Appunti e esercizi svolti, Geometria, Capparelli

Geometria

Prof. Stefano Caparrelli

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica - La Sapienza 1° anno, 1° semestre aa. 2012-13 Tutor: Prof. Roberto Garra

Testi consigliati:

(I primi due della lista sono i libri di testo veri e propri. Gli altri possono essere di utile consultazione)

1. S. Caparrelli – A. Del Fra: Geometria, Esculapio, 2010
2. W. Keith Nicholson: Algebra Lineare, dalle applicazioni alla teoria, McGraw-Hill 2002
3. P. Maroscia: Geometria e Algebra Lineare, Zanichelli, 2002
4. S. Caparrelli – A. Del Fra: Esercizi di Geometria, Esculapio, 2012 (Errata Corrige del libro di esercizi)
5. M. Bordoni: Geometria Analitica, Esculapio, 2001
6. F. Bisi, F. Bonsante, S. Brivio: Lezioni di Algebra Lineare con applicazioni alla Geometria Analitica, La Dotta, 2013

Programma:

Insiemi. Unione, intersezione, complementare di un insieme. Insieme delle parti. Principio di induzione. Prodotto cartesiano tra insiemi. Relazioni. [1, Capitolo 1]

Se A è un insieme con almeno due elementi A² è l'insieme "delle relazioni". Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza. Esempi. Relazioni di ordine v. Relazioni di congruenza. [1, Capitolo 1]

Morfismi tra insiemi. Definizione di omomorfismo. Funzioni. Funzioni iniettive, suriettive, invertibili. [1, Capitolo 1]

N, Z (intro), Q, R: osservazioni su numeri. Induzione e numeri reali: struttura di campo di R e di Q. Successioni. Serie. Definizione di Bernoulli. Complessità tra numeri.

Struttura di N. Struttura derivante reali da campo. Il mondo di un numero complesso. Mondo del numero reale. Gli insiemi Q e R struttura di campo unitario di primo. Forma trigonometrica del numero complesso.

Fondamenti di Geometria Settorani. Lezione non completa di algebra lineare.

Relazioni tra alcune nozioni complesse di vettori. Insiemi lineari. Dipendenza e linearità. Generazione, span. Sottospazio. Piano F: vettori e matrici. [2, Capitolo 1,4; 4, Capitolo 2]

Concetto di dimensione. Base canonica (naturale, standard) di R. Prodotto scalare in R². Introduzione alle matrici. Ordine di una matrice. Struttura di spazio vettoriale nell'insieme delle matrici. [2, Capitolo 1], [4, Capitolo 2]

Trasposizione di matrici e prodotti. Matrici simmetriche. Introduzione al metodo di eliminazione di Gauss. Matrice di un sistema lineare. Matrice compatta di un sistema. Operazioni elementari sulle equazioni. [2, Capitolo 1]

Operazioni elementari sulle righe di una matrice. Forma a scala di una matrice. Forma a scala ridotta. Pivot. Metodo di soluzione dei sistemi lineari mediante la riduzione a scala. [2, Capitolo 1]

Interpretazione di un sistema secondo la colonna. Rango di una matrice come numero di pivot. Teorema di Rouche-Capelli. Condizione di incompatibilità di un sistema: sistema incompatibile nella colonna matrici compatte, equivalentemente, rango di A diverso da rango di C. [C. Linese] Condizione di soluzione dei sistemi lineari omogeno o autotuosavo vettoriale di dimensione reale. [2, Capitolo 2]

Moltiplicazione tra matrici; prodotto righe per colonne. Proprietà del prodotto tra matrici, endomorfismi e non commutativo. Matrici involuti. Interi invertibili. [1, Capitolo 1]

Algoritmo di inversione. Unicità della matrice inversa. Proprietà della matrice inversa. Condizioni equivalenti per l'invertibilità. [2, Capitolo 1, 1.5]

Conclusione della dimostrazione del teorema sulle condizioni equivalenti. Matrici elementari. Proprietà delle matrici elementari. Una matrice è invertibile se e solo se è il prodotto di matrici elementari. Generalizzazione dell'algoritmo di inversione. Fattorizzazione di una matrice: A = PA₂. [2, Capitolo 1, 1.6]

Definizione di determinante usando i prodotti componenti. Regola di Sarrus. Primo Teorema di Laplace. [1, sez.3.3] Operazioni elementari e proprietà del determinante. [2, Capitolo 2]

Cofattori e complementi algebrici. Dimostrazione del Teorema di Binet (e sul prodotto). Determinante della matrice inversa. Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Matrice aggiunta. Formula di cofattore. [2, Capitolo 2]

Dimostrazione delle formule equivalenti. Formula per la matrice inversa. (Vedesi di Crarmer. Minori di una matrice complessa) [2, Capitolo 2]

Minori principali. Sviluppo con R per righe e colonne. Polinomio caratteristico. Introduzione al polinomio caratteristico. Rango di una matrice.

