Appunti di teoria: Corpo rigido e statica dei fluidi

Corpo rigido

dv = volume e contenute massadm = ρdv

ρ = densitàρ = ^dm/_dv

dm = ρdv

Centro di massa

_rcm = ^Σmi_ri/_Σmi = ^{∫_corpo dm_r}/_∫dm = ^{∫_corpo ρ_VdV}/_Mtot

se mi aggiustiamo su S densità superficiale:

σ = ^dm/_dS

^rcm = ^{∫_S σ_rdS}/_Mtot

Esempio

Cilindro omogeneo di massa M raggio a altezza h che ruota attorno al proprio asse con velocità angolare ω.

I_tot = ∫dl²

V punto e alla circonferenza al base ruota con V = ω_r

dl = dm_r² = dmω²

dm = ρdV = ρ2πihr_dr

I_tot = ∫2πihr_dr = ω² = Zijwρ∫^R₀ r³ _dr = Zijwρ ^R4/₄

I_tot = ^iMωρ4/₂

Possiamo calcolare l'ein

dE_cin = ¹/₂ dm_v² = ¹/₂ ρzihrω² _{r² dr}

E_cin = ∫dE_cin = ¹/₂ ρihw² ∫^R₀ r³ _dr = ¹/₂ ρihw^{2 R4}/₄

Energia di rotazione

Momento di inerzia

di un punto materico di massa m rispetto ad un polo O:

O_m²

L_O rispetto al polo O

P = mv

L = mvr = mr²ω

L = I₀ ∙ W

Espressione del momento angulare usando il momento di inerzia (I₀)

Corpo Rigido

dV = volume e contenuto di massadm = ρ dV

ρ = densitàρ = \(\frac{dm}{dV}\)

Centro di Massa

\(\bar{r}_{CM} = \(\frac{\sum{m_i r_i}}{\sum{m_i}}\) = \frac{\int_{corpo} dm \cdot r}{M_{tot}}\)

dm = ρ dV = ρ dx dy dz

Se invece distribuito su S densità superficiale

σ = \(\frac{dm}{dS}\)

c̅̅m = \(\frac{1}{M_{tot}} \int_{S} \sigma dS \vec{r}\)

Esempio

cilindro omogeneo di massa M raggio r altezza h che ruota attorno al proprio asse con velocità angolare ω

I_tot = \(\int dl^2\)

V' punto è alla circonferenza di base ruota con V= ωx

• dl = dm r = dmωr²
• dm = ρ dV = 2 π ρhr dr

I_tot = \(\int \limits_{0}^{R} \) 2 π ρhr dr = \(\frac{1}{2}\) zh\(\omega\) R⁴

Possiamo calcolare l'Ein

dE_in = \(\frac{1}{2}\) dm v² = \( \frac{1}{2}\) ρ \(\omega\)²\) r²v

E_in = \(\int\) e \(\int \pi h \omega\) \(\frac{1}{2}\) \(\sigma_{\normalscriptstyle{\mathrm{1}}}\) = \(\frac{1}{4}\) \(\pi^2 \sigma_{\normalscriptstyle{\mathrm{2}}}\)²_h

Momento di Inerzia

di un punto materiale di massa m rispetto ad un polo O

• ω = \(\frac{v}{r}\)
• P = mv

L = L =mrv mωr²ωw

Espressione del momento angolare usando il momento di inerzia (I_O)

per un sistema di punti

I=∑m_ir_i²

per un corpo rigido

I=∫dmr² corpo

se volessimo calcolare I₀ (cilindro)

ρ = M/V

ESEMPIO

Momento di Inerzia di una sbarretta (m,l) rispetto a c

λ=m/l

dm = λdx

dm = m/l dx

I_c = ∫dmx² = ∫_-l/2^l/2 m/ℓ x² dx

calcolo rispetto ad un estremo (A)

I_A = m/ℓ ∫₀^ℓ x³ dx

ESEMPIO

Momento di Inerzia di un disco

I₀ = ∫dmr²

dS = 2πrdr

I₀ = ∫dmr² =

dm/M = dS/πR²

dm = M/πR² 2πrdr

ESEMPIO

su un anello

I = MR² la massa è distribuita in modo omogeneo

SINTESI

^⃗ = d / dt

^⃗ = d_rot / dt

_e = · ♢

_ₑ = · ♢

♢ = = 0 → ♢ = _₀^⃗ = cost

♢ = 0 → ^⃗ = ♢ = cost

= costante

Per rotazione attorno ad un asse fisso → se ♢ = ♢ _̲̲^⃗

= d / dt = I() · _̲

= I

Formula molto usata negli esercizi. Va costruita con massa e raggio

RIPRENDIAMO IL CALCOLO DELL'ENERGIA CINETICA DEL CILINDRO

_cin = ∫ d_cin = ∫ ♢^₀ ÷ ω^₂

_cin = ♢∫ w^₂ d = ♢∫ w w^₀ d

= ♢ / ^₂

_cin = ♢ ^₂_₂ ≠ 1/2♢

^{₂ ₂} = ^₂ / ^2O

_asse = ♢ ²

ENERGIA CINETICA DI UN RIGIDO

_cin = _com + ♢ _rot + ♢ _od + ² + ♢½

Rot → Somma di due componenti

TRAS

= ♢ + md²

Distanza ♢O

= ♢ ²

Nel caso della SBARRETTA avremo

♡ = ♢/12 ♡^m2

= ♢/3 ♡²

= ♢ ♡ + md ²

+ ²/4

♢/2 ♡² + ♢/3 ♡²

Rispetto ad un ♡ Δdello

ESERCITAZIONE 14/11/19

R̅ᵉ = dp̅/dtM̅ᵉ = dL̅/dt

Condizione di equilibrio di un corpo —> R̅ᵉ=0 ∧ M̅ᵉ=0

In un sistema di punti

L̅ = Σ ( r̅_i × p̅_i )p̅_tot = Σ p̅_iL̅ = Σ L̅_iM̅_e = Σ ( r̅_i × F̅_i )I = Σ m_i c_i²

In un corpo rigido

L̅ = I_c ω̅L = I ω_cM̅ = dL̅/dt = d(I ω̅)/dt = I dω̅/dtI = ∫ dm r²

Il momento d’inerzia è riferito all’asse rispetto al quale stai ruotandoEsempio dell’anello

I_c = M R²I_B = M R²/2

Condizioni di equilibrio di un corpo

R̅̇ᵉ = 0PCM = costM̅̇ᵉ = 0LCM = costIω = cost

Energia cinetica di un corpo che ruota

E_CT = 1/2 Iω_c² + mgh_cm

Energia cinetica di un corpo che ruota e trasla

E_CT = 1/2 Iω_z₀² + 1/2 Iω_z² + mgh_cm

La energia potenziale rimane mgh, non dipende dove rispetto non varia

Urti tra corpi non puntiformi

sbarra l, Mproiettile m, v_o

v = ? dopo l'urto totalmente anelasticoΩ_max: ?

in O → _Rimpulsiva → no cons ProT

perché si ha una forza impulsiva

Lo Rv è passante per O, quindi il suo braccio è nullo

conservazione TB Tg, O

L_prima = L_oop

L_prima = mvo · r = mvo · ³⁄₄lvettore uscente

L_oop = I_oΩ_max

I_o = ¹⁄₃Ml² + ^mg²/8

L_oop = I_oΩ=⁴₃<g