Lezioni ed esercitazioni, Algebra 1

ALGERBRA 1

9 CREDITI

• 48 h Umberto Cerruti (lezioni)
• 24 h Daniela Romagnoli (esercitazioni) - mercoledì aula 4
• + tutore Angelo Rendina (con compiti)

NOTAZIONI INSIEMISTICHE

x ∈ A (un insieme) = elemento

{a, b, c} (un insieme) = I

I = { x | x gode della prop P } tale che oppure :

Q = { x | x è un quadrato di un numero intero }

Q = { x ∈ Z | ∃ y ∈ Z x = y² }

x ∈ Q ∃ y ∈ Z x = y²

quantificatori

FAMIGLIA DI INSIEMI

• A = { A_k }_{k ∈ J}
• ESEMPIO
• A è una famiglia di insiemi tal che definiti da un indice J
• J = N
• N = { x ∈ Z : x > 0 }
• ∀ k ∈ N A_k = { kx | x ∈ Z }
• Es k = 2 A₂ = { 2x | x ∈ Z } numeri pari
• k = 1 A₁ = Z
• k = 0 A₀ = {0}

A ⊆ B

contenuto incluso

∀x ∈ A ⇒ x ∈ B

implico

sottoinsieme

con C, se A = B e ciò anche due A ⊂ B ∨ B ⊂ A

con ⊂ (inclusione propria)

A ⊂ B ∃ x ∈ B ∧ x ∉ A

P(I) insieme delle parti = insieme potenza

(comprende tutti i sottoinsiemi) tutti gli insiemi A tali che A è contenuto in I

{A|A ⊆ I}

non è mai vuoto perchè contiene sempre φ

∀ I φ ⊆ I

P(φ) = {φ}

P(φ) ≠ φ

In insieme dei numeri naturali compresi tra 1 ed n

esempio

I₁ = {1} P(I₁) = {φ, {1}} =I₁

∀ I_k ∈ P(I_n) sempre!

ma φ e I_n in P(I_n) sono detti banali o impropri

B₂ B₃ B₄ B₅ B₆ B₇ B₈ B₉ B₁₀ B₁₁ B₁₂

2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1

* B_n ∩ B_k = ∅

* ∪B_k = I

* ∀k∈J B_k ≠ ∅

è una PARTIZIONE

2 ∑_i=1⁵ i + 6 = 6²

2 ∑_i=1^u f(µ+1) = (µ+1)²

∑_i=1ⁿ i = (µ+1)² - (µ+1) = (µ+1) u / 2

FUNZIONE

I dominio I' codominio

Una funzione f tra dominio I e codominio I' è una legge che associa ad ogni elemento del dominio I un unico elemento del codominio I'

f: I → I'

f: x ↦ f(x)

che manda x in

Ex:

f: ℤ → ℤ

f: x ↦ x²

f: ℤ → ℤ

f: x ↦ ¹/_x (non è una funzione perché non è definita in 0)

IDENTITÀ

id_I Funzione detta anche identità

{ id_I : I → I

id_I : x ↦ x

IMMERSIONE

A⊂I

i :

{ i : A → I

i : x ↦ x

si differenzia da identità → codominio è diverso (più piccolo)

RESTRIZIONE

F : I → I'

G⊂I

{ F/G : G → I'

F/G : x ↦ F(x)

posso realizzare una funzione iniettiva se quella iniziale lo fosse...

y = x²

Funzione sempre definita NO suriettiva iniettiva

ma se restringo il dominio a R⁺ diventa iniettiva

e se restringo il codominio a R⁺ diventa anche suriettiva

CORRISPONDENZE TRA INSIEMI FINITI (1-1)

I_m = {1, 2, 3, ... , m}

m ≤ n ⇔ ∃ una iniezione tra I_m e I_n

m ≤ n ⇔ ∃ una suriezione tra I_n e I_m

1. Hp) m ≤ n Th) ∃ una iniezione i: I_m → I_n

I_m = {a₁, a₂, a₃, ... a_m} I_n = {b₁, b₂, b₃, ... b_n}

I_m → I_n con ∀ h. 1 ≤ h ≤ m a_h → b_h

Hp) ∃ una iniezione i: I_m → I_n Hp) m ≤ n

i(a₁), i(a₂), ... i(a_m)

sono tutte distinte ∈ I_n ⇒ n ≥ m

2. s: I_m → I_m

i → h ≤ m

s b_h → a_h   ∀1 h ≤ u

Hp) ∃ una suriezione tra I_n e I_m Th) m ≤ u

s: I_n → Im

f a_i ∈ I_m ∃ b_j ∈ I_m   s(b_j) = a_i

Definisco a partire dal s una iniezione tra I_m e I_n

i: I_m → I_n

i: a_h → b_j, dove s(b_j) = a_h   b_j ∈ s^-1(a_h)

