Appunti di Teoria e Tecnica delle Telecomunicazioni

COMUNICAZIONI ANALOGICHE

IL MESSAGGIO DA TRASMETTERE È UNA FORMA D'ONDA, AD ESEMPIO LE ONDE SONORE DI UNA VOCE CHE VENGONO TRADOTTE, TRAMITE UN MICROFONO, IN ONDE DI TENSIONE DA TRASMETTERE SUL CANALE

IL RICEVITORE EFFETTUERÀ LA TRADUZIONE OPPOSTA TRAMITE DEI DIFFUSORI ACUSTICI

SEGNALI BANDA BASE

Un segnale s(t) è detto banda base se

s()≈0, ∀: ||>W

per qualche W>0

Ciò vuol dire che l'energia del segnale si concentra intorno alle basse frequenze

SEGNALI PASSA BANDA

Un segnale s(t) è detto passa banda se

s()≈0, ∀: |±_c|>W

con _c > W > 0

Modulazioni di Angolo: PM ed FM

Le modulazioni di angolo sono non lineari, sono dunque più difficili da implementare e da realizzare.

Nella modulazione di fase la fase della portante viene modificata in accordo alle variazioni del segnale messaggio.

Nella modulazione di frequenza, la frequenza della portante viene modificata in accordo alle variazioni del segnale messaggio.

Godono della proprietà di espansione di banda, ovvero i segnali modulati hanno una banda effettiva molto più ampia del segnale modulante.

Il vantaggio è dato dall'immunità al rumore, dunque si usano quando si può sprecare più banda ma è necessaria una trasmissione hi-fi.

U(t) = A_c cos(Θ(t))

È possibile esprimere l'angolo Θ(t) come:

2πf_ct + φ(t)

Allora

U(t) = A_c cos(2πf_ct + φ(t))

Calcoliamone la frequenza istantanea

f_i(t) = ₁/_2π d/dt Θ(t) = f_c + ₁/_2π d/dt φ(t)

PM ⇒ φ(t) = K_p m_v(t)

FM ⇒ f_i(t)−f_c = ₁/_2π d/dt φ(t) = K_f m_v(t)

Dove

• K_p: Costante di deviazione di fase
• K_f: Costante di deviazione di frequenza

Codifica di sorgente

La sorgente può essere discreta (testo, file...) oppure analogica (forme d'onda che rappresentano voce, video...).

Qualunque stata la sua natura, l'uscita della sorgente può essere modellata come una variabile aleatoria (o meglio una manifestazione di un processo stocastico).

È infatti cruciale conoscere l'insieme delle possibili uscite della sorgente ed ad ogni possibile uscita viene associata un'espressione che permette di distinguerla.

La codifica di sorgente sfrutta questi concetti chiave di modulazione probabilistica.

In ingresso al blocco arrivano dei simboli binari:

• Hanno caratteristiche statistiche note
• Occupano molta memoria
• Hanno scarsa entropia
• I simboli sono tra loro correlati, quindi le v.a. dei simboli sono dipendenti

Il blocco fornisce in uscita dei simboli binari:

• Non ridondanti
• Occupano poca memoria (compressi)
• Hanno elevata entropia
• Le v.a. dei simboli sono i.i.d.
• Il numero di 0 è simile al numero di 1, ovvero

P(0) = P(1) = ¹/₂

Rimozione della ridondanza

La codifica consente di rimuovere la ridondanza, e può essere di due tipi:

• Lossy: con perdita fornisce un livello di compressione maggiore ma le informazioni di dettaglio sono perse (senza perdita), e può essere o meno reversibile. La perdita a livello intellettuale ed è reversibile.
• Esempio di codifica lossy: (.jpeg, .mp3...), si tralascia parte dei bit meno significativi contenenti le informazioni dell'immagine, e cerca di ricostruirli tramite algoritmi di interpolazione.
• Esempio di codifica lossless: (.zip, .flac...) supponiamo di avere in ingresso una stringa di bit, con

P(1) << P(0)

Sappiamo a priori che devono essere trasmessi 1024 bit e che 10 di questi sono degli 1.

Si può pensare di codificare in binario l'indirizzo degli "1", utilizzando

log₂ 1024 = 10 bit

Per ogni indirizzo, ed in totale 10.10 bit= 100 bit < 1024 bit

Entropia

Ogni sorgente discreta e caratterizzata da un alfabeto di una statistica ha ad essa associata una quantità detta entropia.

