlano di sé stessi (Questa è una frase)

Nel linguaggio naturale si trovano inoltre dei paradossi, ovvero enunciati che non

possono essere né veri né falsi, c’è sempre una contraddizione.

Paradosso del mentitore: Questo enunciato è falso ( se è vero è falso, se è falso è

vero).

Enunciati di questo tipo sono detti antinomie, portano sempre una contraddizione.

La logica fa in modo di distinguere tra linguaggio oggetto e metalinguaggio per evitare

contraddizioni.

Sse: metalinguaggio linguaggio oggetto

:

Paradossi

Paradosso: ragionamento che parte da premesse accettabili, che si sviluppa in modo

apparentemente corretto, ma che porta ad una conclusione non accettabile.

Paradosso dell’uomo calvo o paradosso del sorite:

P-Chi ha 0 capelli è calvo Da un enunciato si

arriva ad una contraddizione

P-Se ha un calvo si aggiunge un capello resta calvo

C-Chiunque è calvo

Paradosso del barbiere: “Io rado tutti quelli che non si radono da soli, non rado tutti

quelli che si radono da soli”. (Chi rade il barbiere?)

Possibilità: o c’è una premessa falsa, o c’è un errore di ragionamento, o dobbiamo

accettare la conclusione.

Alcune regole di inferenza

P-AB Regola di concatenazione P- AVB Sillogismo disgiuntivo

P-BC P-¬B

C-A C C- A



P-AB Regola di contrapposizione P- AᴧB Regola

dell’eliminazione della congiunzione

C- ¬B ¬A C-A



P-A Regola dell’introduzione del vel

C-AVB

Logica dei predicati

Non si può creare uno schema di un ragionamento formato da enunciati semplici, per

capire se è corretto bisogna smontare la struttura interna degli enunciati semplici.

Per la logica proposizionale questi enunciati sono solo scatole nere, con la logica dei

predicati è invece possibile scomporli e formalizzarli.

Enunciati semplici del primo tipo:



Si parla sempre di un oggetto specifico, un predicato a n argomenti è attribuito a n

individui.

Es. Fido canta 2 è primo 2<4 Marco è cugino di Anna

Enunciati semplici del secondo tipo:



Si parla in generale.

Es. Tutti gli uomini sono mortali Gli asini volano Qualche gatto miagola Anna ha

un figlio

Formalizzare un enunciato semplice del primo tipo

Per definire un oggetto specifico si usano le costanti individuali, le quali vengono

indicate da lettere minuscole.

Le proprietà sono cose che si possono predicare di un individuo (aggettivi, forme

verbali intransitive e nomi comuni), queste si indicano con lettere maiuscole.

Es. Fido canta: Ca (il predicato viene prima dell’oggetto)

Le relazioni vengono anch’esse indicate con lettere maiuscole e possono essere a

due o più argomenti.

Es. Mario è cugino di Anna: Cma

Napoli è tra Salerno e Roma: Tnsr

Proprietà e relazioni sono predicati.

Formalizzare un enunciato semplice del secondo tipo

Si usano i quantificatori, le variabili individuali, i predicati, i connettivi e le

parentesi. 

Quantificatore universale:

Quantificatore esistenziale: Ǝ

Variabili individuali: minuscole tra le ultime dell’alfabeto (x,y,z)

Un quantificatore agisce sempre su una variabile.



Es. Tutti gli uomini sono mortali: x( UxMx) (Per ogni x, se x è un uomo, x è

mortale.)

Premesse dei sillogismi aristotelici 

Universali affermative: Tutti i P sono Q ( x(PxQx))

 Particolari affermative: Qualche P è Q (Ǝx(PxᴧQx))

 Universali negative: Nessun P è Q (¬ƎX(PxᴧQx)) oppure

 

( x(Px¬Qx))

Particolari negative: Qualche P non è Q (Ǝx(Pxᴧ¬Qx))



Altri esempi: 

I fratelli di Anna sono belli: x(FxaBx) (Per ogni x, se x è fratello di Anna, x è

bello)

Marco ama Anna: Ama (prima chi ama)

Relazione simmetrica (Marco ama Anna e Anna ama Marco): AmaᴧAam

Marco ama qualcuno: Ǝx(Amx)

Marco è amato da qualcuno: Ǝx(Axm)



Anna ama tutti: x(Aax)



Tutti amano qualcuno: xƎy(Axy)



Qualcuno è amato da tutti: Ǝx y(Ayx)

Tutti i marinai amano una ragazza: 

Una ragazza amata da tutti (lettura de re): Ǝx(Rxᴧ y(MyAyx))



Diverse ragazze (lettura de dicto): y(MyƎx(RxᴧAyx))

  

Transitività: x y z(AxyᴧAyzAxz)

 

Simmetria: x y(AxyAyx)



Riflessività: xAxx

Una variabile si dice vincolata se si trova nel raggio d’azione di un quantificatore.



Px: variabile libera xPx: variabile vincolata

Psicologia del ragionamento

La psicologia del ragionamento ha un intento descrittivo, indica come gli uomini

ragionano davvero. La logica ha invece un intento normativo e indica come gli uomini

dovrebbero ragionare.

Esistono degli errori sistematici che colpiscono tutti e sono difficili da correggere. In

questi casi tutti sbagliano nello stesso modo, così come nelle illusioni percettive.

Questi errori sono chiamati illusioni cognitive (un esempio è l’esperimento delle 4

cartedi Wason). Gli uomini non sono ragionatori formali, per noi il contenuto fa la

differenza. Esperimento delle 4 carte

Forme grammaticalmente simili portano a forme logiche diverse:



Fido è un cane: Cf / Un bassotto è un cane: x(BxCx) / 8 è la somma di 6 e 2:

8=6+2

Marco e Giorgio sono genovesi: GmᴧGg / Marco e Giorgio sono fratelli: Fmg

Fallacie derivanti dal linguaggio

Equivocatio: equivoco a livello semantico, a causa di una parola ambigua.



P-Gli uomini sono gli unici esseri dotati di ragione

P-Le donne non sono uomini

C-Le donne non sono dotate di ragione

Anfibolia: equivoco a causa di una premessa ambigua. Essa può dare spazio a

 due diverse inrterpretazioni in alcuni casi(de re e de dicto). La conclusione

segue dall’interpretazione sbagliata.

P-C’è un numero maggiore di ciascun numero

C-C’è un numero maggiore di sé stesso

Quando ragioniamo diamo per scontato molte informazioni che non esplicitiamo. Nel

ragionamento logico tutto va reso esplicito.

Petitio principii (circolo vizioso): la coclusione è già implicita nelle premesse,

 per concludere, assumo già ciò che voglio dimostrare.

P-La Bibbia dice che Dio esiste

P-La Bibbia non può mentire perché è la parola di Dio

C-Dio esiste

Pragmatica

Uso delle parole in un contesto, studio della conversazione (interazione linguistica,

fenomeno collaborativo).

Paul Grice è considerato il padre della pragmatica, egli elaborò 4 massime della

conversazione, ovvero norme che ch