Appunti di Analisi matematica

Introduzione alle equazioni parametriche e lineari

Le equazioni parametriche del segmento che unisce l’origine (0, 0) con il punto (2, 3) sono x = 2t con t ∈ [0, 1] e y = 3t. Possiamo allora scrivere: (x, y) con x = 2t e y = 3t per t ∈ [0, 1]. Nella grafica digitale, le equazioni parametriche sono fondamentali. Le rappresentazioni parametriche sono utilizzate sia per disegnare curve (grafica vettoriale) o rappresentare percorsi (videogiochi), sia in presenza di segmenti, archi di circonferenze, di parabole, ecc., sia in curve più avanzate come le curve di Bézier, le spline, e le B-spline.

Retta

Una retta nel piano, passante per il punto (0, 0), è il luogo geometrico dei punti per i quali è costante il rapporto −y/qx. Il valore −y/q=m/x è detto coefficiente angolare e rappresenta la pendenza della retta rispetto all'asse delle ascisse. q è detta intercetta ed è l’ordinata del punto in cui la retta interseca l’asse delle ordinate. Se la retta passa per l’origine (0, 0), allora è costante il rapporto tra le ascisse e le ordinate, y = mx.

Da quanto appena definito si deduce che, se θ è l’angolo tra la retta considerata e l’asse delle ascisse, allora −y/q = sin θ/cos θ = tan θ. Si chiarisce così il termine pendenza usato in precedenza quando si è parlato di coefficiente angolare: la pendenza è misurata con la tangente trigonometrica dell’angolo formato dalla retta con l’asse delle ascisse.

È chiaro, quindi, che se r: y = mx + q e r': y = m'x + q' sono due rette parallele allora hanno lo stesso coefficiente angolare, m = m'.

Equazione esplicita di una retta

Dalla definizione di retta come luogo geometrico −y/q ⇔ −= m y/q = mx si ricava l’equazione esplicita di una retta y = mx + q. Con questa equazione è possibile rappresentare tutte le rette del piano tranne le rette verticali, quelle per le quali ad un solo valore di x corrispondono infiniti valori di y e quindi è impossibile da rappresentare con una funzione y = f(x).

Equazione delle rette passanti per un punto

Per conoscere le equazioni delle rette passanti per un punto (x₀, y₀) è sufficiente considerare l’equazione della retta generica y = mx + q, imporre il passaggio per il punto y = mx₀ + q e sottrarre membro a membro:

−y₀ = m(x − x₀) da cui otteniamo l’equazione della generica retta passante per (x₀, y₀): −y = y₀ + m(x − x₀) .

Naturalmente, l’unica retta che non possiamo rappresentare è quella verticale.

Equazione della retta passante per due punti

Consideriamo il fascio di rette passanti per (x₀, y₀) −y₀ = m(x − x₀), imponiamo il passaggio per (x₁, y₁) e dividiamo membro a membro (escludendo i casi x₁ = x₀ e y₁ = y₀, ovvero le rette verticali e quelle orizzontali):

−x−x₀/y−y₀ = −y−y₀/x−x₀

Esplicitando la y: −x−x₀ −y = y₀ + (y₁ − y₀)/(x₁ − x₀).

Equazione implicita di una retta

Se nell’equazione esplicita poniamo m = − a/b, otteniamo

−y/q = − ax − by/q − bq = ax − bx/q, dove posto c = bq otteniamo l’equazione implicita di una retta: ax + by + c = 0.

Nel procedimento precedente, naturalmente, abbiamo dovuto ipotizzare b = 0. In ogni caso, però, considerando direttamente nell’equazione ax + by + c = 0 anche il caso b = 0, abbiamo ax + c = 0 da cui si ottiene l’equazione c−x = a −c/a che rappresenta tutti i punti con ascissa x = a/c e qualsiasi ordinata, ovvero tutti i punti della retta verticale che passa per il punto (−c/a, 0).

In questo modo l’equazione ax + by + c = 0 rappresenta tutte le rette del piano, comprese le rette verticali.

Per conoscere le equazioni implicite del fascio di rette passanti per un punto (x₀, y₀) è sufficiente considerare ax + by + c = 0, imporre il passaggio per il punto (x₀, y₀) e sottrarre membro a membro ottenendo l’equazione implicita della generica retta passante per (x₀, y₀):

−a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0.

Naturalmente, con b = 0 si ha quella verticale.

Consideriamo il fascio di rette passanti per (x₀, y₀) −a(x−x₀) − b(y−y₀) = 0, imponiamo il passaggio per (x₁, y₁) −a(x−x₁) − b(y−y₁) = 0 e dividiamo membro a membro (escludendo i casi x₁ = x₀ e y₁ = y₀, ovvero le rette verticali e quelle orizzontali):

−x−x₀/y−y₀ = −x−x₁/y−y₁ ovvero −x(y₁−y₀) − y(x−x₀) + y(x₁−x₀) − x(y₁−y₀) = 0 e quindi −x(y₁−y₀) − y(x−x₁) + yx x₁ = 0.

