Appunti di Analisi matematica

A B

7−→

t (x(t), y(t))

ovvero x = x(t) ∈ ⊆ R

t A

y = y(t)

Esempio:

Le equazioni parametriche del segmento che unisce l’origine (0, 0) con il punto

(2, 3) sono x = 2t ∈

t [0, 1] .

y = 3t

Possiamo allora scrivere: ∈ ⇔ ∈

(x, y) r x = 2t e y = 3t per t [0, 1]

Nella grafica digitale le equazioni parametriche sono fondamentali. Le rap-

presentazioni parametriche sono utilizzate sia per disegnare curve (grafica vetto-

riale) o rappresentare percorsi (videogiochi), sia in presenza di segmenti, archi di

circonfernze, di parabole etc. sia in curve piú avanzate come le curve di Bezier,

le spline, le B-spline.

1.1 Retta q),

Una retta nel piano, passante per il punto (0, é il luogo geometrico dei punti

per i quali é costante il rapporto −

y q

x

2

. Il valore −

y q

m = .

x

m d́etto coefficiente angolare e rappresenta la pendenza della retta rispetto

all’asse delle ascisse, q é detta intercetta ed é l’ordinata del punto in cui la

retta interseca l’asse delle ordinate.

Se la retta passa per l’origine (0, 0) allora é costante il rapporto tra le ascisse

e le ordinate, y = m .

x

Da quanto appena definito si deduce che, se ϑ é l’angolo tra la retta consi-

derata e l’asse delle ascisse −

y q sin ϑ

m = = = tan ϑ

x cos ϑ

Si chiarisce cosı́ il termine pendenza usato in precedenza quando si é parlato

di coefficiente angolare: la pendenza é misurata con la tangente trigonometrica

dell’angolo formato dalla retta con l’asse delle ascisse.

′ ′ ′

É chiaro, quindi, che se r : y = mx + q e r : y = m x + q sono due rette

′

parallele allora hanno lo stesso coefficiente angolare, m = m :

′

k ⇔

r s m = m

1.1.1 Equazione esplicita di una retta

Dalla definzione di retta come luogo geometrico

−

y q ⇔ −

= m y q = mx

x

si ricava l’equazione esplicita di una retta

y = mx+q .

Con questa equazione é possibile rappresentare tutte le rette del piano tranne

le rette verticali, quelle per le quali ad un solo valore di x corrispondono infiniti

valori di y e quindi impossibile da rappresentare con un funzione y = f (x) .

3

Equazione delle rette passanti per un punto: Per conoscere le equazioni

delle rette passanti per un punto (x , y ) (f ascio di rette) é sufficiente considerare

0 0

l’equazione della retta generica y = mx + q, imporre il passaggio per il punto

y = mx + q e sottrarre membro a membro:

0 0 − −

y y = m (x x )

0 0

da cui otteniamo l’equazione della generica retta passante per (x , y ):

0 0

−

y = y + m (x x ) .

0 0

Naturalmente, l’unica retta che non possiamo rappresentare é quella verticale.

Equazione della retta passante per due punti: Consideriamo il fascio di

rette passanti per (x , y )

0 0 − −

y y = m (x x ) ,

0 0

imponiamo il passaggio per (x , y )

1 1

− −

y y = m (x x ) ,

1 0 1 0

e dividiamo membro a membro (escludendo i casi x = x e y = y ) ovvero le

1 0 1 0

rette verticali e quelle orizzontali: −

− x x

y y 0

0 =

− −

y y x x

1 0 1 0

Esplicitando la y: −

x x 0 −

y = y + (y y )

0 1 0

−

x x

1 0

1.1.2 Equazione implicita di una retta

− ab

Se nell’equazione esplicita poniamo m = otteniamo

−

y q a

− ⇔ − −ax

= by bq =

x b

−qb

e posto c = otteniamo l’equazione implicita di una retta:

ax+by+c = 0 .

Nel procedimento precedente, naturalmente, abbiamo dovuto ipotizzare

6

b = 0

. In ogni caso, peró, considerando direttamente nell’equazione

ax + by + c = 0

anche il caso b = 0, abbiamo ax + c = 0

4

da cui si ottiene l’equazione c

−

x = a −c/a

che rappresenta tutti punti con ascissa x = e qualsiasi ordinata, ovvero

tutti i punti della retta verticale che passa per il punto (−c/a, 0) .

In questo modo l’equazione ax + by + c = 0

rappresenta tutte le rette del piano compreso le rette verticale.

Equazione delle rette passanti per un punto: Per conoscere le equazioni

implicite del fascio di rette passanti per un punto (x , y ) é sufficiente considerare

0 0

ax by c

l’equazione della retta generica + + = 0, imporre il passaggio per il

punto (x , y ) e sottrarre membro a membro otteniamo l’equazione implicita

0 0

della generica retta passante per (x , y ):

0 0

− −

a (x x ) + b (y y ) = 0

0 0

Naturalmente, con b = 0 si ha quella verticale.

Equazione della retta passante per due punti: Consideriamo il fascio di

rette passanti per (x , y )

0 0 − − −

a (x x ) b (y y ) = 0,

0 0

imponiamo il passaggio per (x , y )

1 1

− − −

a (x x ) b (y y ) = 0

1 0 1 0

e dividiamo membro a membro (escludendo i casi x = x e y = y ) ovvero le

1 0 1 0

rette verticali e quelle orizzontali:

− −

x x y y 0

0 =

− −

x x y y

1 0 1 0

ovvero − − − − − −

x (y y ) y (x x ) + y (x x ) x (y y ) = 0

1 0 1 0 0 1 0 0 1 0

e quindi − − − −

x (y y ) y (x x ) + y x x y = 0

1 0 1 0 0 1 0 1

1.1.3 Equazione parametrica di una retta

L’equazione esplicita di una retta y = mx + q

che passi per il punto (x , y ) deve soddisfare l’uguaglianza

0 0 y = mx + q.

