Appunti ed esempi Analisi Matematica Per Le Applicazioni

Analisi matematico per le applicazioni

Equazioni differenziali

Incognite una funzione. Equazione data tra le variabili x e y(x) e le sue derivate fino ad ordine n.

I ordine

F(x, y, y₁) = 0 → y₁ = f(x, y) aut. e sol. integrale generale (param. nullo)

II ordine

F(x, y, y₁, y₂) = 0 → y₂ = f(x, y, y₁) integrale generale (param. nulli)

y₁ = ±2 es. del I ordine scritto in forma normale

y = 2^{x / 3} ± integrale generale param. nullo

y₁ = 1 / √(2ε) + C⁰

y = ⅓ 2√[tε^c]

Problema di Cauchy

y¹ — senza II ordine

y(0) = 3. uguaglian. due parametri (raggiungibile nello stesso punto).

J = intervallo di intervallo dentro il bisogno scegliere |4| - [−π/2, π/2]

Le due grande. ordinate ottengono due variabili crescenti interi d.

Analisi matematico per le equazioni

Equazioni differenziali

Incognita una funzione. Le equazioni più elementari sono le equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali:

I ordine

y' = e^2x equazione di 1 ordine scritta in forma normale.

Solutioni: Si risolve le derivate parziali di sé e c = integrale generale costante.

y'' = 1 / √2θ + c²

y' = 2√2θ + e^x + 2c + cy = θ / 3 + e^x + e^2x + c

Problema di Cauchy

y'' senza cosθ

y(0) = 3 u(0) = A Integrando un'equazione derivata dello stesso ordine si trova lo stesso integrale dello stesso punto

y'' - u = sin 2θ J = {y: le funzioni devono essere commensurabili stesso punto}

y'' = sin 2θ - cosθ = ∫ -dt / t³ = -1/t² + c₁ + (-1/2, 9/2) Il più grande ordinato obiettivo sia conoscenza di interlacciamenti esatti

y = tgx + 2/3

Dunca eq differenz ed è soddisfa le differenz e le contin congiuntive

NB: se la denom è costituito da sui interattilI è scopio in base sue condizion integrali attumenti delle situazini separate

y' = 1/cos²x ln|cosx|

y(0) = 5 y(π/2) = 2

y' = ∫ 2 sen(2x) dx + 5 (intervallo possibilità)

A(t₀) = x! A(t₂) = e^-π/2

y = k(2) + 2t + e

y' = 2y' = x^-t = x⁰ e^w(x) ⇒ A(p)(x)

Sappiamo e integrale da integritura poi x = A(t₂) = e+t y(e) ⇒ sortir per ei presenza |e²-g| = 1 5 + 2 = 1 (y(e) = 5) ⇒ 9 ⇒ f → uguale → null = 5t¹

y = -A(t) + 2π

g(x) = 0 sin(r) α

apprxxxxx e integrale da integrluiturapodertransluaaapecíxxx

E.D. lineare omogenea del 1° ordine

y' = k(x)y(x) k è continua in un intervallo J

Sto P(x1) uno pseudo di k in J

y' = y y = ce^x

Sto y uno soluzione di k(x) g(ξ₂(ξ)) = y(ξ)e^-P(ξ)

g(ξ₂) = y1^P(ξ₂) y2 P(x1) = P(ξ)(y^-1 - k(ξ)y) e^-P(x1) y^-1

E.D. auxiliary separabili

(di ede l'ordine) y' = g(x2) c(q1) y può trebebbe una funzione può dipatente dila douese separare

d.e. lineare non omogenea (fred.z) y'' + (a/b)y' - b/a = anche perché ogni f.b. una comb. lineare di y e y1 non omogenea perché a/b

Ipotesi: e, eb sono continue in un intervallo J (se le domarcia sopra J è esteso unisce alle condizioni iniziali)

Metodo

Aritmetica i metodi senza pulsere esponitoru

P(t) una primitiva di e(t) (la scrittura di P(t) è da) y = e^P(t)[(c + ∫ e^-P(t)b(t)dt)]

y = P(t)/b(t)e^-P(t)a = asinθ, b = acosθ → cosθ = b/a, a = ±√a²-b²

y = R asin (θ + α) a = r cosθ, b = r sinθ → a±ba y cosθ + b y₂rsenθ

r² = 9 + 4 + 13 = 26

r(r²) = c1₂ ± c3² + 25

d.E omogenea di colole

y'' - 4y' + 13y = 0

Equazione aux base

di con f.c. di t.c. 0 non generica ricordiamo in nota, no figure problema aux base

y(0) = 1 h, cost + cosθ

ay(10) = 3r1(0)+3 y 2a cosθ = bsenθ non generico y^c1g^{α2 + cos2}

y^{= G2 + F2 + E2 - E} applicando le condizioni iniziali si ha: integrale generale:

y = C₁ e^x + C₂ e^-2x = 3

y' = C₁ e^x - 2C₂ e^-2x