Equazione parametrica di una retta

L’equazione esplicita di una retta y = mx + q che passi per il punto (x₀, y₀) deve soddisfare l’uguaglianza y = mx₀ + q. Sottraendo membro a membro le due uguaglianze abbiamo −y−y₀ = m(x−x₀).

Se supponiamo che −x−x₀ sia funzione lineare di una variabile t con −x−x₀ = λt, avremo −y−y₀ = mλt. Da qui possiamo descrivere tutti i punti appartenenti alla retta con la coppia di equazioni −x−x₀ = λt e −y−y₀ = μt avendo indicato con μ il prodotto mλ. Pertanto le equazioni parametriche della retta passante per (x₀, y₀) sono x = x₀ + λt e y = y₀ + μt.

Anche in questo caso, quando λ = 0, otteniamo la retta verticale passante per (x₀, 0). Per ottenere l’equazione della semiretta con origine (x₀, y₀) è sufficiente limitare il dominio della variabile t: x = x₀ + λt con t ∈ [0, +∞), y = y₀ + μt.

Imponiamo il passaggio della retta x = x₀ + λt con t ∈ R e y = y₀ + μt per il punto (x₁, y₁): x = x₁ + λt′, y = y₁ + μt′, dove t′ è il valore del parametro t nel punto (x₁, y₁). Per convenienza, sia t′ = 1.

Fissato t′ = 1, ricaviamo λ e μ: λ = x₁ − x₀, μ = y₁ − y₀ e sostituendo tali valori nell’equazione parametrica della generica retta otteniamo l’equazione della retta passante per i punti (x₀, y₀) e (x₁, y₁): x = x₀ + (x₁ − x₀)t, y = y₀ + (y₁ − y₀)t.

Equazione del segmento

Equazione del segmento di estremi (x₀, y₀) e (x₁, y₁): è estremamente semplice dedurre dalla retta passante per i due punti le equazioni del segmento che ha come estremi i due punti. Infatti, è sufficiente limitare il dominio di t all’intervallo [0, 1]: x = x₀ + (x₁ − x₀)t con t ∈ [0, 1], y = y₀ + (y₁ − y₀)t.

Qui emerge la convenienza di aver scelto in precedenza t′ = 1. Abbiamo ‘normalizzato’ il segmento rispetto all’intervallo unitario [0, 1]. Altre scelte di t′ ∈ 1 avrebbero comportato t 0.

Angolo tra due rette

Siano r: y = mx + b e s: y = nx + q due rette non parallele. Sia γ l’angolo tra le due rette. Siano α e β gli angoli che r e s, rispettivamente, formano con l’asse delle ascisse. Allora γ = π − α (π − β) = β − α.

Calcoliamo tan γ = tan(β − α). Dalla formula di sottrazione della tangente: tan(β − α) = (tan β − tan α)/(1 + tan α tan β). Ma, poiché m e n sono i coefficienti angolari delle due rette, tan α = m, tan β = n. Pertanto, tan γ = (n − m)/(1 + nm), ovvero, l’angolo γ tra le due rette è dato da γ = arctan((n − m)/(1 + nm)).

Naturalmente il valore di γ suggerisce se per angolo compreso abbiamo calcolato l’angolo acuto o l’angolo ottuso tra le due rette. Quanto appena scritto contempla anche per il caso delle rette parallele, infatti, se n = m allora γ = 0, ovvero, come già visto in precedenza, due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.

Nel caso in cui le rette sono perpendicolari si ha: γ = β − α = π/2, valore per il quale la tangente non è definita. Quindi non deve esistere nemmeno il valore (tan β − tan α)/(1 + tan α tan β) = 1. Cosa che accade quando 1 + nm = 0 ovvero quando nm = −1. Pertanto r ⊥ s ⇔ n = −1/m.

Circonferenza

Equazione canonica (implicita) di una circonferenza

Una circonferenza nel piano è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto detto centro. Siano P(x, y) i punti della circonferenza, r > 0 il raggio della circonferenza, C(x₀, y₀) il centro della circonferenza. Un punto P(x, y) appartiene alla circonferenza se la sua distanza dal centro coincide con il raggio.

Distanza tra 2 punti nel piano: La distanza tra due punti del piano, P(x, y) e P(x₀, y₀) è data dalla formula √((x − x₀)² + (y − y₀)²). Infatti, il segmento che unisce i punti P e P₀ è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha come cateti i segmenti di lunghezza x − x₀ e y − y₀. Dal teorema di Pitagora segue la formula.

Dalla definizione di circonferenza e dalla formula della distanza, P(x, y) appartiene alla circonferenza se e solo se (x − x₀)² + (y − y₀)² = r².