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Esercizio 21
X = (X1, X1, X3)
Xi iid U(0,a)
Stima ML di a:
Considerando
f(x1;a) = { 1/a 0 ≤ x1 < a ∅ altrove Funzione densità di probabilità
f(xi;a) = { c a > xi ∅ altrove verosimiglianza
Nel caso vettoriale N = 3 X = (x1, x2, x3)
f(x;a) = { 1/a3 se x1 ∈ (0,a) se x2 ∈ (0,a) se x3 ∈ (0,a) ∅ altrove
âML = max(x1, x2, x3)
Esercizio 9
Sistema binario equiprobabile ortogonale su canale AWGN con N0
Siano S0 = (E, 0) e S1 = (0, αE) con α > 0
- Determinare Pi(α) con i = 1, 2
Ipoten equiprobabil → criterio N
(x1−√E)² ─────────────── e −x²┬N0 l −x²┬N0 πN0 ─────────────── e −x₂²┬N0 ≥ 1 (E0)e>x1 x2 ─────── e √E1−α²)/2P₁(α) = {x₁−αx₂>√E1−x²/2}
P₂(α) = {x₁−αx₂≤√E1−x²/2}
P(e|s1) = 1/2
α = ±1/2
P(e) = Λ/4 + Q(1/2yb)/2
P(e|s2) = Q(1/2yb) = P(e|s2)
P(e) = Q(1/2yb)
Esercizio 1
Sistema PAM con sequenze di training di durata n intervalli di simboli. In questi n intervalli vengono trasmessi segnali {b1, b2, ..., bm} noti. In ricezione si ha rk = bk + wk, con k = 1, ..., n e wk iid wk ∼ N(0, N0/2)
-
Stimare Nˆ0
Poichè wk ∼ N(0, N0/2) → ƒ(x; N0) = ∏(1/2πN0)-1/2 e(rk-bi)2/N0
Stimo Nˆ0 con ∂/∂N0 ln ƒ(x; N0) = φ
ln ƒ(x; N0) = ln(πN0)-n/2 - ∑i=1m(xi-bi)2/N0
∂/∂N0 = -m/2&sub0 + 1/N0 ∑i=1m (xi-bi)2 = φ
N0 ∑i=1m (xi-bi)2 = n/2
→ Nˆ0 = (2/m) ∑i=1m (xi-bi)2
-
E[Nˆ0] = ?
b)
γα? Se s0 non viene trasmesso
Εav = 1/2 (Εs + Εs) = Ε
γα = Εs / Ν0 = Εav / Ν0
c) P(e;γα)=?
Il secondo è sempre lo stesso → P(e|s1) = P(e|s0) = P(e|s1)
→ P(e;γα) = 1/2 (P(e|s0) + P(e|s1)) = Q(Ε/√2Ν0) = Q(√γα2)
P(e;γα) = Q(√γα2)
d) Confronto tra le 2 probabilità di errore
(i) γα piccolo
(ii) γα elevato
P(e;γαav) = 4/3 Q(√3/4γαav) ≈ 2/3 e-3/2γαav
P(e;γα) = Q(√γα) ≈ 1/2 e-γα
→ P(e;γαav) > P(e;γα)
Esercizio 10
μ0 x ∼ N(-μ, σ2)
μ1 x ∼ N(μ, σ2) con μ > 0 e σ > 0
P(H0) = P(H1) = 1⁄2
a) Trovare il decisore ottimo:
Applico il criterio ML
f(x | H1) ⁄ f(x | H0) > H0⁄H1
[1⁄√(2πσ2)] e(-(x - μ)2⁄(2σ2)) > H0⁄H1 [1⁄√(2πσ2)] e-(x + μ)2⁄(2σ2)
applico il logaritmo
-(x - μ)2 > H0⁄H1 (x + μ)2
(x2 - 2xμ + μ2) > H0⁄H1 (x2 + 2xμ + μ2)
-4xμ > H0⁄H1 φ
x > φ
decisore ottimo
le prestazioni sono:
P(e) = P(e | H1)P(H1) + P(e | H0)P(H0)
= 1⁄2(P(e | H1) + P(e | H0))
P(e | H0) = P(x > 0 | H0) = Q(μ⁄σ)
P(e | H1) = P(x < 0 | H1) = 1 - P(x > 0 | H1) = 1 - Q(μ⁄σ) = Q(μ⁄σ)
Esercizio 13
H1: x ∼ ℕ(-3μ, σ2) H2: x ∼ ℕ(-μ, σ2) H3: x ∼ ℕ(μ, σ2) H4: x ∼ ℕ(3μ, σ2) μ > 0 e σ > 0 P(H1) = P(H2) = 1/4 = P(H3) = P(H4)
(a) Decisione ottima
- R1: {x ≤ -2μ}
- R2: {-2μ < x ≤ 0}
- R3: {0 < x ≤ 2μ}
- R4: {x > 2μ}
(b) P(e) = ?
P(e) = 1/4(P(e|H1) + P(e|H2) + P(e|H3) + P(e|H4)) P(e|H1) = P(x > 2μ | H1) = Q(μ/σ) P(e|H4) = P(x < 2μ | H4) = 1 - P(x > 2μ | H4) = 1 - Q(μ/σ)