Appunti di Fisica I

R

La funzione energia potenziale vale: −mgy

U (y) =

Nel caso generale della forza gravitazionale:

⃗r k ⃗r GM

GM m

⃗ − −

− = U (r) = m + cost

F = 2 2

r r r r r

dove k = GM m. La costante va determinata fissando il valore di U (r ), solitamente viene posta

0

uguale a zero dove la forza è nulla, cioè a distanza infinita. Allora:

GM k

− −

U (r) = m =

r r

Notiamo come il valore sia sempre negativo, poiché la forza è attrattiva e quindi compie un

lavoro negativo quando la distanza tra i corpi aumenta.

Riferendoci nuovamente al caso della Terra: GM

T

− m

U (r) = r

Per portare un corpo dalla superficie della Terra all’infinito è richiesto un lavoro:

GM

T 7

·

L = m = 6 10 mJ

R

T

Quindi, trascurando l’energia cinetica, un proiettile con velocità pari a:

r GM

T 4

·

v = 2 = 1.12 10 m/s

R

T

riuscirebbe a sfuggire all’attrazione della Terra. Tale velocità è detta velocità di fuga e non

dipende dalla massa dell’oggetto lanciato.

4.8 Energia meccanica di un punto materiale in campo conservativo

Prendiamo un punto materiale in un campo conservativo, sia la sua energia potenziale variabile

in base alla quota del punto; la sua energia sarà:

1 2

E = mv (x) + U (x) > E

0

2

dove E è l’energia minima, cioè U (x).

0 min

Ci sono delle posizioni, nel moto, in cui il punto materiale si trova in equilibrio, cioè quando:

∂U

− =0

∂x

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Si può notare che spostando di poco il punto da tale posizione, la forza conservativa lo riporta

nella posizione di equilibrio. Tale equilibrio viene detto stabile, che si ha quindi nelle posizioni

di minimo dell’energia potenziale: 2

∂ U > 0

2

∂x

Se invece notiamo che il punto si trova in una posizione di equilibrio ma la forza, quando esso

viene spostato di poco da tale posizione, tende ad allontanarlo ancora di più, diciamo che il

punto è in equilibrio instabile, che si ha nelle posizioni di massimo dell’energia potenziale:

2

∂ U < 0

∂x

Se la curva di potenziale presenta un tratto orizzontale, un punto su tale intervallo viene detto

in equilibrio indifferente: 2

∂U =0

2

∂ x

4.9 Variazione dell’energia meccanica in presenza di forze non conservative

Nel caso in cui, ad un punto materiale, siano applicate sia forze conservative che non conser-

vative, è possibile dividere la sommatoria definita dal teorema del lavoro e dell’energia cinetica

in due parti: X X −

L + L = T T

nc c 2 1

Il lavoro delle forze conservative può esprimersi tramite le variazioni di energia potenziale,

quindi dalla formula precedente:

X − −

L = (T + U ) (T + U ) = E E

nc 2 2 1 1 2 1

Quindi la variazione di energia meccanica posseduta dal punto materiale in due posizioni è pari

al lavoro compiuto dalle forze non conservative.

4.10 Conservazione dell’energia

La somma di tutte le energie presenti in un sistema rimane sempre costante per la legge di

conservazione dell’energia, la quale dice infatti che in un qualsiasi processo durante il quale

varie azioni si esercitano su un punto, l’energia totale resta costante.

38

5 Meccanica dei sistemi di punti materiali

Esistono dei casi che non possono essere schematizzati come un semplice punto materiale, poiché

caratterizzati da corpi più estesi, che però possono essere assimilati a più punti materiali. Per

studiare tali sistemi bisogna essere a conoscenza delle forze interne, cioè le forze che le parti

che compongono il sistema di punti scambiano tra loro.

5.1 Centro di massa e moto del centro di massa

Considerando quindi un sistema con un numero, anche elevato, di punti materiali, possiamo

dire che la massa totale del sistema sarà: n

X

m = m

i

i

e potremmo individuare un certo punto C dello spazio, di vettore ⃗r , determinato da:

c

P m ⃗r

i i

i

r =

C m

che si può naturalmente separare nelle componenti x , y e z . Scriveremo allora:

c c c

2

d ⃗r

c

⃗

F = m dt

Chiamiamo il punto C centro di massa del sistema, definito in base alla distribuzione nello

spazio dei punti materiali del sistema.

Se il sistema è formato da una distribuzione continua di massa, si può immaginare diviso in

infiniti punti di massa dm = ρ dV , in quel caso:

Z

1

⃗r = ρ⃗r dV

c m

In generale, nel centro di massa il moto avviene come se fosse un punto materiale isolato, avente

la massa totale del sistema e sottoposto alla somma di tutte le forze esterne applicate al sistema.

Per il centro di massa vale la proprietà additiva, quindi se il sistema dovesse essere decomposto

in più sottoinsiemi: m ⃗r + m ⃗r

1 c1 2 c2

⃗r =

c m + m

1 2

5.2 Quantità di moto di un sistema di punti

La quantità di moto di un sistema di punti materiali è: d⃗r

X X X i

p

⃗ = p

⃗ = m ⃗v = m

i i i i dt

i i i

Per la definizione di centro di massa possiamo dire:

n n

d⃗r d d⃗r

X X

i c

m = m ⃗r = m = m⃗v

i i i c

dt dt dt

i=1 i=1

Di conseguenza: p

⃗ = m⃗v c

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Quindi la quantità di moto di un sistema di punti è pari alla quantità di moto che spetterebbe

ad un punto materiale che avesse la massa del sistema e si muovesse come il suo centro di massa.

