Appunti di Tecnica delle costruzioni

[K] [R]

Dove = è la matrice di rigidezza della generica asta espressa nel sistema di riferimento

globale. Assemblaggio

Devo mettere in relazione i movimenti della struttura, che sono α, con i movimenti di ogni singola asta nel

sistema di riferimento globale β.

A questo punto occorre assemblare tutti i risultati per riferirli all’intera struttura. Per farlo si usano le

matrici d’incidenza, ovvero matrici con solo valori pari a 0 o 1 che associano i g.d.l. dell’asta a quelli

dell’intera struttura (ogni riga e ogni colonna hanno un valore pari a 1 e tutti gli altri pari a 0).

• [Λ] → matrice d’incidenza di dimensioni 6xN (numero di g.d.l. totali della struttura);

• {β}→ vettore degli spostamenti nodali della generica asta (6x1);

• {α}→ vettore degli spostamenti nodali dell’intera struttura (Nx1), dove N = 3 x n. di nodi.

Ricapitolando siamo partiti dalla matrice di rigidezza della singola asta nel sistema di riferimento locale, poi

abbiamo ruotato e siamo passati al sistema di riferimento globale sempre con matrice di rigidezza della

singola asta. Successivamente associamo i 6 β di ogni asta con gli α che sono i movimenti della struttura.

Esempio:

Il sistema risolvente era stato scritto come:

[Λ]{α}:

Si sostituisce {β} =

Tale equazione fornisce un’infinita serie di soluzioni congruenti ma non equilibrate, occorre imporre

l’equilibrio. Queste sono ancora le 6 equazioni che riguardano una singola asta.

Equilibrio globale del sistema

Si impone l’equilibrio delle forze interne ed esterne agenti nei nodi:

Dove:

Sostituendo si ottiene:

In conclusione si ottiene il seguente sistema risolvente:

Dove:

• {F}→ vettore delle forze nodali esterne applicate al sistema (Nx1);

• {K}→matrice di rigidezza dell’intera struttura (NxN), ovvero è costituita dai contributi di ogni asta

che danno alla matrice di rigidezza.

• {α}→vettore delle componenti di spostamento nodale del sistema (Nx1);

• {S*}→vettore delle componenti di reazione d’incastro perfetto.

Si può scrivere il sistema in forma analoga come:

Condizioni al contorno

Alcuni spostamenti so già a priori che sono pari a zero perché sono presenti dei vincoli. Per considerare i

vincoli innanzitutto si riordina e partiziona il sistema:

Dove:

• [u ] [α ]

T ⟶

= , α , α , α , α , α spostamenti noti

1 1 2 3 16 17 18

• [u ] ⟶ spostamenti incogniti

2

• [F ] ⟶ forze esterne nei punti non vincolati (note)

2

• [F ] ⟶ forze esterne nei punti vincolati, reazioni vincolari

1

(incognite)

Esplicitando il sistema si ha: [u ]

Nella seconda equazione l’unica incognita è perciò:

2

[u ] [F ].

Una volta noto il vettore lo inserisco nella prima equazione e trovo le reazioni vincolari

2 1

Esempio: ESEMPIO DI ANALISI MATRICIALE DELLE STRUTTURE

Risoluzione della struttura con il metodo automatico

Considerando questa struttura, si definiscono i movimenti α che sono 3 per ogni nodo, poi si definisce un

sistema di riferimento locale per ogni asta e si vanno a definire per ognuna di queste un vettore di reazioni

di incastro perfetto S e una matrice di rigidezza K.

Dopodiché si ruotano tutte le quantità riferite al sistema di

riferimento locale ad un sistema di riferimento globale. Questa

rotazione viene fatta tramite una matrice di rotazione, diversa

per ogni asta, e fa sì che le componenti del movimento nel

sistema locale vengono riscritte nel sistema di riferimento

globale dove quindi abbiamo un movimento per ogni asta.

(i)

Successivamente si definiscono le matrici d’incidenza ꓥ , le quali ci dicono che legame c’è tra il vettore dei

movimenti {β} della generica asta e il vettore dei movimenti globali {α}. Poi si procede all’assemblaggio,

cioè si devono riscrivere le matrici di rigidezza di ogni asta in funzione degli α e non più dei β. Fatto ciò si

sommano i contributi di tutte le aste perché se si muove un nodo della struttura allora tutte le aste

collegate al nodo si deformeranno per cui produrranno delle forze conseguenti alle deformazioni.

Infine, possiamo scrivere il contributo che ogni asta dà alla matrice di rigidezza della struttura che avrà un

→

numero di righe e colonne pari al numero degli α. in questo caso sarà 12x12

Y X

Questa struttura è costituita da due pilastri, una trave e un elemento diagonale. Inoltre, si suppone che le

due aste caricate con un carico uniformemente distribuito q siano un pilastro e la trave. E definiamo il

sistema di riferimento globale.

A e J sono rispettivamente l’area e il momento d’inerzia della sezione dell’elemento.

i i

1) Come prima cosa definisco i movimenti α, numerandoli in maniera conveniente in modo tale da

avere la matrice già ordinata. La numerazione parte dai movimenti dei nodi che non conosco (nodi

in alto) e poi quelli che conosco (incastri alla base e quindi sappiamo che devono essere nulli).

2) Si guardano le singole aste e si definiscono i sistemi di riferimento locali. Per ogni asta valuto la

matrice di rigidezza e il vettore delle reazioni di incastro perfetto. β saranno i movimenti locali.

