Appunti esame analisi matematica uno, prof. Piscitelli, libro consigliato Analisi matematica uno Marcellini Sbordone,correlati di esempio prova d'esame e tabelle utili

PROVA SCRITTA DI

Analisi matematica I8 settembre 2008COMPITO A

NOME................................. COGNOME.................................

MATR.................................... DOCENTE...................................

1. Determinare l’ insieme di definizione della seguente funzione

   f(x) = log(x - |x - 2|).

2. Calcolare il seguente limite

   limx→0+ esin x - 1/√1 + x2 - 1.

3. Determinare estremi assoluti e relativi della seguente funzione

   f(x) = √3 - 2x - x².

   Dimostrare inoltre che la funzione f(x) è concava nel suo insieme di definizione.

4. Calcolare il seguente integrale

   ∫ cos x log(sin x) dx.

5. Determinare il carattere della seguente serie

   ∑_n=1^∞ n (n sin ¹/_2n)ⁿ.

ANALISI MATEMATICA I

INSIEMISTICA

a (elementi dell’insieme)

A (insieme)

x ∈ A ∨ x ∉ A

Possiamo osservare l’insieme per elem ES A = {*, 1, 2, 3}

(non contare le ripetizioni)

1) famiglie ES insieme dei numeri interi I = {1, 2, ...}

2) per inclusione ES A ⊂ B → o A ⊄ B

3) per intersezione ES A ∩ B; S = { x ∈ A ∧ x ∈ B }

4) per unione ES A ∪ B; S = { x ∈ A ∨ x ∈ B }

5) La ∗ può essere definita come A ∩ B = AND

6) A ∪ B = OR = ∀

7) differente

A ∩ B (A meno B)

A ∩ B = { x ∈ A , x ∉ B }

8) differenza simmetrica

A ∪ B \ (A ∩ B)

9) insieme delle parti P(A) = { B ⊆ A }

A = {2, 3, *, 3}

P(A) = { {2, 3}, {2}, {3}, {2, 3, *}, {*, 3}, { }, {*}, {2, *}, {3, *, 3} }

So che 2 ∈ A es. 2 ⊆ A

{*, 3} ⊆ A

K = *, 2, 3 ⊆ A

∅ ⊆ G(A) insiemi della insieme di qualsiasi

insieme

ESAME

19 GENNAIO

PRINCIPIO DI INDUZIONE

"Opera sui numeri naturali N₀ = {0,1,2,...} opera sulle proposizioni" Verità dei numeri interi (c uore........... dei numeri interi)

Prop. propriet: dei numeri interi (VERA o FALSA) secondo la logica Aristotelica

(a_n+1)²:= a_n² 2n+1

1. Per mostrare di 3 fasi:
• P₀ è vera; 1ᵃ base di induzione
• P_n → P_n+1, 2ᵃ passo di induzione per avere P_n, allora implica P sta anche P per n!

⟹ P_n è vera ⟹ ∀n ∈ N₀ (così sempre)

ESEMPIO

(a_n+1)²:= a_n² 2n+1

1. (0+1)²:= 0²+2 (0)+1
2. 1 - 1 È vera
3. n → n+1

[ (n+1)+1]² = (n+1)²+2 (n+1)+ 1

1, 2, n.... n²+2n+1 = m²+4m+4! È vera!

1. Prova di induzione (n=1)
2. 1+1-1=((n+1)) - (n+2)
3. Passo di induzione (n→n+1)
4. ⇒ 1-1((n+1+1)/2
5. [1+2+...+1}(n)+(a_m)
6. = (m(n+2) (n+1)) = 2 n+1

NUMERI REALI

• PROPRIETÀ ALGEBRICHE
• Commutativa: a+b=b+a ∀ a,b ∈ ℝ
• Associativa: (a+b)+c=(b+c)+a ∀ a,b,c ∈ ℝ
• Elemento neutro: ∃ 0 . a+0=0+a=a ∀ a ∈ ℝ
• Esistenza dell'inverso (ci deve essere) ∃ b . b+a=b=a+b=0 ∀ a, b ∈ ℝ b=a
• Commutativa della moltiplicazione: a.b=b.a ∀ a,b ∈ ℝ
• Associativa della m: (a.b).c=(e.b).a
• Esiste l'elemento neutro della m: ∃ 1 . i . a=a ∀ a ∈ ℝ a=1
• Esistenza dell'inverso: ∃ b . b.c=0 a.b.b=1.b.a=1
• Proprietà distributiva: ∃ p.e (b+d) . a=b.ac ∀ a,b,c ∈ ℝ

