Matematica finanziaria - Appunti, definizioni e formule

MATEMATICA FINANZIARIA

Perera Paccanelli

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• W: ricchezza investita
• W: ricchezza ricevuta
• I: interessi (porte)
• n: durata del contratto

Regime di interessi semplici.

• tutti gli interessi sono uguali
• W_n = W_o + n*I
• i_s: tasso d'interesse semplici
  • i_s = I / W

_Wn - W(1 + (n * i_s))= migliore per l'investitore se il tempo è breve (6 mesi)

Regime di interessi composti

• Gli interessi vengono "ritirati" e reinvestiti
  • viene composto il "interesse sugli interessi
• W(n) = W(n - 1) + (i_c * W(n - 1))
• i_c: tasso d'interesse composto
  • i_c = I / W_o
• Se t=1y

W(n) = W^* (1 + j_c)

• per interessi semplici: m(0;t) = 1 + (t * i_s)
• interessi comp. m(0;t) = (1 + i_c)

Montante:

m(0;t): Valore monetario riferito al termine di un intervallo di tempo comprensivo del capitale iniziale e degli interessi maturati nell'intervallo di tempo di riferimento.

m(0;t) > 1

• ĩΑ causa del postulato di impazienza, se investo in un contratto tipo una certa quantità di denaro, in futuro ne riceverò di più.

v(0;t) = 1 / m(0;t)

• fattore di sconto: Valore che devo moltiplicare per W(n) τη ricchezza che voglio ricevere nel tempo n per sapere quanto devo investire oggi W_o(t)

tasso d'interesse periodale

• j(0;t) = m(0;t) - 1

intensità d'interesse periodale

• γ(0;t) = J(0;t) / t

MATEMATICA FINANZIARIA

Regime di interessi semplici

• tutti gli interessi sono uguali

W(n) = W(0) + n*I

i_s: tasso d’interesse semplice

i_s = I/W

W(n) = W(1 + (n * i_s))

- migliore per l’investitore se il tempo è breve (6 mesi)

Regime di interessi composti

• Gli interessi vengono "ritirati" e re-investiti

= viene composto un interesse sugli interessi

W(n) = W(n - 1) + (i_c * W(n - 1))

i_c: tasso d’interesse composto

L_c espresso in percentuale

W(n) = W * (1 + i_c)

m(0;t) = 1 + (t * i_s)

m(0;t) = (1 + i_c)^t

Montante

m(0;t)

Valore monetario riferito al termine di un intervallo di tempo comprensivo del capitale iniziale e degli interessi maturati nell’intervallo di tempo di riferimento

m(0;t) > 1

v(o;t) = 1/m(0;t)

Fattore di sconto

Valore che devo moltiplicare per W(0;n) (la riscossa che voglio ricevere del tempo n) per sapere quando devo investire oggi per ottenere W(n)

Tasso d’interesse periodale

j(0;t) = ΔW(0;t)/W(0)

j(0;t) = m(0;t) - 1

_t

Intensità d’interesse periodale

γ(0;t) =

m(0;t) (oppure γ(0;t); J(0;t); ϑ(0;t) dato che sono tutte la medesima funzione) è una

Legge di capitalizzazione finanziaria

Un attività finanziaria è formata da due serie di numeri:

1. scadenziario

   t = {t₀, t₁, t₂, ..., t_n} → n+1 date

2. poste

   X = {x₀, x₁, x₂, ..., x_n} → n+1 poste

Se t₀ coincide con oggi x₀ viene chiamato prezzo.

Nella maggior parte delle attività finanziarie le poste sono sconosciute.

Se valore dell'attività finanziaria è stabilità da una legge di capitalizzazione finanziaria che viene scelta all'inizio del contratto.

Valore di un'attività al tempo t:

t ≤ t_k

W(t, X) = Σ x_k * γ(t, t_h)

legge se cambia la legge cambia il valore.

= valore di un'attività nel regime di interessi semplici:

W(n) = Σ x_i * 1 + i * n

dunque la legge è m(t_i, t_f) = 1 + i * (t₂ - t₁)

e si chiama legge lineare

⇒ Valore di un'attività nel regime di interessi composti:

W(n) = Σ x_i * 1 + iⁿ

dunque la legge è m(t_i, t_f) = (1 + i) ^{(t₂ - t₁)}

e si chiama legge esponenziale

Base unità di misura del tempo

l ha come unità di misura l'inversa del tempo

Se il tempo cresce il tasso diminuisce e viceversa

Legge lineare ed esponenziale coincidono se i * (t₂ - t₁) < 1

Quindi entro 1-2 anni le leggi coincidono

Legge esponenziale = 1 + i (t₂ - t₁) + 1/2 i² (t₂ - t₁) ² ...

se questo è molto piccolo le due leggi coincidono

legge lineare

m(0;t) exp