0 0

5

Sottraendo membro a membro le due uguaglianze abbiamo

− −

y y = m (x x ) .

0 0

−

x x sia funzione lineare di una variabile

Se supponiamo che t

0 −

x x = λt

0

avremo −

y y = mλt .

0

Da qui possiamo descrivere tutti i punti appartenenti alla retta con la coppia

di equazioni −

x x = λt

0 .

−

y y = µt

0

·

avendo indicato con µ il prodotto m λ.

Pertanto le equazioni parametriche della retta passante per (x , y ):

0 0

x = x + λt ∈ R.

0 t

y = y + µt

0

Anche in questo caso, quando λ = 0, otteniamo la retta verticale passante

per (x , 0).

0

Per ottenere l’equazione della semiretta con origine (x , y ) é sufficiente

0 0

limitare il dominio della variabile t:

x = x + λt ∈

0 t [0, +∞).

y = y + µt

0

Equazione della retta passante per due punti Imponiamo il passaggio

della retta x = x + λt ∈ R.

0 t

y = y + µt

0

per il punto (x , y ):

1 1 x = x + λt̄

1 0 ,

y = y + µt̄

1 0

t̄ é il valore del parametro t nel punto (x , y ). Per convenienza (poi vediamo

1 1

perché) sia t̄ = 1.

Fissato t̄ = 1, ricaviamo λ e µ:

−

λ = x x

1 0 ,

−

µ = y y

1 0

e sostituendo tali valori nell’equazione parametrica della generica retta ottenia-

mo l’equazione della retta passante per i punti (x , y ) e (x , y ):

0 0 1 1

−

x = x + (x x ) t ∈ R.

0 1 0 t

−

y = y + (y y ) t

0 1 0

6

Equazione del segmento di estremi (x , y ) e (x , y ): é estremamente

0 0 1 1

semplice dedurre dalla retta passante per i due punti le equazioni del segmento

che ha come estremi i due punti. infatti é sufficiente limitare il dominio di t

all’intervallo [0, 1]: −

x = x + (x x ) t ∈

0 1 0 t [0, 1].

−

y = y + (y y ) t

0 1 0

Qui emerge la convenienza di aver scelto in precedenza t̄ = 1. Abbiamo

‘normalizzato’ il segmento rispetto all’intervallo unitario [0, 1]. Altre scelte di t̄

∈ 1

avrebbero comportato t 0, .

t̄

Angolo tra due rette Siano r : y = mx + b e s : y = nx + q due rette

non parallele. Sia γ l’angolo tra le due rette. Siano α e β gli angoli che r e s,

rispettivamente, formano con l’asse delle ascisse. Allora

− − − −

γ = π α (π β) = β α.

−

Calcoliamo tan γ = tan (β α). Dalla formula di sottrazione della tangente:

−

tan β tan α

−

tan (β α) = 1 + tan α tan β

Ma, poiché m e n sono i coefficienti angolari delle due rette

tan α = m tan β = n.

Pertanto −

n m

tan γ = 1 + nm

ovvero, l’angolo γ tra le due rette é dato da

−

n m

γ = arctan .

1 + nm

Naturalmente il valore di γ suggerisce se per angolo compreso abbiamo calcolato

l’angolo acuto o l’angolo ottuso tra le due rette.

7

Quanto appena scritto contempla anche per il caso delle rette parallele, in-

fatti, se n = m allora γ = 0, ovvero, come giá visto in precedenza, due rette

parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.

Nel caso in cui le rette sono perpendicolari si ha:

π

−

γ = β α = 2

valore per il quale la tangente non é definita. Quindi non deve esistere nemmeno

il valore − −

tan β tan α n m

=

1 + tan α tan β 1 + nm −1.

cosa che accade quando 1 + nm = 0 ovvero quando nm = Pertanto

1

⊥ ⇔ −

r s n = .

m

1.2 Circonferenza

Una circonferenza nel piano é il luogo geometrico dei punti equidistanti da un

punto detto centro.

1.2.1 Equazione canonica (implicita) di una circonferenza

Siano P (x, y) i punti della circonferenza, r > 0 il raggio della circonferenza,

C (x , y ) il centro della circonferenza.

0 0

Un punto P (x, y) appartiene alla circonferenza se la sua distanza dal centro

coincide con il raggio.

Distanza tra 2 punti nel piano La distanza tra due punti del piano, P (x, y)

e P (x , y ) é data dalla formula

0 0 0 q 2 2

− −

(x x ) + (y y ) .

d (P, P ) =

0 0 0

Infatti il segmento che unisce i punti P e P é l’ipotenusa di un triangolo

0 − −

rettangolo che ha come cateti i segmenti di lunghezza x x e y y . Dal

0 0

teorema di Pitagora segue la formula. 8

Dalla definizione di circonferenza e dalla formula della distanza P (x, y)

appartiene alla circonferenza se e solo se

2 2

− − 2

(x x ) + (y y ) = r

0 0

ovvero se − − − ⇔

2 20 2 2 2

x 2xx + x + y 2yy + y r = 0

0 0 0

− − −

2 2 20 2 2

x + y 2x