ESERCITAZIONE

3x+2=7 → (p. proprietà) 3x+2-2-2 3x=5 → (p. inverso) 3x=1 5:1 x=5/3

PROPRIETÀ DI ORDINAMENTO (R, ≤)

• Proprietà di relazione d'ordine riflessiva → x ≤ x ∀ x ∈ ℝ
• Antisimmetrica → x ≤ y, y ≤ x → x=y
• Transitiva → x ≤ y, y ∈ a ≥ → x ≤ x
• x ≤ y → x ∈ a ≥
• x ≤ y → x ≤ y ∀ x ≥ 0
• x ≤ y → x ≤ y ∀ x ≥ 0

FUNZIONE SENO

Immagine e controimmagine esercitazioni:

f ((-2, 3)) = {x ∈ ℝ | (-2, 4]}, g cos x² | f = [0; 4]

• arccos (cos 2) ≅ 2 ☑
• arccos (cos 2) = 2 ☑
• arcsen (sen 3) = 3 ☐
• arcsen (sen 2) = 2 ☐
• cos (arccos y) = 2 ☑

Funzione e possibile risoluzione

• sen (arcsen (2/3)) = 2/3 ☑
• arcsen (cos 4) = 4 ☐

Ricorda i domini delle funzioni inverse.

LIMITI DI UNA FUNZIONE

∀ε > 0, ∃ε > 0, |f(x) - L| < ε, ∀x ∈ (x₀ - δ, x₀ + δ)

RIPORTO

• lim_{x → x0} f(x) = L, ∀ε > 0, ∃K > 0, f(x) ∈ (L-ε, L+ε), ∀x > K
• lim_{x → x0} f(x) = L, ∀H > 0, ∃ε > 0, |f(x) - L| < H, ∀x > K

ESERCITAZIONE

• lim_{x → ∞} (3x + 2x)^(3x+1) / (3x²), ∀x > 0 < (3x + 2)

lim_x→⁺0

SOTOSUCCESSIONI

lim_n→∞ a_n con a_n ≠ 0

lim_x→0⁺ cos ( ¹/_x ) inesistente (?)

SOTOSUCCESSIONI

lim_n→∞

a_m = 8 ⇒ a_mk ⇒ 8 V

a_m ≠ 8 ⇒ a_mk ≠ 8 F

a_m = 3 ⇒ a_mk = 3 V

Poiché è una sottosuccessione perciò si implica l'esistenza.

SUCCESSIONE CRESCENTE

La successione è una funzione

increm_n ⇒ a_n ≥ a_n+1

strettamente crescente a_n

decrescenti se a_n ≤ a_n+1

strettamente decrescente se a_n < a_n+1

lim_x->0 x³ − x² − x − 4 = Sono trascurate

lim_x->0 x√ x/√ 3³ − x

Puochi e posso trascuarere 1 − − ∞

lim_x->0 x³ − x² ≡ x = lim_x->0 x³ ('1−x/2 x) − 1) ∞ (D-V) − ∞

A³ B³ (A − B) (A² + A B + B³)

(3/3 x − x)/((x² + 3x + 2) − x/2³ x⁴ + x³ + x²

lim_x->0 x² + x² − x² − 1/3 x x² + x

Sviluppi Asintotici --> Pag 240 --> Infinitesimi

A ⊂ R; j:A->B ; j = A∨R ; ⁡p v Re

f(x) se un piccolo di ∫(x) Re x₀, x₀ ~₀

lim_x->0 (f o g)(x)

Esponenti se fx atl superiori jnx può essere empb.run.inmpox fx

lim_x->0 (+ox₀ x

notxc^3x x o(x) x->0

lim_x->0 o o(x) s x

1 x-65

Proprieta

• f₂/f₃ (f cod(x)) x->0
• f₁ ⊇ (o ⊃ f₂)
• f₂ ∈ o(̳f(x))
• f₁ f_ƒ f(∣g(x))
• f₁ k o(f(x))
• non ci converge il comportamento
• f → o(%f(x)), h(
• ,x = o l ∫(x)) => f(x)- o(∫(x))