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Esercizio 21

X = (X1, X1, X3)

Xi iid U(0,a)

Stima ML di a:

Considerando

f(x1;a) = { 1/a 0 ≤ x1 < a ∅ altrove Funzione densità di probabilità

f(xi;a) = { c a > xi ∅ altrove verosimiglianza

Nel caso vettoriale N = 3 X = (x1, x2, x3)

f(x;a) = { 1/a3 se x1 ∈ (0,a) se x2 ∈ (0,a) se x3 ∈ (0,a) ∅ altrove

âML = max(x1, x2, x3)

Esercizio 9

Sistema binario equiprobabile ortogonale su canale AWGN con N0

Siano S0 = (E, 0) e S1 = (0, αE) con α > 0

  1. Determinare Pi(α) con i = 1, 2
S0 S1 (E, 0) ════════════════════════════════════▶

Ipoten equiprobabil → criterio N

(x1√E)² ─────────────── e −x²N0 l −x²N0 πN0 ─────────────── e −x₂²N0 ≥ 1 (E0)e>x1 x2 ─────── e √E1−α²)/2

P₁(α) = {x₁−αx₂>√E1−x²/2}

P₂(α) = {x₁−αx₂≤√E1−x²/2}

P(e|s1) = 1/2

α = ±1/2

P(e) = Λ/4 + Q(1/2yb)/2

P(e|s2) = Q(1/2yb) = P(e|s2)

P(e) = Q(1/2yb)

Esercizio 1

Sistema PAM con sequenze di training di durata n intervalli di simboli. In questi n intervalli vengono trasmessi segnali {b1, b2, ..., bm} noti. In ricezione si ha rk = bk + wk, con k = 1, ..., n e wk iid wk ∼ N(0, N0/2)

  1. Stimare Nˆ0

Poichè wk ∼ N(0, N0/2) → ƒ(x; N0) = ∏(1/2πN0)-1/2 e(rk-bi)2/N0

Stimo Nˆ0 con ∂/∂N0 ln ƒ(x; N0) = φ

ln ƒ(x; N0) = ln(πN0)-n/2 - ∑i=1m(xi-bi)2/N0

∂/∂N0 = -m/2&sub0 + 1/N0i=1m (xi-bi)2 = φ

N0i=1m (xi-bi)2 = n/2

Nˆ0 = (2/m) ∑i=1m (xi-bi)2

  1. E[Nˆ0] = ?

b)

γα? Se s0 non viene trasmesso

Εav = 1/2s + Εs) = Ε

γα = Εs / Ν0 = Εav / Ν0

c) P(e;γα)=?

Il secondo è sempre lo stesso → P(e|s1) = P(e|s0) = P(e|s1)

→ P(e;γα) = 1/2 (P(e|s0) + P(e|s1)) = Q(Ε/√2Ν0) = Q(√γα2)

P(e;γα) = Q(√γα2)

d) Confronto tra le 2 probabilità di errore

(i) γα piccolo

(ii) γα elevato

P(e;γαav) = 4/3 Q(√3/4γαav) ≈ 2/3 e-3/2γαav

P(e;γα) = Q(√γα) ≈ 1/2 e-γα

→ P(e;γαav) > P(e;γα)

Esercizio 10

μ0   x ∼ N(-μ, σ2)

μ1   x ∼ N(μ, σ2)   con   μ > 0   e   σ > 0

P(H0) = P(H1) = 12

a)   Trovare   il   decisore   ottimo:

Applico   il   criterio   ML

f(x | H1) ⁄ f(x | H0) > H0H1

 [1√(2πσ2)]   e(-(x - μ)2⁄(2σ2))   > H0H1   [1√(2πσ2)]   e-(x + μ)2⁄(2σ2)

applico   il   logaritmo

 -(x - μ)2 > H0H1   (x + μ)2

  (x2 - 2xμ + μ2) > H0H1   (x2 + 2xμ + μ2)

  -4xμ > H0H1  φ

             x > φ

             decisore ottimo

le prestazioni sono:

P(e) = P(e | H1)P(H1) + P(e | H0)P(H0)

 = 12(P(e | H1) + P(e | H0))

P(e | H0) = P(x > 0 | H0) = Q(μσ)

P(e | H1) = P(x < 0 | H1) = 1 - P(x > 0 | H1) = 1 - Q(μσ) = Q(μσ)

Esercizio 13

H1: x ∼ ℕ(-3μ, σ2) H2: x ∼ ℕ(-μ, σ2) H3: x ∼ ℕ(μ, σ2) H4: x ∼ ℕ(3μ, σ2) μ > 0 e σ > 0 P(H1) = P(H2) = 1/4 = P(H3) = P(H4)

(a) Decisione ottima

  • R1: {x ≤ -2μ}
  • R2: {-2μ < x ≤ 0}
  • R3: {0 < x ≤ 2μ}
  • R4: {x > 2μ}

(b) P(e) = ?

P(e) = 1/4(P(e|H1) + P(e|H2) + P(e|H3) + P(e|H4)) P(e|H1) = P(x > 2μ | H1) = Q(μ/σ) P(e|H4) = P(x < 2μ | H4) = 1 - P(x > 2μ | H4) = 1 - Q(μ/σ)

Dettagli
A.A. 2015-2016
25 pagine
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SSD Ingegneria industriale e dell'informazione ING-INF/03 Telecomunicazioni

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher massimiliano.avagliano1 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Teoria e tecnica di telecomunicazioni, comunicazioni elettroniche e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Salerno o del prof Marano Stefano.