Costruzione di Macchine , Appunti ed esempi di esercizi

Costruzione di macchine

29/09/11

BEEP + sito cmq.mcc.polimi.it

LIBRI CONSIGLIATI

• “Costruzione di macchine 1” McGraw-Hill
• “Mechanics of materials”

SISTEMA

• SOTTOSISTEMA A
• SOTTOSISTEMA B
• SOTTOSISTEMA N

ELEMENTI DI MACCHINE

• ALBERI E ASSI

L’Albero è un elemento che trasmette momento torcente.

L’Asse è un elemento atto a sopportare momento flessione.

• COLLEGAMENTI

Bullonature, saldature...

• CUSCINETTI
• GIUNTI, INNESTI, FRENI
• MOLLE

Nell'analisi del corpo rigido esso si considera indeformabile.

Due vettori sono scorrevoli se hanno modulo e retta d’applicazione uguale, anche se diversa l. d’o di applicazione.

Il momento

M = V_o x F = F x V_o rispetto al polo O

|M| = |F| |Po| sinφ

b = braccio

La doppia freccia indica esso è il momento.

V_Po: vettore che va da O a P

RAPPRESENTAZIONE CURVILINEA DEL MOMENTO

EQUAZIONI CARDINALI DELLA STATICA

Sistema di m particelle

• PARTICELLE PUNTIFORMI
• Forze interni: forze scambiate tra particelle
• F_i: FORZE INTERNE
• F_i²: FORZE ESTERNE

I LEGGE DI NEWTON

• F_ij = F_ji

II LEGGE DI NEWTON

• ∑ (F_ij + F_i²) = dP_i²/dt = m_i d²r_i/dt²
• Valido ∀ particella del sistema
• Somma finita

Se considero tutto il sistema:

Le masse si mantengono costanti nel tempo:

• ∑ F_ij + ∑ F_i² = d/2 ∑ m_i r_i² = ∑ m_i a_i = d/2 ∑ m_i r_i
• d/2 m c = d/2 u/2
• d m/dt c dt u

  2 dt

1^o EQ. CARDINALE DINAMICA

Nello spazio nulla si muove dunque:

• ∑ F_i² c F² = dP/dt = 0

In generale le posizioni i definite dalle:

• Coordinate baricentro
• Angoli rotazione rispetto assi

Moto di Rotazione Intorno all'Asse z

Si consideri un corpo rigido che ruota intorno ad un asse fisso, coincidente con z. Introdotte le coordinate cilindriche (ρ, φ, z) si ha che dopo una rotazione di angolo φ le coordinate (x, y, z) diventeranno (x', y', z').

• x = ρ cos(φ + ϑ)
• y = ρ sin(φ + ϑ)
• z = z

Questa espressione vale in grande, ∀ φ ed è non lineare. Dal punto di vista degli spostamenti abbiamo che

• u = ρ [cos(φ + ϑ) - cos φ]
• v = ρ [sin(φ + ϑ) - sin φ]
• w = 0

Per ottenere lo spostamento infinitesimo si deve calcolare le differenziali dei componenti dello spostamento

• du = -ρ sin(φ + ϑ) dϑ
• dv = ρ cos(φ + ϑ) dϑ
• dw = 0

ϑ = 0 →

• du = -ρ sin φ dϑ
• dv = ρ cos φ dϑ
• dw = 0

dW = 0

Questa espressione è lineare in ϑ e può essere espressa con notazione vettoriale

d^u = dϑ ẑ x ^x

Se ^e è un vettore arbitrario, la rotazione intorno a uno asse d^e(ẑ), dϑ ^e x ^x, possiamo dire

d^u = dϑ ^e x ^x

Nelle formule che scriveremo da qui in poi si ometterà il simbolo di approssimato

in quanto si assume che per piccoli angoli

sinφ ≈ φ << cosφ ≈ 1

Di conseguenza scriveremo

v_p = v₀ + ^δZ⁄_δt (Z - L₀)

La massa di un volume dV vale dm = ρ(x̅) dV

La massa TOTALE si può calcolare come

m = ∫_Ω dm = ∫_Ω ρ(x̅) dV

dV = dx dy dz

La DENSITÀ MEDIA vale (teorema della media)

