Matematica finanziaria - Appunti, definizioni e formule

Matematica Finanziaria

Regime di interessi semplici:

• tutti gli interessi sono uguali
• W_n = W(0) + n*I
• i_s: tasso d'interesse semplice, i_s = I/W
• W_n = W * (1 + (n * i_s))

migliore per l'investitore se il tempo è breve (6 mesi)

Regime di interessi composti:

• gli interessi vengono “ritirati” e re-investiti
• il valore composto matura interessi sugli interessi
• W_n = W_n–1 + (i_c * W_n-1)
• i_c: tasso d'interesse composto, espresso in percentuale
• i_c = I/W⁶⁵, se t = 1

nei mesi semplici:

• t_s(0;t) = 1: (t*_s^–1)
• m(0;t) = 1 + t×i

Montante: m(0; t):

Valore monetario riferito al termine di un intervallo di tempo comprensivo del capitale iniziale e degli interessi maturati nell'intervallo di tempo di riferimento

m(0;t) > 1

A causa del postulato di impazienza, se investo in un contratto tipico una certa quantità di denaro, in futuro ne ricevo di più.

v (0; t) = ¹/_{m (0; t)}

Fattore di sconto: valure che moltiplicato per W_n (la ricchezza che voglio ricevere al tempo n) per sapere quanto devo investire ora. Z_t(0)

Tasso d'interesse periodale:

j (0; t) = ^{Δ uW₀} / _{Z0(0)m (0;t) Z0(0)}

j (0;t) = m (0; t) -1

Intensità d'interesse periodale:

J (0; t) = ^{j (0; t)} / _i

Legge di capitalizzazione finanziaria

Un’attività finanziaria è formata da due serie di numeri:

• scadenziario _t = {t₀, t₁, t₂, ..., t_n} → n+1 date
• poste _X = {x₀, x₁, x₂, ..., x_n} → n+1 poste

Se _t0 coincide con oggi _x0 viene chiamato prezzo

Nella maggior parte delle attività finanziarie le poste sono sconosciute

Se valore dell’attività finanziaria è stabilito da una legge di capitalizzazione finanziaria che viene scelta all’inizio del contratto:

Valore di un'attività al tempo _t

• _{ω(t, x)} = Σ x_k * V(t - t_k)

⇒ Valore di un’attività nel regime di interessi semplici

• _ω(t) = Σ x_k * (1 + i^s(t - t_k))

dunque la legge è m(t_i; t_i) = 1 + i^s (t₂ - t₁)

e si chiama legge lineare

⇒ Valore di un’attività nel regime di interessi composti

• _ω(n) = Σ x_k * (1 + iⁿ)^{n - t}

dunque la legge è m(t_i, t₁) = (1 + i)^{(t₂ - t₁)}

e si chiama legge esponenziale

Base: unità di misura del tempo

i ha come unità di misura l'inversa del tempo

Se _i è tempo cresce e tasso diminuisce e viceversa

Legge lineare ed esponenziale coincidono se ^{i (t₂ - t₁) < 1}

Quindi entro 1-2 anni le leggi coincidono

• Legge esponenziale = 1 + i (t₂ - t₁) + ...
• 1/2 * i² (t₂ - t₁)² +...

Se la prima rata R₁ viene pagato:

in T = 0 → Ammortamento anticipato

in T = 1 → posticipato

in T = 2,3,… → diffetito

Se t = 0 coincide con ora => A immédiato

Poiché S è calcolato in legge esponenziale, l'attivita finanziaria è sempre equa.

Equita in T = 0:

Rendita alla francese immediata e posticipata

- S + R(1 + i)¹ + R(1 + i)² + ... + R(1 + i)^m = 0

4 incognite S, R, m, i (tano d'interesse della legge esponenziale in base periodica)

=> S + R(_{Σ^mk=1(1 + i)^k) = 0}

=> S = R ^{[1 - (1 + i)-m]} / _i

Valori di una rendita unitaria ^a_mi = A figurato m al tasso i

Rendita alla francese immediata e anticipata

comminciando a pagare in T = 0 hai m-1 rate

=> S = R ^{[1 - (1 + i)-(m-1)]} / _i + R

=> S = R ^{*(1 + i)*a_m-i}

A anticipato, figurato m al tasso i ^a_mi

Rendita alla francese diffritta

comincio a pagare in tempo n => conosco i valore in n - 1

=> S = R ^{*a_mi*a(1 + i)(n - 1)}

Non ha senno distengure tra anticipato e posticipato

Rendita perpetua

m = ∞

Anticipata: S = R / i*(1 + i)

Posticipata: S = R / i

BTP Buoni Pluriennali del Tesoro

• Titoli a cedola fissa (TCF) (fixed rate)
• BulleT Bond
• Straight Bond - Note

P = prezzo

m = maturity

I = tasso

C = facciale, nominale

Obbligazioni di lungo periodo

Scadenze non periodico

Se I = 0 => TCN

(I) BTP pagano una cedola ogni 6 mesi

Tasso cedolare I_c / C

tasso nominale annuo (t.n.a.)

I° cedole pagate in un anno

Rendimento di un BTP TIR

I = C * tna

m - 0 cu i_t^* = tasso periodico

=>₁P = I^* 1 - (1 + i_{t^{*)-m + C (1 + it*)-m}}

=> P = C => Prezzo alla pari

C = I + 1 - (1 + i_t*)m

m - 0 - Cu (1 + i_{t*)-m => I + 1 - (1 + i) y ^* = I/C (solo se P > C)}

Se P < C => Prezzo sotto la pari

Se P> C => Prezzo sopra la pari

spread!

Spread = (i_*tBTP - i_XBUND) * 10.000 punti base

i^BTP = tasso d'intusiasmo di un BTP italiano con maturità 10 anni

i^BUND = tasso d'ingresso di un BUND tedesco con maturità 10 anni

classe BTP

da presunta capacità dell'Italia di rottizione il debito pubblico, è cari segnato molto inferiore rispetto a questa tedesca (presenta mani vicino all'anno tero)

Inflazione in area euro circa 2%

Struttura per scadenza dei tassi

• Deve solo trasformare i prezzi in tassi