La matrice di rigidezza nel sistema

locale è stata scritta con i pedici che

fanno riferiento al pilastro.

Però sappiamo che per tutte le aste la

matrice di rigidezza è a stessa, in cui

cambiarà solamente l’area, il

momento d’inerzia e la lunghezza.

3) Si definisce la matrice di rotazione [R] che serve per passare dai β definiti nel sistema di riferimento

locale ai β definiti nel sistema di riferimento globale. La matrice [R] dipende dall’angolo α che è

l’angolo che c’è tra l’asse dell’asta e l’orizzontale costituito dall’asse x globale.

Quindi nel nostro caso si α=0 per le travi, α=90° per i pilastri e α=… per l’asta inclinata.

Si va a sostituire nella matrice i corrispondenti alfa per ricavare i valori, mentre gli 1 significa che le

rotazioni non si trasformano passando dal sistema di riferimento locale a quello globale.

Dalla matrice del pilastro vedo che il movimento 2 globale corrisponde al movimento 1 locale, il movimento

1 globale corrisponde a -1 del movimento 2 locale, il movimento 3 locale è uguale al 3 locale. Poi il

movimento 4 globale corrisponde a -1 del movimento 5 locale, il movimento 5 globale corrisponde al

movimento 4 locale, e il movimento 6 locale è uguale al 6 locale.

Dalla matrice della trave vedo che il sistema globale e locale coincidono per cui la matrice di rotazione è

una matrice identità.

4) Si definiscono le reazioni d’incastro perfetto sulle aste 1 e 2 in cui ho carichi distribuiti e non carichi

in corrispondenza dei nodi. Si torna a ragionare in termini di sistema di riferimento locale,

bloccando tutti i movimenti, dunque, è come se avessi delle aste incastrate agli estremi.

Il vettore delle reazioni d’incastro perfetto va scritto con le convenzioni dei β del sitema locale, di 6

componenti correlativi dei 6 movimenti. La prima componente è associata a β quindi è 0, la seconda

1

componente è associata a β quindi è positiva e pari a ql/2, la terza componente è associata a β quindi è

2 3

2

negativa e pari a ql /12, la quarta componente è associata a β quindi è 0, la quinta componente è associata

4 2

a β quindi è positiva e pari a ql/2, la sesta componente è associata a β quindi è positiva e pari a ql /12.

5 6

In modo analogo si definisce il vettore delle reazioni d’incastro perfetto per la trave.

5) Poi occorre passare per ogni matrice, azione, vettore dal sistema di riferimento locale a quello

globale. Per i β si è già visto che questo passaggio avviene tramite la matrice di rotazione.

{S} rappresenta le forze all’estremità dell’asta nel sistema di riferimento globale.

Quindi se facciamo questo passaggio per il pilastro, la matrice di rigidezza si ottiene facendo questo calcolo:

Questa diventa la matrice di rigidezza del pilastro nel sistema di riferimento globale, e notiamo che si sono

scambiati un po’ di termini, come ad esempio quelli indicati in figura.

Poi faccio la stessa cosa per il vettore d’incastro perfetto, quindi vado a moltiplicare R trasposto del

pilastro per S doppio segnato. Anche in questo caso vedo come alcun termini si scambiano per via

dell’orientamento diverso tra sistema di riferimento locale e globale.

Nel caso dell’asta inclinata, caso più complesso, delle forze possono avere

delle componenti sia lungo x e sia lungo y.

Quindi alla fine otteniamo il vettore d’incastro perfetto globale rispettivamente del pilastro e della trave, la

seconda è rimasta uguale perché la matrice di rotazione era una matrice identità:

6) Si definiscono le matrici di incidenza, una per ogni asta. Le diverse righe della matrice di incidenza

corrispondono ai movimenti dell’asta, cioè i β globali, mentre le colonne corrispondono agli α.

Quindi in questo esempio avremo una matrice 6x12.

Per costruire queste matrici dovrò mettere 1 quando un β di una certa asta corrisponde a un α.

Per la prima asta il β coincide con α e tutto il resto della riga saranno 0, β corrisponde a α , β

1 1 2 2 3

corrisponde a α , β corrisponde a α , β corrisponde a α , e β corrisponde a α .

3 4 4 5 5 6 6

Per l’asta 4, il β coincide con α , β corrisponde a α , β corrisponde a α , β corrisponde a α , β

1 1 2 2 3 3 4 7 5

corrisponde a α , e β corrisponde a α .

8 6 9

7) Quindi quello fatto fino ‘ora è passare dalla matrice di rigidezza espressa dai beta a quella espressa

dagli alfa, e abbiamo visto che per passare dai β agli α utilizziamo la matrice di incidenza, e infine

riscriviamo il sistema dato dalla sommatoria di tutti i contributi delle aste.

T(i) T(i)

{S*} = ∑ꓥ · R · {S} è il vettore delle reazioni di incastro perfetto della struttura

T(i) (i) (i)

[K] = ∑ꓥ · k · ꓥ è la matrice di rigidezza della struttura

Nel caso della prima asta (pilastro) quindi avremo che ad α è associata una forza pari a ql/2 sarà

1

negativa, α non è associata nessuna reazione d’incastro perfetto, ad α è associata una coppia

2 3

antioraria ma sappiamo che è positiva se oraria e quindi anche in questo caso sarà negativa pari a