ρ̅ = 1/V ∫_Ω ρ(x̅) dV

Oltre alle FORZE CONCENTRATE si definiscono anche FORZE PER UNITÀ DI VOLUME:

• Si definisce la DENSITÀ per unità di volume f̅(x̅)
• Per esempio il peso specifico: f̅ⁿ(x̅) = g̅ ρ(x̅)
• Si calcola la forza elementare f̅(x̅) dV
• Si calcola l'integrale della forza elementare:

RISULTANTE

F̅ = ∫_Ω f̅(x̅) dV

MOMENTO

M̅₀ = ∫_Ω (p - o) x f̅(x̅) dV

BARICENTRO GEOMETRICO E CENTRO DI MASSA

x̅_c = 1/V ∫_Ω x̅ dV ; bar. geometrico

x̅_m = 1/m ∫_Ω x̅ ρ(x̅) dV ; centro di massa

x̅_c ≈ x̅_m se la densità è costante

RISULTANTE DELLE FORZE PESO

F̅ = ∫_Ω g̅ ρ dV = g̅ ∫_Ω ρ dV = g̅ m

MOMENTO

M̅₀ = ∫_Ω (p - o) x g̅ ρ dV = ∫_Ω [(x - x₀) ρ dV] x g̅

= ∫_Ω x ρ dV - ∫_Ω x₀ ρ dV] x g̅ = 1/m ∫_Ω x ρ dV - x₀ ρ] x ρ m = (x_m - x₀) x R̅

CIR PER MOTI DI TRASLAZIONE

convenzionalmente si attribuisce al moto di

traslazione come CIR il punto improprio e alle rotazioni sul moto.

3 GRDL

• PROPRIO: roto-traslazione
• IMPROPRIO: traslazione

• due cause (1 gdl)
  • l'ANGOLO per roto-traslazioni
  • lo SPOSTAMENTO per le traslazioni

STATICA DEL CORPO RIGIDO 2D

Ipotesi: corpo rigido sottile → z = 0

forze nel piano: _F^x ≠ 0, _F^y ≠ 0, _F^z = 0 → _Fx ≠ 0 _Ry ≠ 0 _Rz = 0 _Mx = 0 _My = 0 _Mz ≠ 0

Si considera il momento su scala: _M = _Mz

EQUAZIONI CARDINALI

Rx = N1Σi=1Fi,x + ∫Ω Fx(x, y) dΩ = 0

Ry = N2Σj=1Fj,y + ∫Ω Fy(x, y) dΩ = 0

M0 = N1Σi=1[(xPi - x0)Fi - (yPi-y0)Fxi + N3Σj=1Mj + ∫Ω[(x-x0) fy(x, y) - (y-y0) fx(x, y)]dΩ = 0

CONCLUSIONI

1. 3 GRDL
   • u²+v²+w² con q²≡ q_x²+ q_y²+ q_z², si abbandona le notazioni vettoriale
2. v_p = v₀ - 9(y_p-y₀) v_p = v₀ + 9(x_p-x₀)
3. Il moto piano è sempre ascrivibile come la rotazione attorno ad un punto detto CIR, eventualmente improprio
   • y_p - 9(y_p-y_CIR) oppure u_p = u₀ v_p = 9(x_p-x_CIR)

ALTRI VINCOLI

• IL PATINO A TERRA

Permette al corpo rigido solo di muoversi parallelamente a una retta. Introduce perciò il GDV lasciando 1 GDL. H’ sua C’ si trova solo all’∞.

MANICOTTO

BIPATTINO

Analogie al pattino:

• il MANICOTTO permette solo la traslazione → CIR all’∞
• il BIPATTINO consente un moto composto dato dalla traslazione nulla due direzioni.

Il luogo dei punti cui CIR al BIPATTINO è la RETA IMPROPRIA

Il BIPATTINO consente ogni moto traslatorio, cui non ammette rotazione, e di può sempre essere scomposto sempre nelle direzione graficamente rappresentate da quelle NORMALE e quella TANGENTE. Quindi ammette infinití CIR all’∞ il cui ‘luce’ sia un ici luogo geometrico dei CIR è cio tutta IMPROPRIA.