• N.B è una Funzione
• Funzione
• Univocamente definita

3)

I = N

• A₀ = {x ∈ N | x = 9·3 + h } h = 0,1,2
• A₁ = {x ∈ N | x = 9·3} = {0,3,6,9, ...}
• A₂ = {x ∈ N | x = 9·3 + 1} = {1,4,7,10, ...}
• A₂ = {x ∈ N | x = 9·3 + 2} = {2,5,8, ...}

{A₀, A₁, A₂} sottom insiemi di N

• A₀ ∪ A₁ ∪ A₂ = N ⇒ ricoprimento dei N
• A₀ ∩ A₁ ∩ A₂ = φ ⇒ partizione di N
• + A_i ≠ φ

4)

I = Q

NB Un insieme che possiede infiniti modi di essere scritti i suoi elementi!

• A_i = {x ∈ Q | x ± j}_{i ∈ N}
• A₀ = {x | x ± 0} = Q - {0}
• A₁ = {x | x ± 4} = Q - {4}

Ricoprimento ma non partizione

• ∪_{i ∈ N} A_i = Q A₀ ∩ A₁ = Q - {0,1} ≠ φ

5)

Troviamo una famiglia di sottom insiemi di I che non sia un ricoprimento

I = R

• {[i, i + 1]}_{i ∈ N}
• ∪_{i ∈ N} {[i, i + 1]} = R⁺ ∪ {0} non è ricoprimento

Se c ∈ a, a ≡ c m=5

μ= {μ+5k | k ∈ Z}

- -> - = -̅{μ+5k | k ∈ Z}

prendo le classi dei resti 0̅, 1̅, 2̅, 3̅, 4̅

ogni x ∈ Z cade esattamente in una di queste classi di resto

23=̅3

23=6×4+3

con n>2 -> i resti possibili sono 0,1,2...n-1

∀a ∈ Z ∃! x

Z_n è l'insieme quoziente Z/≡_n = {2̅ | 0 ≤ a ≤ n-1}

0̅ = { 0+kn } -> { kn }

{0̅ con n=2 = { 2n } l'insieme dei multipli di n

1̅ con n=2 = { 2n+1 } l'insieme dei numeri dispari

0̅ ∩ 1̅ = φ

0̅ ∪ 1̅ = Z

esempio ①

F: I -> I' è suriettiva

Def ≡ in I x,y ∈ I x≡y (=>) F(x)=F(y)

① riflessiva F(x) = F(x)

② simmetrica y≡x => F(y) = F(x)

③ transitiva y≡x ∧ x≡z = -> F(y) = F(x) ∧ F(x)=F(z) => = F(y) = F(z)

X = I_n = {1, 2, ..., n}

Y = D = {0, 1}

Yⁿ = Dⁿ

F ⊆ D²

F = {    1    2    3    ...    n}               0    0    0    ...    0

a ∈ Dⁿ = {a₀, a₁, a₂, ..., a_n}

per notazione a_i = (a_i) 1 ≤ i ≤ n

struttura algebrica (D, ⊕, •)    in qubauetto Dⁿ

(Dⁿ, ⊕, •)

a = (a_i)    b = (b_i)

a ⊕ b = (a₁, a₂, ..., a_n) ⊕ (b₁, b₂, ..., b_n)

(a ⊕ b)_i ^def = a_i ⊕ b_i

1.

ESEMPIO n = 3

a = (0, 1, 0)

b = (1, 1, 0)

a = (a_i)    b = (b_i)

a ⊕ b = (1, 0, 0)

(0, 1, 0) ⊕ (1, 1, 0) = (1, 0, 0)

a • b = (0, 1, 0)

a_max b = (1, 1, 0)

2.

Definisco in Dⁿ una relazione ~ così:

(i)    Fisso un indice i    1 ≤ i ≤ n

(ii)    Fisso un nucleo e dati a, b ∈ Dⁿ

        a ~ b ⇔ (a ⊕ b)_i = 0

        ⇔ a_i = b_i

a ~ b NO