Si estende anche al caso dei sistemi il teorema della quantità di moto, che definisce la prima

equazione cardinale del moto dei sistemi di punti:

d⃗p

⃗

F = dt

5.3 Conservazione della quantità di moto

Se in un sistema di punti materiali è nulla la somma delle forze esterne agenti su di esso:

d⃗p =0 quindi p

⃗ = cost

dt

Vale quindi il teorema di conservazione della quantità di moto, il quale dice che la quantità di

moto di un sistema isolati di punti materiali resta costante.

5.4 Momento della quantità di moto

Il momento totale per un sistema di punti materiale è la somma dei singoli momenti:

n

X

⃗ ⃗

×

M = ⃗r F

i i

i

Con lo stesso principio usato per la quantità di moto, definiamo il momento della quantità di

moto, prendendo i momenti di n forze rispetto allo stesso polo O, dicendo che:

n

X

⃗b ×

= ⃗r p

⃗

i i

i

Il momento risultante delle forze interne di un sistema di punti materiali è nullo; da tale

affermazione arriviamo a dire che: ⃗

⃗ d b

d b ⃗

⃗ ×

o, se O si muove: M = + ⃗v p

⃗

M = 0

dt dt

Grazie a quest’ultima equazione, possiamo enunciare il teorema del momento della quantità di

moto, dicendo che la derivata rispetto al tempo del momento della quantità di moto calcolata

rispetto ad un punto fisso della terna di riferimento, o al centro di massa del sistema, è uguale

al momento, rispetto a tale punto, delle forze esterne applicate al sistema.

Vale ovviamente anche la definizione di momento assiale, per cui diciamo che la derivata rispetto

al tempo del momento della quantità di moto rispetto a tale asse è uguale al momento totale

rispetto al medesimo asse delle forze esterne agenti sul sistema:

db a

M =

a dt

40

Questa forma del teorema è utile per studiare i sistemi nei quali i punti ruotano intorno allo

stesso asse, in questi casi i punti materiali hanno una velocità ω

⃗ diretta nel verso dell’asse a.

Per tali sistemi possiamo scrivere: !

X 2

b = ω = I ω = I φ̇

m r

a a a a a

i i

i ±

dove ω è la proiezione della velocità angolare sull’asse, che vale ω, in base al verso di ω

⃗ .

a

Definiamo cosı̀ il momento d’inerzia del sistema rispetto ad un’asse a:

X 2

I = m r

a i i

i

per cui: d (I φ̇)

M = a

a dt

5.5 Conservazione del momento della quantità di moto ⃗b

Nel caso in cui il momento risultante delle forze esterne sia nullo, anche sarà nullo, per cui

si può enunciare il teorema della conservazione del momento della quantità di moto, il quale

illustra che in un sistema isolato di punti materiali il momento della quantità di moto, calcolato

rispetto ad un punto fisso o al centro di massa, resta costante.

5.6 Teorema del lavoro e dell’energia cinetica per un sistema di punti

Dato un sistema di punti materiali, il lavoro compiuto dalle forze per spostare il sistema da una

configurazione ad un’altra è dato dall’integrale nel quale è presente la somma di tutte le forze

esterne ed interne applicate ai singoli punti; la variazione dell’energia cinetica è quindi pari al

lavoro fatto sul sistema dalle forze interne ed esterne ad esso applicate:

n

X −

L = L = T T

i 2 1

i

dove: 1 X 2

T = m v

i i

2 i

L’enunciato del teorema del lavoro e dell’energia cinetica dice che la variazione dell’energia

cinetica di un sistema durante un intervallo di tempo qualsiasi è pari al lavoro contemporanea-

mente compiuto da tutte le forze agenti sul sistema.

41

5.7 Energia cinetica e potenziale per un sistema di punti

Consideriamo un sistema nel quale sono presenti due terne, una è quella classica, mentre l’altra

ha origine nel centro di massa del sistema e si muove con esso di moto traslatorio. Da ciò

possiamo dire che la velocità di un qualsiasi punto è data dalla somma della velocità del centro

di massa e la velocità di trascinamento: ⃗v = ⃗v + ⃗v

i c ri

Risulterà allora:

n 1 1 1 1

1 X X X X X

2 2

· · ·

m ⃗v ⃗v = m (⃗v + ⃗v ) (⃗v + ⃗v ) = m v + m v + m (⃗v ⃗v )

T = i i i i c ri c ri i i i c ri

c ri

2 2 2 2 2

i=1 i i i

Il primo termine della somma corrisponde all’energia cinetica del sistema mobile, il secondo

è l’energia cinetica del centro di massa, mentre l’ultimo termine è nullo, poiché l’osservatore

solidale con il centro di massa lo vede fermo. Quindi:

1

1 X

2 2

mv + m v

T = i

c ri

2 2 i

Per il teorema di König diremo che l’energia cinetica di punti materiali in un dato sistema

di riferimento è pari alla somma dell’energia cinetica che spetterebbe al centro di massa nel

suo moto e dall’energia cinetica che ai punti materiali spetta nel loro moto rispetto alla terna

solidale con il centro di massa. Il primo termine nella formula corrisponde all’energia cinetica

del sistema in moto traslatorio con velocità ⃗v , mentre il secondo corrisponde all’energia cinetica

c

solidale con il centro di massa.

5.8 Conservazione dell’energia meccanica

Q