Appunti e formule di Analisi e Geometria 1

2017/2018

Appunti e formule di

Analisi e Geometria 1

POLITECNICO DI MILANO PROF. GIANLUCA MOLA

GABRIELE MAZZOLARI ANALISI E GEOMETRIA 1

POLITECNICO DI MILANO - FACOLTA’ DI INGEGNERIA INDUSTRIALE

Limiti e continuità

Se il limite tende a 0 tenti di ricondurlo al limite notevole

Se il limite tende all’infinito guardi chi ci arriva prima eliminando gli infiniti di ordine

minore

Forme indeterminate

1. +∞-∞

(a) Limite di una funzione polinomiale

−1

lim ( + + ⋯ + )

0 1

→±∞

Raccoglimento a fattore comune x n

1 2

lim ( + + + ⋯ + )

0 2

→±∞

lim

0

→±∞ =0

∞ 2 2

2 (

(b) lim ( − + 1) = +∞ − ∞ = . . + )( − ) = −

√

→±∞ 2 2

2 −( +1)

+√ +1 −1

2

lim ( − + 1) ∙ = lim = = 0

√ 2 2 +∞

+√ +1 +√ +1

→±∞ →±∞

∞

2. ∞ −1

+ +⋯+ ∞

0 1

lim = m>n lim () = 0

−1

+ +⋯+ ∞

→∞ →∞

0 1 Per confronto

m<n lim () = ±∞ di infiniti

→∞

m=n lim () =

→∞

0

3. scomposizione in fattori

0 2

−2−3 (−3)(+1) +1 4

lim lim = lim =

2

2 −9+9 (−3)(2−3) 2−3 3

→3 →3 →3

4. 1

∞

5. ∞

0

6. 0

0

Forme non indeterminate

∞

0·∞ = 0 =∞

0

GABRIELE MAZZOLARI A.A. 2018/2019 Pagina | 1

ANALISI E GEOMETRIA 1

POLITECNICO DI MILANO - FACOLTA’ DI INGEGNERIA INDUSTRIALE

0

∞

0 = 0 =0

∞

Limiti notevoli →

sin sin () sin

lim = 1 → lim = 1 ℎè sin ~ ( → 0) lim =

()

→0 →0 →0

2

sin

lim = 0 → lim ∙ sin = 0

→0 →0

1−cos 1−cos () 1−cos 1 1−

lim = 0 → lim =0 lim = → lim =

2

() 2

→0 →0 →0 →0

ln(1 + ) ln(1 + ())

lim = 1 → lim =1

()

→0 →0

log (1 + )

lim = log

→0 ()

− 1 − 1

lim = 1 → → lim =1

()

→0 →0

− 1

lim = ln

→0

(1 (1

+ ) − 1 + ) − 1

lim = → lim =

→0 →0 →∞

()

1

lim (1 + ) = → lim (1 + ) = → lim (1 + ) =

()

→±∞ →±∞ →±∞

1 −1

lim (1 − ) =

→±∞ 1

1 ()

(1 (1

lim + ) = → lim + ()) =

→±∞ →±∞

Asintoticità (x→0) 2

⊙

sin⊙ ~ ⊙ 1 − cos⊙ ~ tan⊙ ~ ⊙

2

⊙

− 1~ ⊙ ln(1 +⊙)~ ⊙ (1 +⊙) ~ ⊙

Gerarchia di infiniti

(2)!

log ≪ ≪ ≪ ≪ ! ≪ ≪ →∞

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ANALISI E GEOMETRIA 1

POLITECNICO DI MILANO - FACOLTA’ DI INGEGNERIA INDUSTRIALE

Discontinuità

Continuità

 ()

 lim () = lim ()

−

+ →

→ 0

0

 )

= (

0

Discontinuità di 1° specie (salto)

lim () ≠ lim ()

−

+ →

→ 0

0

Discontinuità di 2° specie (asintoto da una parte o entrambe)

lim () = ± ∞

→ 0

Discontinuità di 3° specie (punto da solo o non esistente (buco))

lim () = lim () ≠ ( )

0

−

+ →

→ 0

0

Ricerca asintoti

Asintoto orizzontale

lim () = ∈ ℝ = è

→∞

Asintoto verticale

)

( = ∄ lim () = ∞ = è

0 0

→ 0

Asintoto obliquo (esiste solo se il grado del numeratore supera di 1 il grado del

denominatore, non di più)

()

= lim

→∞

= lim [() − ]

→∞

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POLITECNICO DI MILANO - FACOLTA’ DI INGEGNERIA INDUSTRIALE

Derivate

Derivate fondamentali

 ′ ()

() = → = è 0 ( // )

 ′ ()

() = → = 1°/3°

 ′ − ′ −1

()

() = → = = → =

1

1 1

−1

/ ′

o = √ = → = =

2

2 2

√

 ′ ()

() = sin = cos

 ′ ()

() = cos = −sin

1

 ′ 2

()

() = tg = = 1 +

2

1

 ′ 2

()

() = cotg = − = −(1 + )

2

1

 ′ ()

() = arcsin = 2

√1− 1

 ′ ()

() = arccos = − 2