Nulla di pivot. Spazio righe e spazio colonne. Determinazione di una matrice rango. Rango per righe. Rango per sole colonne. Interpretazione della matrice righe con l'aggancio tra spazio righe e colonne.

Piano per la determinazione di una matrice (U) invertibile in prodotti, determ. matrici reali.

GEOMETRIA Lorena Greco 1° QUADERNO

1/10/12

Dati: A = ℒ rette del piano R: parallelismo

R = {(r; s)∣ r∥s}

Il parallelismo è un relazione di EQUIVALENZA perché gode le proprietà: - riflessiva: (r; r) ∈ R ⇒ r∥r - simmetrica: (r; s) ∈ R ⇒ (s; r) ∈ R - transitiva: (r; s) ∈ R e (s; t) ∈ R ⇒ (r; t) ∈ R

Traccia la perpendicolare tra rette non è una relazione di equivalenza perché gode solo le proprietà simmetrica e non quella riflessiva e transitiva.

Data una relazione di equivalenza R in un insieme A (= R ⊆ A × A con le tre proprietà di equivalenza), si divide A in classi: in tanti sottoinsiemi (o sottoinsiemi di così) aventi la seguente proprietà: quelle le rette delle tre proprietà formano insiemi i membri di esso si chiamano classe di equivalenza e l’insieme formato da tutte le classi di equivalenza si chiama quoziente.

Perché avere qualunque degli elementi è anche contenuto cioè non tutte equivalenti poiché dell’A tutte (poi: unione una classe di equivalenza per contiguità o di stessi elementi (es: [a] Le classi di equivalenza sono partizioni un insieme) ex: A = A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪ A₄ A₁ ∩ A₂ ∩ … ∩ A₄ = ∅ A_i ∩ A_j = ∅ se A_i ≠ A_j

R ⊆ A × A

L'insieme "A" si ripartisce in classi di equivalenza: ovvero questa divisione (A in n più sottoinsiemi ma non possono intersecano fra loro.

Risoluzione di combinazioni lineari

Una combinazione lineare si può risolvere anche conoscendo i coefficienti scalari dei vettori e i vettori. Bisogna scrivere e risolvere le componenti del vettore finale.

• v₁ = (3; 5; -7)
• v₂ = (6; 2; 4)

v₃ = v₁ - 2v₂ - 3 = (?; ?; ?)

v₃ = (0; 1; 4; -2)

Esercizio

Scoprire se i vettori sono linearmente dipendenti:

• v₁ = (1; -2)
• v₂ = (6; -7; 2)

d₁v₁ + d₂v₂ = 0

d₁(1; -2) + d₂(6; 7; -2) = (0; 0)

d₁ + 6d₂ = 0

-2d₁ + 12d₂ = 0

d₁ = -6d₂

La risposta è NO, i vettori sono linearmente dipendenti.

Le matrici hanno molti usi: ad esempio possono essere associate a un grafo orientato.

La matrice associata a questo grafo (che rappresenta il numero di voli da... a...)

Questa è un esempio di matrice di adiacenza (che rappresenta l'adiacenza di un elemento ad un altro).

Le matrici possono essere utilizzate anche per risolvere sistemi di equazioni (lineari).

Teoria dei sistemi di equazioni lineari:

Es:

• 2x + 3y = 5
• 4x + 3y = 12

Trovare una soluzione a questo sistema equivale a trovare un elemento formato da una coppia di numeri

che se sostituiti alle incognite x, y ordinatamente, danno un'identità.

In questo esempio, la soluzione a questo sistema:

Sol (x; y)

(1 metodo di eliminazione maxi dei gradi), qui riportati alcuni

questo metodo si sviluppa in:

• (7)
• x + 2y = 1
• x + 3y = 2
• 5
• y = 1