Esercizi svolti: Comunicazioni elettroniche/teoria e tecnica delle telecomunicazioni

P₁(_α) = {x₁−αx₂>√E_1−x²/2}

P₂(_α) = {x₁−αx₂≤√E_1−x²/2}

P(e|s₁) = 1/2

α = ±1/2

P(e) = Λ/4 + Q(1/2y_b)/2

P(e|s₂) = Q(1/2y_b) = P(e|s₂)

P(e) = Q(1/2y_b)

Esercizio 1

Sistema PAM con sequenze di training di durata n intervalli di simboli. In questi n intervalli vengono trasmessi segnali {b₁, b₂, ..., b_m} noti. In ricezione si ha r_k = b_k + w_k, con k = 1, ..., n e w_k iid w_k ∼ N(0, N₀/2)

1. Stimare ^Nˆ₀

Poichè w_k ∼ N(0, N₀/2) → ƒ(x; N₀) = ∏(1/2πN₀)^-1/2 e^{(r_k-b_i)2/N₀}

Stimo ^Nˆ₀ con ∂/∂_N0 ln ƒ(x; N₀) = φ

ln ƒ(x; N₀) = ln(πN₀)^-n/2 - ∑_i=1^m(x_i-b_i)²/N₀

∂/∂_N0 = -m/2&sub0 + 1/N₀ ∑_i=1^m (x_i-b_i)² = φ

N₀ ∑_i=1^m (x_i-b_i)² = n/2

→ ^Nˆ₀ = (2/m) ∑_i=1^m (x_i-b_i)²

2. E[^Nˆ₀] = ?

b)

γα? Se s₀ non viene trasmesso

Ε_av = ₁/₂ (Ε_s + Ε_s) = Ε

γα = Ε_s / Ν₀ = Ε_av / Ν₀

c) P(e;γα)=?

Il secondo è sempre lo stesso → P(e|s₁) = P(e|s₀) = P(e|s₁)

→ P(e;γα) = ₁/₂ (P(e|s₀) + P(e|s₁)) = Q(^Ε/_√2Ν0) = Q(√γα₂)

P(e;γα) = Q(√γα₂)

d) Confronto tra le 2 probabilità di errore

(i) γα piccolo

(ii) γα elevato

P(e;γα_av) = ₄/₃ Q(√³/₄γα_av) ≈ ₂/₃ e^{-3/₂γα_av}

P(e;γα) = Q(√γα) ≈ ₁/₂ e^-γα

→ P(e;γα_av) > P(e;γα)

Esercizio 10

μ₀   x ∼ N(-μ, σ²)

μ₁   x ∼ N(μ, σ²)   con   μ > 0   e   σ > 0

P(H₀) = P(H₁) = ¹⁄₂

a)   Trovare   il   decisore   ottimo:

Applico   il   criterio   ML

f(x | H₁) ⁄ f(x | H₀) > _H0⁄^H₁

 [¹⁄_√(2πσ²)]   e^{(-(x - μ)2⁄(2σ2))}   > _H0⁄^H₁   [¹⁄_√(2πσ²)]   e^{-(x + μ)2⁄(2σ2)}

applico   il   logaritmo

 -(x - μ)² > _H0⁄^H₁   (x + μ)²

  (x² - 2xμ + μ²) > _H0⁄^H₁   (x² + 2xμ + μ²)

  -4xμ > _H0⁄^H₁  φ

             x > φ

             decisore ottimo

le prestazioni sono:

P(e) = P(e | H₁)P(H₁) + P(e | H₀)P(H₀)

 = ¹⁄₂(P(e | H₁) + P(e | H₀))

P(e | H₀) = P(x > 0 | H₀) = Q(^μ⁄_σ)

P(e | H₁) = P(x < 0 | H₁) = 1 - P(x > 0 | H₁) = 1 - Q(^μ⁄_σ) = Q(^μ⁄_σ)

Esercizio 13

H₁: x ∼ ℕ(-3μ, σ²) H₂: x ∼ ℕ(-μ, σ²) H₃: x ∼ ℕ(μ, σ²) H₄: x ∼ ℕ(3μ, σ²) μ > 0 e σ > 0 P(H₁) = P(H₂) = 1/4 = P(H₃) = P(H₄)

(a) Decisione ottima

• R₁: {x ≤ -2μ}
• R₂: {-2μ < x ≤ 0}
• R₃: {0 < x ≤ 2μ}
• R₄: {x > 2μ}

(b) P(e) = ?

P(e) = 1/4(P(e|H₁) + P(e|H₂) + P(e|H₃) + P(e|H₄)) P(e|H₁) = P(x > 2μ | H₁) = Q(^μ/_σ) P(e|H₄) = P(x < 2μ | H₄) = 1 - P(x > 2μ | H₄) = 1 - Q(^μ/_σ)