Appunti esame

Ragionamento e teoria della scienza Modulo I: Introduzione alla logica

Prof. Marcello Frixione

Logica proposizionale

Un ragionamento o inferenza è formato da un certo numero di premesse, alle quali segue una conclusione. Un’inferenza è una sequenza finita di proposizioni di cui l’ultima è ottenuta come conclusione delle premesse e il cui scopo è ottenere nuova conoscenza. La regola di inferenza è il procedimento applicato per passare dalle premesse alla conclusione.

Premesse e conclusione sono espressioni di un linguaggio naturale (lingue parlate quotidianamente) o artificiale (informatico, simbolico ecc.). Esse sono chiamate enunciati o proposizioni e si definiscono come espressioni per cui ha senso chiedersi se sono vere o false, possono quindi avere un valore di verità. Di conseguenza non sono enunciati espressioni come domande, ordini, preghiere o espressioni linguistiche incomplete.

Normalmente enunciato e proposizione sono usati come sinonimi, ma essendo precisi, il primo si può definire come nozione sintattica, mentre la seconda come nozione semantica.

Sintassi e semantica

Sintassi: si riferisce alla concatenazione delle parti del linguaggio, considerandolo come pure espressioni prive di significato.

Semantica: si riferisce al significato che si assegna alle espressioni linguistiche. Sono nozioni semantiche per esempio la sinonimia e i valori di vero e falso.

Enunciati diversi possono esprimere la stessa proposizione:

• Es. Manca un quarto alle 6/ Sono le 6 meno un quarto
• Simboli diversi, ma stesso significato
• La neve è bianca/ The snow is white

Lo stesso enunciato può avere 2 significati:

• Es. Tutti i marinai amano una ragazza (La stessa ragazza amata da tutti/ Una ragazza per ciascuno).

In questo caso l’enunciato risulta ambiguo, si parla quindi di ambiguità, la quale caratterizza tutte le lingue naturali. Il linguaggio artificiale è infatti costruito al fine di eliminare le ambiguità. In casi di enunciati ambigui, nel linguaggio quotidiano il contesto ci aiuta a capire l’interpretazione corretta.

Tipi di ragionamento

1. Ragionamento deduttivo: se le premesse sono vere, la conclusione sarà vera. Da premesse vere segue in ogni caso una conclusione vera, si dice quindi che la conclusione è conseguenza logica delle premesse. Es. P-Tutti gli uomini sono mortali P-Genova è in Piemonte o in Liguria P-Socrate è un uomo P-Genova non è in Piemonte C-Socrate è mortale C- Genova è in Liguria

2. Ragionamento induttivo: Si generalizza a tutti gli individui di un insieme quanto stabilito di una parte di essi. Non si ha mai la certezza di ottenere una conclusione vera, c’è sempre rischio di errore, poiché la premessa può essere falsa. Es. P-Tutti i corvi osservati fino ad ora sono neri C-Tutti i corvi sono neri Non ho visto tutti i corvi, non posso essere sicuro.

3. Ragionamento abduttivo: da un certo numero di sintomi o indizi si cerca di trovare una spiegazione (ragionamento diagnostico del medico e dell’investigatore). Anche qui c’è sempre rischio di errore. Es. P-Se manca la benzina la macchina non parte P-La macchina non parte C- (Forse) Manca la benzina Potrebbe essere un altro problema

4. Ragionamento per default: si ottiene una conclusione su un singolo partendo da una conoscenza generale che ammette eccezioni. Si assume qualcosa per default: Es. P-Titti è un uccello C-Titti vola Ma Titti potrebbe essere un pinguino e quindi non volare.

Ragionamento deduttivo

Se le premesse sono false, la conclusione può essere vera o falsa. Es. P-Tutti i cinesi sono fenicotteri P-Tutti i fenicotteri sono asiatici C-Tutti i cinesi sono asiatici Premesse sbagliate ma conclusione vera

Altri esempi di ragionamenti deduttivi: P-Marco è architetto o ingegnere P-3 è pari o primo P-Marco non è architetto P-3 non è pari C-Marco è ingegnere C-3 è primo

Inferenze di questo tipo si dicono valide o deduttivamente corrette, ovvero indipendentemente dal contenuto delle premesse, la conclusione segue logicamente da esse. Che siano deduttivamente corretti dipende dalla struttura e non dal contenuto. Si può notare che i ragionamenti dei due esempi hanno una simile struttura, si può quindi estrarre uno schema generale di inferenza deduttivamente corretta: P-A o B (disgiunzione) Strutture di questo tipo sono dette forme logiche. P-Non A (negazione) Le lettere A e B sono dette lettere enunciative o proposizionali. C-B

Enunciati semplici e complessi

Enunciati semplici: non si possono scomporre, non comprendono altri enunciati al loro interno. Es. Genova è in Liguria. Tutti gli uomini sono canguri. 2+2=4 Piove

Enunciati complessi: constano di parti che sono a loro volta enunciati. Es. Genova è in Liguria o in Piemonte: G. è in Liguria/ G. è in Piemonte Non piove: Piove/ non piove Marco è genovese e ingegnere: Marco è genovese/ Marco è ingegnere

Tavole di verità e connettivi vero-funzionali

Per costruire delle formule logiche mediante le lettere proposizionali, si usano i connettivi vero-funzionali. I connettivi sono espressioni del linguaggio con cui si ottiene una proposizione composta a partire da una o più di esse. Un connettivo si dice vero-funzionale se il valore di verità della proposizione a cui si applica dipende solo dai valori di verità assegnati alle lettere proposizionali. Per determinare il valore di verità di un enunciato scritto tramite una formula logica si utilizzano le tavole di verità. I connettivi principali sono:

• ∧: congiunzione “e”
• V: vel (“oppure”, disgiunzione inclusiva: una cosa non esclude l’altra)
• se allora (condizionale materiale)
• ↔: se e solo se (bicondizionale)
• ¬: non (negazione)

Quest’insieme di connettivi è detto base di connettivi, poiché mediante questi è possibile ottenere tutti gli altri.

Tavole di verità dei connettivi

Un’altra base di connettivi è: {¬, ∧, V, →}. Infatti: A↔B = (A→B)∧(B→A) Facendo la tavola di verità troviamo gli stessi valori di sotto la ∧.

Tautologie e contraddizioni

Le tautologie sono formule il cui valore di verità è sempre vero, esse non danno per questo informazioni sul mondo, sono ovvietà, verità logiche. Costruendo la tavola di verità di queste formule, si avrà sempre valore vero sotto al connettivo principale. Alcuni esempi sono:

Principio di non contraddizione: uno stesso enunciato non può essere vero o falso allo stesso tempo. ¬(A∧¬A)

Principio del terzo escluso: un enunciato o è vero o è falso, non c’è una terza possibilità. AV¬AA A V ¬A

Queste sono entrambe leggi della logica classica, nella quale vale il principio di bivalenza, ovvero esistono solo due valori di verità (vero o falso).