L'entropia è il numero minimo di bit per simbolo necessari a creare una corrispondenza tra sorgente e stringa binaria che permetta di ricavare la sequenza codificata.

Esempio di trasmissione con codifica

Supponiamo di voler codificare una forma d'onda che corrisponde ad un messaggio vocale.

È vero che in generale le forme d'onda possono assumere qualunque valore reale e sono continue nel tempo.

Tuttavia, il teorema del campionamento ci insegna che è sufficiente campionare la forma d'onda ad intervalli regolari ovvero con una frequenza almeno al livello di Nyquist, dato che il nostro spettro della banda contenga maggiormente il 2° bit con una frequenza di 8000 Hz, è quindi possibile quantizzare a livelli accontentandosi di 2 bit = 4 livelli.

Lo spazio vettoriale normato dei segnali L₂

Dimostriamo che L₂ soddisfa gli assiomi di spazio vettoriale:

• Chiusura rispetto all'operazione di somma tra vettori

s₁(t), s₂(t) ∈ L₂ ⇒ s(t)=s₁(t)+s₂(t) ∈ L₂

• Chiusura rispetto all'operazione di prodotto di un vettore per uno scalare

s(t) = s₁(t) ∈ L₂ ∀ α ∈ ℝ

Possiamo dunque effettuare il teorema della rappresentazione per rappresentare i segnali come vettori.

1. Base: {ψ_k(t)}_n^∞

s(t) ∈ V sottospazio di L₂

dim(V) = N

s(t) = Σ_k=1^N s_k ψ_k(t)

s_k = = ∫s(t)ψ_k(t)dt

s(t) ⟶ (s₁, s₂, ... s_N) ∈ ℂ^N

Dimostriamo che L₂ soddisfa gli assiomi di spazio vettoriale normato

Il prodotto scalare è definito come:

∈ L₂

= ∫_-∞^+∞ x(t)y*(t)dt

Assiomi del prodotto scalare:

1. Simmetria hermitiana:

= *

∫ y(t)x*(t)dt = ∫ x(t)y*(t)dt = ∫ (x(t)y*(t))*

Lineareità dell'integrale e dell'operatore "coniugato"

2. Bilinearità hermitiana:

= α + β

Vale per la linearità dell'integrale

3. Positività stretta:

≥ 0 ⟷ = 0

A priori bisogna ammettere che tre assiomi non verificano infatti in generale un qualsiasi segnale quasi ovunque nullo, tra cui in insiemi di misura nulla, ovvero se

∫_ℝ|x(t)|²dt = ∫_ℝ|x₂(t)|²dt = ∫_ℝ|x(t)-x₁(t)|²dt

Due segnali x₁(t) ed x₂(t) sono nella stessa classe di equivalenza, ovvero sono indistinguibili, se sono uguali a meno di insiemi di misura nulla, ovvero se

∫_ℝ|x(t)|²dt = ∫_ℝ|x₂(t)|²dt

Un segnale è dunque nella classe di equivalenza del segnale nullo se

∫_ℝ|x(t)|²dt = ∫_ℝ|x₂(t)|²dt = ϵ_X = 0

Abbiamo così verificato il 3^o assioma

L₂ è uno spazio vettoriale normato, chiamato spazio di Hilbert

Comunicazione Digitale:

Tx, Canale ed Rx

Il canale è AWGN (Additive White Gaussian Noise, rumore gaussiano bianco additivo)

r(t) = s(t) + w(t)

Tx e Rx digitali sono caratterizzati dal bitrate (tasso di bit)

R_b = 1/t_b

Ruolo del Tx digitale: converte una stringa di bit in una forma d'onda.

Ruolo del Rx digitale: decide quali delle possibili stringhe di bit sono state inviate, tenendo conto del rumore introdotto dal canale.

ε_b: energia per bit

Trasmissione di Simboli

La stringa da trasmettere viene divisa in blocchi, detti simboli.

Esempio:

100 110 010 001 001

Se i simboli sono a k bit, ci sono M = 2^k possibili simboli, e dunque servono M segnali.

Introduciamo dunque:

• T: intervallo di segnalazione o di simbolo
• R: symbol rate

T = 1/R = k/R_b = k t_b

ε_s: energia per simbolo

ε_s = k ε_b